例谈相似三角形的应用

相似三角形,除用在证明线段成比例外,还有其他方面的一些应用. 例l如图1,△ABC是等边三角形,点D、E分别在CB和BC的延长线上,且乙DAE~12巴A求证:BCZ一BD·CE.分析要证BCZ~BD·CE,可证丝BDCEBC’而D、E都在直线Bc上,找D B CE图1不到相似三角形,△ABC中,AB~△ABD切△ECA,乙刀一艺1+乙2 (证略)需要转化BC一AC 在等边故只需证些B刀CEAC’由此,可设法证由题意不难得乙ABD一艺ACE一1 200,匕1+一600,。.。/刀一/2,故△ABDc乃△ECA. 例2匕BCD一 求证: 分析如图2,直角梯形ABCD中,AD// BC,匕ADC一900,对角线AC、Bl…     

三角形内接三角形的周长

命题设△D刀F为△ABC的内接二角形,BC=、.C几=乙,刀B=:,l为△D刀尸r认周长,叮l,} l一口c。:魂{一乙cosB十cc。:C.(1)其中等号当且仅当八ABC为锐角三角形,且△D刀F为垂足三角形时成立. 证设R为△ABC外接圆的半径,其它字母含义如图示,则 (a, 夕; ,7) (a: 口: 了2)F刀尸厂声」 =36     

关于过任意点作一条直线平分三角形面积的猜想

1.原问题呈现.已知△ABC,P为平面内一点,求作一条直线l,使其经过P点,且将△ABC分割成面积相等的两部分.(1)当P点为边的中点时,作中线所在的直线即可.(即三角形的中线将三角形面积等分为两部分)(2)当P点为BC上任意一点,且BP≠CP时.(3)当点P在△ABC的内部或外部时,是不是一定能作一条直线平分三角形的面积?这条直线如何用尺规作出来?     

探索三角形全等的条件检测题

一、坟空题1.判定两个三角形全等,必须具备件是个条件,其中至少有A个条河’2.如图l,A召//A‘B,,AC//A’C‘,AB=A’B,.若乙A二28“,则乙A’=_. 3.在△ABC和△DEF中,AB二刀E,乙A=乙D,AC二DF,则根据判定方法可以说明△ABC望△刀EF. 4.如图2,△ABC是不等边三角形,DE二Bc,分别以点D、点E为顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出个.△二B CB‘C,图1月少。_ Ec月毛.,.!﹄口J.,乙口D尸.、门、︸rL,﹄洲︸、目口5.如图3,BC平分乙ABD,AB=刀刀,P为BC上任意一…     

一道课本复习题的探究

题目(人教版《几何》第二册复习题三Pll3第13题)如图】,A是CD上的一点,△ABC、△ADE都是等边三角形,BD. 分析:易证 证明:因为 所以AB=求证:CE=△ABD兰△ACE(SAS).△ABC为等边三角形,AC,乙召沌C二60“. 因为△ADE为等边三角形, 所以AD二AE,乙E.4D二600, 所以乙BAD二乙CAE=1200, 所以△ABD鉴△ACE, 所以CE二BD. 一、条件不变,引伸结论 变式I:在原题目不变的前提下,可以探求以下结论: (l)求证△ABF哭△ACC; (2)求证AG二AF: (3)连结‘F,求证△A‘F是等边三角形; (4)求证CF// CD. 证明:(l)因为△ABD丝△AcE, 所…     

怎样证明等边三角形

在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝　BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A…     

相似图形中考题练习（配合北师大版）

1.小明的身高是 18m,则古塔的高是 1.6m,他的影长是Zm,同一时刻古塔的影长是 2.如图l,在△ABC中,DE// BC,AD=3,BD=2, 则刀E:BC= 3.如图2,在△ABC中,点D在AB上,若使 △ADC…△ACB,则要添加的条件是.(只需要 填写满足要求的一个条件即可) 屯如图3,△ABC的边AB涯C上的高C百和BF相 交于点D,请写出图中的两对相似三角形_.(用相 似符号连接) 5.如图4,在△ABC中,AB=AC,乙A=360,BD平 分乙ABC,刀石// BC,那么在下列三角形中,与△ABC 相似的三角形是(). A.△刀召百B.△ADE C.△ABD D.△BDC 6.有一块三角形土地,它的底边BC…     

一道课本习题的变式

<正>引例（教材第12页习题1.4第1题）已知：如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB和AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.（证明略）对此题进行变式,可以得到一系列数学问题.变式1：将△ADE放到△ABC的外部,探究相等线段.例1如图2,△ABC,△ADE是等边三角形.求证：BD=CE.     

2003年11月号“初二数学潜能系列知识竞赛(4)”答案

1。CZ。A3。C4。DS。B6一3 7.670 8.(2x+y一l)(x+3少+5)9.略10.2、11.延长BC到F,使C石七刀E,联结A厂在Rt△AC户、和Rt△召百刀中, AC=BE,C声’== DE, △AC声,哭△BED,A石’= BD,乙双刁C二乙B.又乙B十乙召月C=900,故乙声刀C+乙召八C二900,△刀月F为直角三角形.因为刀e+。君=2刀刀.故刀c+c作劲只即A凡工召厂 212.乙B=300. 。、b、c是△ABC的三边长,且a一bl+口6 b一e十、…万一 1咔.OC+二上卫 1十c。=0 a、b、e均为正数,且(a--b)(l+be)(l+ea)+(b一e)(l+ab)(l+ea)+(e一a)(1+ab)(l+be)=0. 而(a一b)(l+be)(l+ea)=a一b+aZc一bZ…     

平面几何第三章课堂练习题选登

弓万.1必予三角形的~必棍念 填空:《1)图中共有_麒个三角形。(2)△人BC的三个顶点 是_,三个内角是(3)在△人BC中,乙C的对边是_, 在△ADC中,乙C的对边是_。亡4)线段AD是哪几个三角形的边?(5)乙ADC是△_的内角,是△_的外 角,又是艺的邻补角.A伙用三角板画△ABC的三条 、气碑“’A‘!义又选择‘把正确答案的编号匕丛二蕊,填入括号中””‘户、、了“ (2)有且只有两边相等的三角形叫等腰三角形。 肠3。3三角落的内角和《一)1。△入刀C中: (1)若乙C=90.,乙A二50.,则乙B=_, (2)若乙A=50.,乙B=乙C,则乙B=_, (3)若乙A:乙B:乙C=1:2:3, 则…     

Weitzenbock不等式的一个有趣隔离

正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则     

例谈三角形全等的证题

三角形全等的证明是几何证题中的重要内容.证三角形全等,可用来证明两线段相等,两角相等,两直线垂直等等.如何准确、迅速地探求出从已知条件到达求证结论的证明途径呢?下面通过实例来谈谈探求证明途径的基本思路.例1已知:如图1,A、B、C三点在一条直线上,△ACD和△BCE都是等边三角形.求证:AE=DB.分析从△ACD是等边三角形,可得AC=DC,∠BCD=60°,同理,EC=BC,∠ECA=60°.欲证AE=DB,只需图1证△BCD≌△ECA.证明∵△ACD是等边三角形,∴AC=DC,∠BCD=60°.同理,EC=BC,∠ECA=60°.在△ECA和△BCD中,∵AC=DC,∠ECA=∠BC…     

10月份赠卷《单元自测题》A卷参考答案

1.360°、360°.2.15.3.5.4.8.5.轴对称、平移、中心对称.6.120°、10°.7.D.8.B.9.B.10.A.11.C.12.B.13.略.14.四边形AEDF是菱形.易证四边形AEDF是平行四边形,再证AE=DE.15.45.16.按第一种方案,共需48块,花费1920元,按第二种方案,至少需84块,花费2100元.选第一种方案.17.略.18.(1)A,60,EAC;(2)全等.略;(3)平行.证△BAE≌△EAM,得到AM=AN,因此△AMN是等边三角形,∠AMN=∠MAB=60°,所以MN∥BC;(4)四边形ADEF是平行四边形.可证△BEF≌△CDF,易得四边形ADEF的两组对边相等.(5)∠BAC=150°、AB=AC、∠BAC=150°且A…     

2005年1月号数学潜能知识竞赛题答案

口 1。△ACD…△ABC,△C刀D~△ABC,△ACD…△C召刀 2.3x立=3一立 44 4x生=4一生 5 ·y0) 3.生斌提示: 2 △声丫〕D的底边长为x。,高为为,则S~= 4.、/了(提示:B‘为矩形ABCD的对称中心,即说明 5峨 l一2 己 BB 口 B‘为AC、BD的交点,则AC=ZAB’=ZAB=Zb)5.如图l 6.A 7.A(三角形扫过的面积=5娜,,毗,+S△,,B’。,如图 2所示)8.D 9.云+b aZsZ 10.C 11.无甲=7.20汉乙= 7.03,。2甲=0.138,。2乙二0.015,因为而>元,;2甲>s2乙,所以乙打 包机更稳定.12.可以.(提示:l(+3)一4(xZ)一8(+3)一 11(xZ)一22(+3)一25(x3)一75(+3)一78(xZ)一1…     

一道课本练习题及其逆命题的应用

<正>本文现将人教版八年级(下)中的一道习题及其逆命题在中考中的应用介绍如下,供初中师生教与学时参考.题目如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?解因为l_1∥l_2,所以S_(△ABC)=S_(△DBC)(同底等高的三角形面积相等).还可以画出与△ABC面积相等的三角形若干个,只要同底BC,第三个顶点在     

函数与导数(文)

一、选择题: l、函数y=f(x)的图像与直线x二2的公共点共有( A.0个B.l个C.O个或1个D.不能确定2、函数y=共(:,一5)的反函数是( X J A .y二土一5(x尹。) e .y二土 5(、尹。) B .y二x 5(x eR) D·y二x一5(x‘R) X 3、“△ABC中,若乙C=9()。,则乙A、乙B都是锐角”的否命题为( A.△ABC中,若乙C护卯“,则乙A、乙B都不是锐角B.△人BC中,若乙C护卯“,则乙A、乙B不都是锐角C.△ABC中,若乙C笋oo。,则乙人、乙B都不一定是锐角D.以上三个命题都不正确4、函数y二处卫ZX 3的值域是( A.(一,,一I)U(一l, ao) C.(一,0)U(0, a…     

数学问题与解答

201.已知△通刀叮,万为△朋夕内的一点,△通丑灯、△刀已汀、△叮过刀、△ABo的外接圆均△ABO、△刀刀e的外接圆相等,. 刀Osin乙BA口相等,求证:刀为么通刀C的垂心. 证.如图1,先证之1是锐角.用反证法,假定乙1》9。。,则艺刀通口为钝角,乙丑双口也是钝角.’: BC二碗石之万丑口-,乙刀姓口=乙刀刀刃.此与乙BAJ<艺刀且刃矛盾.故乙1是锐角. 同理乙2、乙3、乙4、匕5、乙S均为锐角. 丫△“哎3J与△刃C汀的外接阿相等,刃少了是公共弦,乙1、乙4又均为锐角,…乙1二艺雄. 同理可证乙2二乙5,乙3=乙6.…乙l一卜乙2+艺3二乙钱十乙。+乙6. ’.’匕l十…     

北京市1982年中学生数学竞赛初中三年级试题

一、(40分)下面5个题各提出5个答案。将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内。每一题,填对得8分,填错得一2分,不填得O分‘ 1.若1劣一8夕,+(4夕一1),二0则109,,书的值为 5.设劣、和二:是方程妙+P二+1~0的二不相等的实根,试判断下列结论哪个正确。 (A)卜:!>2且!朴!>2.(B)卜:+劣2!>4.(C)!x,+二21<4.(D)l劣,卜4且}二:.=1.(E)以上结论对不对.19 3.162‘A,“·‘B,于·(C)责·(功一4.19 1 1 .03二1.045,(精确到0.001)△ABC(E)斌百. 2.△ABC中,乙A二60’,AC“16, 三角形的面积为220斌百,则BC长度为 (A)斌万丽.(B)25.(C)51.…     

全等三角形中的新题型

近年来,围绕全等三角形的知识,出现了许多考查能力的新题型,主要有以下几种.一、补充条件例1如图1,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件使△AEH≌△CEB.(2003年黑龙江省中考试题)分析:在Rt△AEH与Rt△CEB中,分析图形性质可知∠1=∠2,∠3=∠B,故只要添加一组对应边相等的条件,就可判定△AEH≌△CEB,则应填AH=BC或EH=EB或AE=CE.二、探索结论例2如图2,点C为线段AB上的一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.(1)求证:AN=BM;(2)求证:△CEF…     

勾股定理单元测试题

(时间:100分钟总分:120分)姓名分数.一、填空题(每小题3分.共24分) 1.命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”的逆命题是2.某三角形三内角度数之比为1:2:3，它的最大边长为26 cm，那么它的最小边长为_cm. 3.如图l，△ABC中，乙ACB=9()。，△AD刀中，乙ADB二90“.图中阴影部分是以BC为直径的半圆，则它的面积为cm2. 4.已知直角三角形两边长劣，y满足l扩一161 V亏石丁=0，则第三边长是__. 5.小强从，A地出发，先向正东行SOm，再向北行6Om到达B处;小明从A地出发，先向西行IOm，再向南行Zom到达C处.则B、C两处相距_m. 6.如图…