从二次三项式的因式分解谈起

同学们学习了用十字相乘法分解因式后都知道，许多二次三项式都可用十字相乘法分解因式．例1分解因式：。‘－5。一IO4·用因为一13X8—－104，且～13＋8一一5，所以原式一（X－13）（x＋8）．对于二次项系数为1、一次项系数为偶数的二次三项式，也可用配方法和公式法分解因式．例2分解因式：X’－2。‘－575·解1用配方法．原式一X’一ZX＋1－576二（－I）’一24。＝－1＋24）一l一24）一（J＋23）（J、一25）．俯2用十字相乘法．因为一25X23—－575，并且一25＋23一一2，所以原式一（X＋23）（x－％）．例3分解因式：x’－6X－616·…     

因式分解的其它方法

因式分解是初中数学教材的重要内容之一．课本上已介绍了因式分解的四种方法．为了进一步提高同学们因式分解的能力，现举例说明因式分解的其它几种常用方法，供同学们参考．一、观察法例1分解因式：分析用提取公因式法、公式法、分组分解法或十字相乘法分解因式都难以着手．注意到多项式各项系数及常数项之和IW5W3－9一0，因而有因式（X一I），再根据多项式的除法即可将多项式固式分解．解X’＋SX’＋3X－9一（X－I）（X‘＋6X＋9）一（—－1）（JW3）’．例2分解因式：X‘＋6X‘＋11X十巴解通过观察，易知1＋11一6＋6因而XWei为多…     

分组分解法的十种基本思路

分组分解法是因式分解的重要方法之一，分组的目的是通过适当的分组便于利用提取公因式法、公式法或十字相乘法进行因式分解．要想利用分组分解法顺利地进行因式分解，关键是掌握分组的基本思路．下面介绍十种基本思路，供同学们学习时参考．一、根据系数的比分组例1分解因式：。·‘一x‘十8。“－8（199年济南市中考试题）分析多项式的第1、3项和第2、4项的系数之比都是1：8，可把它们分为一组．n原式一（X’＋SX勿一（X’＋8）一x’（J·’＋8）一（J、’＋8）一（J‘－1）（1·’＋8）一（、＋l）（X一l）（2、＋2）（l、‘一22·＋…     

配方法在解题中的应用

配方法是初中数学中一种重要的解题方法．配方法是指通过拆项、添项等手段把一个代数式或代数式的几个部分变形成完全平方式．借助它，可使很多问题获得巧妙而又迅捷的解答．下面以近年来的竞赛题为例，介绍配方法在解题中的几个应用．一、用于分所因式例1分解困式X‘－7X’十及一＿．门994年“祖冲之杯”初中数学邀请赛初二试题）问原式一（x‘＋ZX’＋1）一gX’一（X’＋n‘一（3X）’一（X叶3x＋1）（x’一3x十I）．例2分解因式a’－b’＋4a＋Zb＋3一．（1992年郑州市初二数学团体赛试题）用原式一（。‘＋4。＋4）－tb’－Zbchl）…     

用配方法分解因式

学完《因式分解》一章后，同学们都知道用配方法可分解某些二次三项式．除此之外，用配方法还可以分解某些二项或三项式．用配方法分解因式的关键是：将要分解团式的多项式配成一个完全平方式，然后用公式法分解因式．例1分解因式：4。、‘－16X’＋9·分析很明显，此多项式不能直接用提公因式法、公式法、十字相乘法或分组分解法分解因式．但可考虑用配方法：在此三项式中，4X‘一（ZX’尸，若中间一项是12X’或一12x’，则可用完全平方公式分解为（ZX‘土3）’．而一16。·‘—－12X‘－4X’，且4X’一（2。）’．故可用配方法分解因…     

解高次方程的思想方法和技巧

在初中我们只能解一些特殊的高次方程，其解法的指导思想是降次，即通过变形或代换，把一元高次方程转化为一元一次方程或一元二次方程，然后解这些方程，使高次方程得解决．常用的转化技巧有：（1）分解因式；（2）换元；（3）改换主元；（4）应用非负数的性质．一、因式分解例1解方程解应用“分组分解法”分解因式．x－6＝0或X3－8＝0．X＝6或X＝2．故原方程的根为X＝6或X＝2．分解因式，有时往往用到拆项的技巧．例2解方程X’＋6x’＋11X＋6一0·解原方程左边先拆项后再分组x‘＋6N’＋gte＋ZH＋6一oX（X＋3）‘＋2（X十引一0．（2…     

因式分解的变换技巧

将某些多项式进行因式分解时,常常需要对原式进行恰当的变形或变换后,才能运用因式分解的基本方法分解因式．现举例说明常用的变换技巧,供参考和选用．一、指数变换例1分解因式：X。。”’－3X”＋ZX’“．解以指数最低的X’‘－’为标准,把X”“’。X’‘分别变换为X’·X”－’、X·X’。－’则二、符号变换例2分解因式：（ab）（x＋y。）＋（b－a）（xy）．解将十（b－a）变换为一（a－b）,则三、系数变换解将2提取后便于运用完全平方公式．例4分解因式：｛四、灵活分组例5分解因式：XZ＊10xy－7五、选定主元倒6分解因式：a＞…     

高次方程解法技巧

解高次方程的基本思想是降次．化为一元一次方程或一元二次方程来求解．如何才能降次呢？这就需要掌握一定的技巧了．本文举例说明之，供同学们参考．一、团式分闹法例1解方程（。‘＋2）（X＋3）（x＋8）（x十匕）一4H2．分析方程的一边是四个一次因式，恰当地运用乘法结合律，分解因式以便求解．阐原方程化为．：（X’＋14。·＋24）（。，’＋11X＋24）一4X’．再化为：（2·’＋24）2＋25x（x‘＋24）＋150x’。0．分解因式，得（＿2＋24W10te）（＿2＋24＋15N）一0．X’＋10x＋2《一0解之得HI－ry4，NZ＝－6．X’干15x＋24一0．…     

用主元法分解二次多项式

在解一些含多个字母的二次多项式的因式分解题时，我们可以考虑选择其中一个字母作为主元，那么已知多项式可整理成关于主元的二次三项式，然后利用十字相乘法进行分解，这种分解因式的方法称为主无法．下面举例介绍它的具体应用‘例1分解因式：x’～a’－Zx—Za·解以X为主元，则原式一x’－Zx－（a’＋Za）一x’－Zx－a（aW2）。（x＋ca）Cx一（a＋2）〕＝（x＋a）（x－a－2）．例2分解因式：4。’－4ah＋b’－。’月以。为主元，则原式一4a’－4b·a＋（b’－c’）。4a’－4b·a＋（b＋c）（b－c）＝＋2a一（b＋c）〕CZa一（b－c）〕…     

怎样用拆项添项法分解因式

九年义务教育初中《代数》第二册第32页第3题：把X‘＋4改写成X‘＋o＋4（即派．上一项“0”），再把O折成两项（想一想：这样的两项应该具有什么特‘点？），然后用分组分解法证明X‘十名一（X’＋ZX＋2）（X’－Zx＋z）．由此可见，添项、拆项也有规律可循．下面通过举例来说明怎样用拆或添项法分解因式．例1分解因式：X’＋1．分析这是一个二项式，若拆X’或1成为三项，还不能分解．因此，考虑添0，再把0拆成两项，然后用分级法分解．＊法1先添0，再把0拆为X‘－X‘）X’WI一（’＋X‘）－tX‘～1）＝‘（＋）－’＋1）（＋）－1…     

怎样用配方法分解二次三项式

配方法在数学解题中常起着十分重要的作用．对于某些二次三项式ax‘＋bx＋c，除了可以用十字相乘法分解因式外，还可以用配方法来分解．其中主要用到完全平方公式、平方基公式以及派项、拆项的技巧．配方法分解因式的关键是怎样配出一个完全平方式．下面谈谈怎样通过配方来分解二次三项式．一、添项配成完全平方式1．当二次三项式ax’十拉十c的二次项系数a一1时，添项方法是加减一次项系数一半的平方，就能配成完全平方式．此时若能继续使用平方差公式，即可分解团式．例1分解因式：X’－SX＋12·分析X‘－SX加上一次项系数一8的一半的平…     

初二(上)代数段考模拟试题

一、境空题（每空2分，共38分）：1．把一个多项式化成几个整式的积的形式叫、它和整式乘法是、的变形．2运用公式法分解因式的公式有3．】‘3－42‘一｛互m“，＊221h，＊一且一I（／＝5．a‘b‘＋ah＝（a＋b）（）＋（）。6．3，naz6，na＋3，n。7·aa4＝8．＿2－SH－14一9．6a、Zllcy＋3y‘＝10．已知多项式／十天X＋9是一个完全平方式．那么人一二、单项选择题（每小题4分．共20分）：L把。、’＋。，’y一。／－y’分解因式．最际准的答案是（）（A）b·＋y）O、’－y）；（B）、I（I－》一、。－h、－。…：（）（l＋）（J、－V…     

初二(上)代数期末复习自测题

一、境空题：1·把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式因式分解．2．多项式15x’／＋SX’y－20x’／中，各项的公因式是．3·设x－s一1，n一2，那么x‘y－Zx’y’＋＿’的值为．4．当X一时，分式7头万没有意义．一“～——”“””“一4ie＋3“”‘”””5．不改变分式的值，使分子、分母的最高项的系数是正数，则生二5二4一一有增根，则增根为二、选择题（将唯一正确答案的序号填入括号内）：2．已知gx’＋mcy＋16y‘是一个完全平方式，那么m的值是3．将X’一工y十打一3X分解因式，分组方法不当的是4．一个多项式分解因式后，得（X…     

《因式分解》水平测试与测试指导

一、判断题：下列各式从左到右的变形是不是因式分解？是的打“V”．不是的打“／”（每小题2分．共12分）l．3J·－6v—3（J、一Zv）；（）11hH‘－＿＝Illb’‘一1）；（）3．（X＋）（－3）一XZ－9；（）4·axay＋l，x＋l，y。a。、、）＋l，（。·＋v）；（）ss‘’－ZJ‘）＋Jy“一J（r“－Zxy＋v勿一x（J，一v／；（）ir’y一／～’一6—’一cyO·’－—一勺勺一Jy（r十如）（J一打）．（）二、填空题（每小题4分，共24分）：7·把一个多项式化为的形式，叫做把这个多项式因式分解．8．分解因式的思考步骤是：（）先看是否；…     

含乘积形式多项式的因式分解

有一类多项式，它的某些部分是整式采积的形式，在将这类多项式分解因式时．不少同学感到困难．下面归纳出几种常用的方法，供参考．一、整体法例1分解因式：（1988年安徽省中考试题）＊视“X’－SX”为一个“整体”，采用十字相乘法．则原式一（X’－5．T／－2（T’一ST）－24。（’一sz，～6）（‘r’－sx＋4）＝（x－6）（a、＋l）（x一4）（x一1）．二、局团结合例2分解因式：X（x十几）（x＋2）（X＋3）＋1．：199全年西安中学高巾招生试题）群将。与U＋31结合，（。‘，1）与（X＋ZJ结合，则原式一）（x＋3）〕〔（X＋1）（X＋…     

漫谈用换元法分解因式

我们知道，因式分解的基本方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法．除此之外，还可用换元法分解因式．用换元法分解因式，关键在于把多项式的某一个部分看作一个整体，并用新的变元代替它，从而将多项式简化，使之能用基本方法分解因式．例1分解因式：（x-2y）2－4（x-2y）－5．解设x-2y＝z，则原式＝z2－4z－5＝（z－5）（z十1）．将X一X一如代入上式，得原式一（x一如一5）（X一如十I）．例2分解因式：什’－3X）’－2（X‘－3X）一民。分析若展开后再用分组分解法分解因式，则变形相当困难；若把（X‘－3X）看作一个整…     

从二次三项式的因式分解谈起

学习了多项式的因式分解后,同学们都知道,许多二次三项式都可用十字相乘法或配方法与公式法分解因式．例1分解因式：X’－6X－616解1用十字相乘法．因为一28x22＝－616,且一28＋22＝－6,所以原式一（。＋22）（x－28）．解2用配方法与公式法．原式二x‘－6。＋9－616－9＝（X’－6X＋9）－625＝＝（x－3）‘－252二（x、3＋25）（x、3、25）＝（X＋22）（。28）．对于一些非二次三项式的多项式,通过适当的换元,可把它们转化为关于新变元的二次三项式,从而可用十字相乘法或配方法与公式法分解困式．例2分解因式：（x‘＋sx）‘－8（…     

一道因式分解题的多解

题目分解因式：X’－3X’十个解法1拆H次项,有原式二x3＋x2－4x‘＋4二（。’＋X‘）＋（。’＋4）＝。’（x＋1）4（＋1）（x一回）＝（X＋l）（。’－4X＋4）＝（。十五）（。－2）’解法2拆H次项,有原式一x’－2。’－X＼4＝（X’－ZX‘）－（X‘－4）＝x’（。－2）－（x＋2）（x－2）＝（－2）（’－X－2）＝（－2）’（＋1）．解法3拆常数项,有原式一x3＋l－3x2＋3＝（’＋l）－3（X’－l）＝（X＋1）（X’－X＋1）一到X＋1）（X一回）＝（x＋l）［（x‘－。＋1）－3x－l）〕＝（X＋l）（X‘－4。＋4）＝（X＊1）（X一月…     

《因式分解》期末复习自测题

一、判断题（正确的打“V”，错误的打“X”；每小题2分，共12分）：1．（m－n）是a（m－，；）＋b（，；－m）的各项的公因式．（）2．因式分解与整式乘法互为逆过程．（）3．在有理数范围内将多项式a‘－4分解因式，结果是（’＋2）（a‘－2）．（）4．将a’－a分解因式的结果是a（a’＋l）（a‘－l）．（）5．将X’－ZX’＊＋X’一Zxy分解团式的结果是X（X’－Zxy＋X一如）．（）6．m（y－x）’＋n（x－y）＝（x－y）（mx－mp＋n）．（）二、境空题（每空2分，共30分）：1·将一个、化为．的形式·叫做把这个多项式因式分解，或叫做…     

中考试卷中的因式分解试题分析

纵观1998年全国各省市的中考试卷,关于因式分解的试题在初二范围内大致可分为如下两类：一、直接应用基本方法分解因式至．分解团式：x‘－ZX－8二（湖南）2．将多项式X’＋3X－28分解困式的结果是（）（A）（X＊…（X－7）．（B）卜一4）（X＋7）．（C）（X－4）（X－7）．（m（X＋4）（X＋7）．（连云港市）3．分解因式：X‘－1的结果是（）（A）（x’l）（x’＋l）．（B）（x＋l）’（xl）’（C）（。－l）（X＋l）（X‘＋l）．（N（X－1）（X＊1）‘．（河北）4．分解因式：aZ－b’－Zb－l二．．（黄山市）5．分解因式：x’…