活用面积比 巧证几何题

在一些涉及相似三角形的几何证明题中，有关面积之比的重要性质在证题中发挥着重要的作用．灵活运用面积比，可以巧证几何题．例１如图１，已知：△ABC中，∠C＝９０°．求证：AC２＋BC２＝AB２．这是大家熟悉的勾股定理．它的证明方法很多，利用相似三角形的面积之比进行证明，是其中一种较好的证明方法．证明：作CD⊥AB于D．∵∠ACB＝９０°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．∴S△ACDS△ABC＝AC２AB２，S△CBDS△ABC＝BC２AB２．∴AC２AB２＋BC２AB２＝AC２＋BC２AB２＝S△ACD＋S△CBDS△ABC＝１，∴A…     

一道直线形开放型试题解法探究

如图1，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形．底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1，连结BF．分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．（1）求证：△BFG∽△FIEG，并求出BF的长；     

数学问题与解答 2008年第10期问题解答

746．如图1，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，M是边BC的中点，N是AP与BC的交点，若PD^2=PE·PF，求证：∠BPM=∠CPN．     

探究等积分割

我们先来看一个基本的等积变化的例子：如图1，AA’//BC，AABC、△A’BC同底等高，则SAABC=S△A＇BC．     

一道中考题引出的一个基本图形问题

1．题目描述（2011年盐城市中考试题）如图1，等腰直角△ABC和 O如图放置，已知AB=BC=1，么ABC=90°， O的半径为1，圆心（二）与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长4B、BC又以每秒0．5个单位沿BA、BC方向增大．     

关于三角形内心、外心连线的一个性质——一个数学问题的拓广

2011年第2期《数学教学》第811号问题： 在△ABC中，AB〉BC〉CA，点E、F分别在AB、BC上，满足AE=CF=AC，点O、I分别为△ABC的外心、内心．已知EF⊥BC．求证OI//BC． 通过探究，我们发现了该问题的拓广，并给出一个解析法的证明：     

一道全国初中联赛试题的简证

题目如图，D，E是ΔABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF． （1）判断ΔABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．[第一段]     

共边比例定理及其应用

共边比例定理：若△ABC和△DBC有公共边BC，AD交BC于E（或交BC的延长线于E），则＝S△ABC/S△DBC=AE/DE．符合命题条件的两共边三角形，其位置关系有如下四种情形．证如图甲，过A、D分别作BC的垂线，垂足其他三种情形可以类似地证明（略）．如果我们熟悉这个定理的四种情形，并能灵活地应用它，则能方便地、简捷地解答许多数学竞赛题.一、有关线段问题例1如图，在△ABC中，若BD：DC＝CE:EA＝2：1，AD和BE相交于F，则AF：FD＝___．（92－93学年度广州等五市初中数学竞赛题）解　　连结FC，设S△DCF＝S,贝S△BDF＝2…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图…     

全国部分省市1999年中考数学试题选讲综合题

1．(江苏省连云港市)如图1，△ABC中，BC=4，∠B=45&;#176;，AB=3√2，M、N分别为AB、AC上的点，MN／／BC，并设MN=x，△MNC的面积为S．     

对一道IMO试题的探究

题目在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K、L分别是BC、AC的中点．证明：△RPK和△RQL的面积相等。     

对一道IMO试题的探究

命题1 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交点R,与BC的垂直平分线交点P,与AC的垂直平分线交点Q．设K、L分别是BC、AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．（图1）     

三角形中位线定理的活用

三角形中位线定理是几何中的重要定理，关于它的基本应用课本中已有论述，这里不再重复．本文专门介绍它的灵活应用．所谓灵活应用是指题设条件中不具备应用中位线定理的条件，必须通过作辅助线，创造条件用定理．现举几例加以说明．例1如图1，梯形ABCH中，AH／／BC，AD＜BC，E是AC的中点，F是BD的中点．求证：EF／／AD／／BC且EF分析由题设可知，要证FE／／AD／／BCFE／／BC．为此连结AF并延长交BC于G．于是由三角形中位线定理可知，要证FE／／BCFE／／GC、F是AG的中点AF＝FG△AFD≌△GFB　FD＝FB，∠AFD＝∠G…     

如何选用勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理之一，其应用极其广泛．如何根据已知条件选用勾股定理及其逆定理呢？本文总结几条规律供大家参考．一、已知条件中有直角时，可考虑选用勾股定理．例1如图１，矩形ABCD中，AB＝８，BC＝１０，沿AF折叠矩形ABCD，使点D刚好落在BC边上的E点处，求CF及折痕AF的长．（２００２年泰州市中考试题）解：由折叠关系可知△AEF≌△ADF，故AE＝AD＝１０，EF＝DF．在Rt△ABE中，由勾股定理有AB２＋BE２＝AE２，故８２＋BE２＝１０２，解得BE＝６．∴CE＝BC－BE＝１０－６＝４．在Rt△…     

借平行四边形解题

一、证明两条线段相等例１如图１，AD∥BC，若以梯形ABCD的边AB和对角线AC为边作ABEC，连结DE交BC于F．求证：DF＝EF．略证：过点D作DG∥AB交BC于G，连结GE，则四边形ABGD为，∴ABDG．∵四边形ABEC是，∴ABCE，∴DGCE，∴四边形DGEC为，∴DF＝EF．二、证不等量关系例２如图２，AD∥BC，BE＝CF，AB＝DC．求证：EF＞BC．略证：过点B、F分别作CF和BC的平行线交于G，连结GE交BC于H，则BE＝CF＝BG，∠１＝∠２＝∠３．∴△BEG为等腰三角形，∴BH⊥GE，∴GF⊥EG，故在Rt△GEF中，EF＞GF，即EF＞B…     

一道IMO预选题的简证

题目 已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B、X之间．又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q．证明：PQ经过一个不依赖于点X的定点。     

第48届IMO试题4的简证

2007年第48届IMO试题的第4题为：在△ABC中,△BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点尺,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K,L分别是边BC,AC的中点．求证：△RPK和△RQL的面积相等．     

判定菱形三法

1．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 例1如图1,平行四边形A23CD中,AE⊥BC于点E,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC．     

07年第1期问题

73．在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，∠C的平分线分别交AB、AD于E、F，点H在AC上．求证：A、E、D、H四点共圆的充分必要条件是HF／／BC．     

数学问题与解答

791．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，E是AD的中点，射线CE交AB于点F，过B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，EH∥CB交BG于点H．求证：∠EHC=∠EHF．