特殊四面体教学之我见

四面体是立体几何中最重要的几何体，它的地位相当于平面几何中的三角形。对四面体的研究，很有实用价值，通过对特殊四面体——直角四面体、正四面体、等腰四面体的性质进行梳理来说明它在高考解题中的作用。     

直角四面体的一个性质

对应于平面几何中的三角形,立体几何中最简单而又重要的图形是四面体。如果一个四面体有一个直三面角,我们称它为直角四面体,直三面角的顶点称为直角四面体的直角顶点。直角四面体作为特殊的四面体,我们常把它与特殊的三角形——直角三角形进行类比。 我们知道,对于直角三角形,它有外接圆,其圆心在斜边的中点,半径是斜边的一半。那么,对于直角四面体,它是否存在外接球,若存在,球心在何处,半径是多少?下面的命题回答了这个问题。     

四面体中特殊线段的R．R．Janic型不等式及其逆向不等式

在文[1]中我们将关于三角形的边长和旁切圆半径的R.R.Janic不等式[2]和它的逆向形式推广到四面体的情形.在本文中,我们将给出关于四面体中特殊线段的R.R.Janic型不等式及其逆向不等式. 全文约定:四面体1234AAAA的体积,内切球半径,外接球半径分别为,V r和R,棱长是 (1ijaij相似文献   

表面展开图为三角形的四面体

大家知道,正四面体的表面展开图是正三角形,一般四面体的表面展开图不一定是三角形．那么什么样的四面体,它的表面展开图是三角形,是一个怎样的三角形;反过来,这样的三角形总可以作为一个四面体的表面展开图吗？三角形的面积与四面体的体积之间存在着怎样的关系？下面就这些问题进行探讨．定理回四面体的表面展开图为三角形的充要条件是四面体的三组对棱分别相等．证明必要性：若四面体S－DEF（图1）的表面展开图为凸ABC（图2）,则D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,因此,AF一DE,BD一EF,CE一FD,即SF一DE,SD—EF,S…     

等截线与等截面的再讨论

文 [1 ]给出并证明了如下的定义与定理 :1 .1　定义　若一条直线把一个三角形的周长与面积同时截成了相等的两部分 ,则称这条直线为该三角形的等截线 .1 .2　定理　每一个三角形都有等截线 ,并且它经过三角形的内心 .2 .1　定义　若一个平面把一个四面体的表面积与体积同时截成了相等的两部分 ,则称这个平面为该四面体的等截面 .2 .2　定理　每一个四面体都有等截面 ,并且它经过四面体的内心 .但是 ,每一个三角形都有等截线 ,那么它最多 (少 )有几条 ?每一个四面体都有等截面 ,那么它最多 (少 )有几个 ?能否用尺规作图法作出一个已知三角形…     

四面体的关于棱的“特征三角形”及其应用

三角形是二维空间中最简单图形,任何一个多边形都能分成若干个三角形来进行研究。三角形有很多重要的性质和计算公式,它的研究在平面几何中占据重要的地位。四面体是三维空间中最简单的几何体,任何一个多面体都能分割成若干个四面体来进行研究。它在空间的作用相当三角形在平面的作用,这种相似就使我们想到:四面体是否具有类似三角形的那些性质。经过探讨,我们发现三角形的许多性质可以推广到四面体中去,如象射影定理,余弦定     

Gerber不等式的推广及应用

一、主要结果及应用 本文中的改定四面体A_1A_2A_3A_4的项点Ai所对的侧面f_i(三角形)的面积为f_i(i=1,2,3,4),V,R与r依次表示四面体A_1A_2A_3A_4的体积,外接球半径与内切球半径,P为四面体     

一个合情合理的猜想

人类总是在已认识的基础上不断向未知前进,在这个认知过程中人类往往采用类比方法. 在平面上,两条直线不能围成一个有限的图形,而三条直线却有可能围成一个三角形.在三维空间,三个平面不能围成一个有限的图形,而四个平面却有可能围成一个四面体.因此,三角形可以与四面体类比,特殊的三角形可以与特殊的四面体类比(见图1和图2).     

等面四面体的一个重要性质

我们知道,三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体,它的四个面为全等三角形,本文介绍等面四面体一个重要的非常有趣的性质。     

创设情境教“三角形的认识”

教“三角形的认识”时,在认识了三种三角形以后,可以设计如下的练习环节： 　　1出示教具 1。横线下面的部分用硬纸挡住,只露出一个钝角。问：如果给你看三角形的一个角,你能判断出是什么三角形吗 ?学生回答：钝角三角形。教师表示认可。 　　2再出示教具 2。一块三角形板,用纸板遮住了下面虚线部分。问：你能判断是什么三角形吗 ?学生回答：直角三角形。教师依然表示认可。 　　3最后出示教具 3,虚线为遮住部分。问：你能判断它是什么三角形吗 ?学生可能会回答：锐角三角形。教师追问：你能断定一定是锐角三角形吗 ?结果是不能断定。…     

三角形张角公式的类比

[1]根据[2]、[3]对三角形与四面体的类比性，把三角形的角平分线相关性质类比到了四面体二面角平分面上，得到两个结论。读后深受启发，既然三角形角平分线性质能类比到四面体，那么三角形张角公式能否类比到四面体呢？对此，笔进行了研究，得到如下两个结果。     

四面体重心初探

平面几何中三角形的重心大家是熟悉的,然而,作为立体几何中最基本的图形——四面体的重心似乎被人们忽视了。本文试给出任意四面体重心的概念,并研究它的简单性质。为方便,我们称连接四面体的顶点和相对面三角形重心的线段为四面体的重心线。易证四面体的四条重心线交于一点,并且这点将每条重心线从相对面重心到顶点内分为1:3。事实上,如图1,D′,A′分别是△ABC和△BCD的重心,则AD′,DA′延长交于BC的中点M,故A,D′,M,A′,D共面,AA′与DD′必相交。设交点为G     

四面体体积公式的变形及其应用

四面体的四个面都是三角形,因此可以将任何一个面叫底面,其体积计算公式为: V=1/3s×h 若将这个公式适当变形,可以解决一些公式难于直接回答的问题。现介绍于后以供参考。将四面体的四个面对应的面积分别用S_1,S_2,S_3,S_4表示,用a_(ij)=a_(ji)(i,j=1,2,3,4),表示S_i与S_j组成的二面角。     

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若四面体的四条高线交于一点,则称这点为四面体的垂心。四面体并不总有垂心。文[1]中给出四面体存在垂心的充要条件是两组对棱分别垂直。一般说来,垂心存在的四面体与三角形有更多的类似性质。本文获得     

三角形的性质定理在四面体中的推广

空间最基本的几何图形是四面体,它的每一个面都是三角形,当共顶点的三条棱逐渐缩短,直到该点落到对面三角形所在平面,空间图形又回到平面图形．也就是说,四面体与三角形之间有着必然的联系．三角形的如下性质已经类比地推广到了四面体中：     

四面体的若干重要几何性质

三角形与四面体分别在二维空间和三维空间中具有同等的地位,人们所熟悉的关于三角形的许多性质,在四面体中都相应的具有,本文拟介绍其中几个重要的结论。 1、笛沙格透视三角形定理的推广。定理1、两四面体对应顶点连线共点的充要条件是对应面的交线共面。证明:必要性,设四面体ABCD与A＇B＇C＇D＇对应顶点连线AA＇、BB＇、CC＇、DD＇共点O。     

余弦定理的一个三维推广

在《中等数学》1983年第2期《勾股定理的新探索》一文的基础上,我们来研究余弦定理在三维空间的推广。首先,观察一个三角形,它有不共线的三个顶点,每个顶点对应着三角形的一条边,每两边又相交成三角形的一个角。其次,比较一个四面体,它有不共面的四个顶点,每个顶点对应着四面体的一个面,每两个面又相交成一个二面角。再次,余弦定理是考虑三角形边长与夹角之间的关系式,在三维空间中,则应考虑四面体的面的面积和夹角之间的关系式。     

正四面体的性质及其应用

<正> 四面体是空间中最基本的几何图形,也是最重要的几何体之一,它在立体几何中的地位相当于平面几何中的三角形.而正四面体又是特殊的四面体,它有着许多优美性质.在多年的高考与竞赛试题中,以正四面体为背景的题目更是频频出现.因此,适当掌握正四面体的有关性质,显得尤为重要.现就正四面体的性质及其应用作一归纳,供参考.     

从一个特殊的四面体所想到的

正如三角形是平面几何的基本图形一样，四面体也是立体几何的一个基本的几何体在空间的点与线间的关系。线与面的关系、面与面的关系，都可以在四面体上进行研究．特别是有关二面角问题用四面体为载体进行研究更为便捷．下面就来研究一个特殊的四面体即四个面都是直角三角形的四面体，与立体几何题的关系．     

三棱锥体积公式的变形及应用

三棱锥底面与侧面的形状都是三角形,因此又叫四面体,可以将任何一个面叫做底面。众所周知,其体积计算法由下述定理表达: 定理:四面体的体积V等于底面积S与高h之积的三分之一,即V=1/3S×h ①若将公式①适当变形,有时用起来更方便,且能由此解决一些公式①很难直接回答的问题。如图一,我们将四面体的四个面及其对应的面积分别用同一字母S_i(i=1,2,3,4)表示,