“不可辨”条件下的“分球入盒”问题

在高中数学的“排列、组合”中 ,有两种比较常见的模型 :随机摸球与分球入盒问题。其中的“分球入盒”问题是一个重点 ,也是难点。实际生活中的住宿、投信、分配等问题都可抽象为“分球入盒”的模型。在小球可辨的条件下的分球入盒问题学生比较熟悉 ,但对于小球不可辨时的分球入盒问题 ,解决起来比较棘手。现结合“分球入盒”的常见问题 ,对其在不可辨条件下的解决方法予以系统的归纳与总结。1　“分球入盒”模型问题　把ｎ个不可辨别的小球分配到Ｎ个不同的盒子中去 ,求下列事件的不同放法的种数 :(1)某指定的ｎ个盒子中各有一球 .(ｎ≤Ｎ)…     

分球几盒模型探析及应用

"分球入盒"计数问题是排列、组合、概率学习中最常见的一类问题,很多题目都可归为这一模型,然后解答.所以"分球入盒"这一模型对于解题具有一定的指导意义,有必要探析这一模型及应用,下面从以下三个方面对"分球入盒"模型及应用展开探析.一、模型认识奠定基础问题1:n个小球放入m个盒子里(n≥m),放法有多少种?根据球与盒子是否可辨识及是否允许空盒分为以下四类探究.     

利用排列组合解决多种“分球入盒”问题

将重复排列数、重复组合数、(广义)第二类Stirling数等排列组合的知识巧妙用来解决概率论中的几类"分球入盒"问题,其中涉及到球是否可辨、盒是否可辨等多种情况,并举出一些实例对模型加以应用。     

六种常见的“球”模型计数分析与相关概率

在古典概率求解问题中,有一类重要而常见的模型:盒中投球与袋中摸球的概率计算问题.由于“球”是否可分辨,盒中盛球数量是否受限以及“球”是否全部放入等条件的制约,使得这类概率计算显得扑朔迷离,真假难辨!从而使很多同学感到这部分内容在学习时心存困惑.本文试图总结几种常见的情况并加以辨析,以期对这部分的学习有一个整体的把握!1.盒中放球计数问题分析设有r个小球,n个小盒,把球投入盒中.讨论这个问题时,n个小盒是按序编号彼此有区别的.我们将从三个方面的因素去考虑:①小球是否可以分辨:若r个小球可以分辨,就是说,它们之间彼此有区别,这时可以把r个小球看作r个不同的元素a1,a2,…,ar;若r个小球不可分辨,就是说,它们之间彼此没有区别,这时可以把r个小球看作r个相同的元素.②盒中盛球容量是否受限.③小球是否全部放入盒中.下面讨论几种常见的典型情况.(1)设有r个可以分辨的小球,将它们随机地分配到n个小盒中.模型1将r个可以分辨的小球全部投入n个小盒,每盒容量不限,共有几种投球方法?问题分析应用乘法原理,每个小球可以有n种投法,所以共有nr种投球方法.模型2将r个可以分辨的小球投入n个小盒,每盒容量不超过1球,共有几种投...     

古典概型中的分球入盒问题

掌握古典概型问题的解法对学好概率论具有十分重要的意义,本文讨论古典概型中常用方法之一,m个球放入M个不同盒子的分球入盒古典概型问题,分别探讨球是可辨的和球是不可辨的两种情况,并给出可化为这种情形的一些实际背景不相同的随机试验.     

用二项式定理推导“隔板法”公式

隔板法是解决组合问题的一种常用方法,运用这种方法可解决小球入盒,名额分配,展开式的项数等形式多样的问题.如果我们能脱离现象,抓住本质,转化思维,将其模型化,公式化,那么解决这类问题就非常容易.隔板法可解决的问题都可转化为下列模型:把n个相向的小球放到m(m相似文献   

小球入盒模型的推广与应用

小球入盒是排列组合的典型问题,本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面入手,对小球入盒模型加以推广和应用．     

排列组合中一类“放球入盒”问题的解法

“放球入盒”问题可以分为两类.一n个不同的小球放入m个不同的盒子里例17个不同的小球放入7个不同的盒子里,有几种不同的放法?分析:先将7个小球全排列,然后依次将小球装入7个盒子里,共有A77=7!种.不能同时将球和盒子都作全排列,因为将球全排列后,每个盒子都有可能装到每个小球.例27个不同的小球放入7个不同的盒子里,恰好有一盒子是空盒,则共有几种不同的放法?分析:运用乘法原理中的分步要不重复,不遗漏.对于本题,第一步,选一盒为空,有C17种;第二步,从7个不同小球中选两个成一组,有C27种;第三步,从剩余的6个空盒中选一空盒装已选的2个球,有…     

球入盒问题的求解

小球入盒问题都存在着"同"与"不同"的分类情况,由于这类问题知识上的综合性,解题方法上的灵活性,思维方式上的抽象性,致使同学们对相关问题的处理感到甚是棘手,下面就此模型问题的解决方法作一阐     

堆垒小球的“球心多面体”(高二、高三)

堆垒小球的有关问题,主要障碍是不易直观地表示空间的位置关系,本文举三例说明如何分析这类问题. 例1 将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的4个小球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高是___.     

古典概率中分球入盒与盒中取球

分球入盒与盒中取球是古典概率的两种基本问题,辨析并正确求解此类问题,对优化思维品质和学习排列组合及概率大有裨益．     

两类概率模型的探讨及一道模拟题的反思

古典概型是最基本的一种概率模型.由于学生在学习古典概型中把概率公式的法则作为重点,而忽视古典概型的"基本事件"和"等可能性"这两个概念,就形成了一种"一讲就会,一做就错"的现象.结合一道引起争议的模拟题的错解,再次来解读教材中古典概型的知识结构,并以摸球模型和分球入盒模型给出古典概型问题的一些有用方法.     

圆周运动中力学模型的应用

竖直平面内的圆周运动中有三个重要的力学模型:绳球模型、杆球模型和弹簧球模型,正确运用机械能守恒定律解决这类力学问题时必须深刻理解把握其力学特点。一、模型介绍1.绳球模型如图1所示,一根不可伸长的轻绳一端固定在O点,一端系着小球,组成绳球模型,小球可在绳的约束     

考考你

有3盒小球,一盒中全是白球,第二盒装的全是红球,第三盒中既有红球也有白球.在外面看不到盒中球,并且盒上的标签都是骗人的(也就是如果标的是红球,那么盒中肯定有其他颜色的球),你能不能从中拿出一盒,并从里面拿出一只球,就可以将3个标签正确地贴在盒上.考考你     

摭谈“碰撞类”模型问题的思维认知

<正>一“滑块—摆球”碰撞模型该模型是光滑的水平杆上一滑块或滑环通过一根不可伸缩的轻绳悬挂着一个物块,模型特点如下:1.滑块和小球组成的系统总动量不守恒,但水平方向不受外力,系统水平方向动量守恒.2.系统的能量守恒.3.临界条件:(1)小球与滑块共速时,小球运动到最高点(2)小球摆回最低点时,滑块获得最大速度,此过程类似弹性碰撞,可直接利用结论:     

球·盒子模型的应用

在解决排列组合的问题时,常常碰到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来比较困难,且其它一些问题可以转化为球·盒子问题,也即具有模型置换的功能,本文拟就此谈些方法.模型之一:把m个不同小球随意放入n个不同盒子.把m个不同小球随意放入n个不同盒子的问题,实质上是一个重复排列的问题,可以用乘法原理解决.第一个球有n种放法,第二个球有n种放法……第m个球有n种放法,故共有n·n……nm=nm种不同的放法.例1　五个学生报名参加数、理、化、外四门学科竞赛,每人限报一门,则报名方法有多少种?分析　五个学生类比于5个不同的小球,…     

"隔板"法与一类排列组合题

中学数学课本介绍了基本的排列组合问题，但有些问题并不能直接看出它们的特征，我们可以在基本问题的基础上，给出一类问题的模型。“分球入盒”模型就是其中最有效的模型之一。     

条件概率与条件分布

条件概率是对随机事件而言,条件分布是对随机变量而言的。二者有很密切的关系。我们着重讨论随机变量,因而条件分布是着重讨论的对象。我们先介绍条件概率,是为了更好地理解条件分布。设有事件A与B,其概率记为P(A)、P(B)。在事件B出现的条件下,事件A出现的概率叫做条件概率,记为P(A|B)。例1.设盒中有木制三白二红颜色的小球和玻璃制四白六红颜色的小球。从盒中任取一球是白球概率     

小球投盒问题研究

在排列组合问题中，有这样一类问题：把一些小球投入几个盒中，给出一定限制条件，求有多少种不同的方法．这类问题我们不妨称“小球投盒问题”．它包括两种类型：一种是小球不相同，另一种是小球相同．若用常规的“捆绑法”、“插空法”、或针对特殊元素或特殊位置的“优先安排法”、“排除法”去做非常困难，大多做不出正确的答案．笔者在教!学中对这类问题作了一定的研究，总结出一种简单方法一分堆投入法．     

分球入盒问题的研究

本文在正确认识排列组合计数模式和多组组合模式的基础上，从球和盒子的是否可辩出发，把“分球入盒问题”分成三种不同类型，并通过对这三种类型的逐个解决形象的解决了概率论中一些计数问题。