换个“角度”求椭圆弦长

求椭圆的弦长问题，是椭圆中的一个基本问题，看上去似乎简单，做起来才深感麻烦．一旦椭圆方程或弦所在直线方程比较复杂时，将直线方程代入椭圆方程后，再通过应用韦达定理和距离公式等等去求出其解，其过程更加烦琐，学生往往因此而导致错误或半途而废．为了解决这一问题，本文试图将常用的弦长公式向“倾斜角”上推进，以便减少运算量，速解弦长．     

椭圆的焦半径公式及应用

近年来,已知椭圆的焦点弦所在直线的倾斜角为θ,求与椭圆的焦半径、焦点弦长有关的问题,频频出现于高考试卷及各类模拟试题．对这类问题的处理,传统的思路是借助于椭圆的第二定义或极坐标方程．而现行新课标教材中又没有详细介绍椭圆的第二定义和极坐标方程,所以不少资料给出的解法是联立直线与椭圆的方程,     

圆锥曲线中点弦问题解法探究

<正>直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点问题,这类问题一般有以下几种类型:(1)求中点弦所在的直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等,但最常用的方法为点差法和待定系数法.一、求中点弦所在直线方程问题【例1】已知一直线与椭圆x24+y22=1交于A、B     

“设而不求”巧解直线与椭圆相交问题

处理直线与椭圆相交问题,采用设出交点坐标,但不求出,利用韦达定理和相关坐标去把问题转化,可巧妙解题下面用一例说明.例已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236+y92=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.分析本题考查直线与椭圆的位置关系问题,通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,再由根与系数之间的关系,直接求出x1+x2,x1x2(或y1+y2、y1y2)的值代入计算即得,并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法在圆锥曲线中要经常用到.本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题,也可采用点差法或中点坐标公…     

直线与椭圆综合试题的求解方法

椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,因而也是高考命题的热点,而直线与椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程则由韦达定理解决,设点而不求是解析几何中最重要的解题方法.     

椭圆中的设而不求

在“圆锥曲线”一章的学习中,我们经常遇到直线与椭圆相交求弦长、求轨迹方程的问题,通常的做法是将直线方程与椭圆方程联立,消元、转化为一元二次方程,再运用韦达定理来求解,但这一转化往往伴随着比较复杂的运算.其实,这类问题也可以从直线与椭圆的交点出发,先设出交点的坐标,再利用曲线上的点与方程的关系来转化,常常能起到化繁为简的效果.     

双曲线中有关中点弦存在性问题的探索

直线和圆锥曲线的位置关系,是解析几何中最主要的题型,这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点、弦长等.解决的方法往往采用数形结合思想、“设而不求”的方法和韦达定理.其中椭圆、双曲线、抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的.由于椭圆和抛物线的弦的中点必在曲线的内部,因此相对较简单,而双曲线的弦的中点可以在曲线的内部和外部,所以双曲线的中点弦存在性问题就值得我们去探索.例已知双曲线方程为2x~2-y~2=2.(1)求以 P(2,1)为中点的双曲线弦所在的直线方程;(2)过点 Q(1,1)能否作直线 l,使 l 与所给的双曲线交于 A,B 两点,且点 Q 是弦 AB     

谈圆锥曲线的学习

1.重视弦长问题例1 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x y=1相交于A、B两点,且|AB|=,连结AB的中点与原点的直线的斜率为,求椭圆的方程.     

圆锥曲线焦点弦的一个统一结论及其应用

寻求较好的解题途径是解决解析几何问题的关键.本文探讨一类焦点弦问题的几何解法,并给出相应结论. 引例过椭圆 x~2/4 y~2=1左焦点 F 引直线截椭圆的弦被 F 分成上、下两段之比为2∶1,则该直线的斜率为_______.分析:有的学生是这样考虑的:先求得F(-3~(1/2),0),再设直线 AB 的方程为 y=k(x 3~(1/2)),再将该方程与椭圆方程联立,求出 A、B的坐标,最后由|AF|∶|FB|=2∶1求出斜率k.     

关于二次曲线的切点弦

从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A、B,称线段AB为点P对C的切点弦。本文在建立切点弦(所在直线)方程的基础上,研究有关切点弦的一些性质。一、切点弦方程例1.求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1外一点P(x_0,y_0)对椭圆的切点弦AB的方程。     

善学得通解 善思悟妙解——对一道典型例题的教学后的思考

1.问题的缘起笔者在讲解直线与椭圆的位置关系时,选择了这样一道典型例题:例1已知椭圆的标准方程为x~2/(16)+y~2/4=1,过点P(2,1)作一条弦,使弦被点P平分,求此弦所在的直线方程.在课堂教学时,当大部分学生都在埋头苦算时,一位学生在悠闲地看着其他同学,还不时瞄向老师.教学经验告诉笔者,这个平时学习优秀的学生肯定有什么奇思妙解,笔     

参数方程在抛物线弦长问题中的应用

抛物线弦长问题同椭圆和双曲线的弦长问题很相似,它是圆锥曲线的一类基本问题。文章以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例,利用抛物线的参数方程推导出了当直线斜率存在与不存在两种情况下相对应的直线与抛物线相交时弦长的一般计算公式,并结合四个具体实例强化两个公式的应用。     

直线和椭圆相切状态下的一个简单性质

<正>椭圆中的性质很多,大多是针对焦半径和焦点弦的某种形式出现的定值问题的研究.对于直线和椭圆相交或相切状态下的简单适用的结果不多.笔者曾写过一篇关于"直线和椭圆相交状态下的一个通用性质"[1]的文章,对标准方程下焦点三角形的面积和坐标间的对应关系进行了一点初步的研究.近来通过直线和椭圆相切状态下的有关计算,得到下面结论,期待能对实践应用有所帮助.     

圆锥曲线的“共轭直线”及应用

以定点为中点的圆锥曲线弦方程及过定点的动直线与定曲线相交成弦中点轨迹问题,其常规解法是先设直线方程代入曲线方程消元得到一元二次方程再用韦达定理或其它知识求解,其操作并不方便,运算较繁容易出错。本文试给出解这类问题(含切线方程)的一种简易方法。     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:"过点P(2,1)作直线与椭圆x2/a2+y2/b2=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程."学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法.     

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1过椭圆x²/16+y²/4=1内一点M（2,1）引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.     

对解题结果的合理取舍

正已知直线被圆锥曲线所截得的弦的中点坐标,求直线的方程或圆锥曲线的方程是一种重要题型,俗称"中点弦问题",其中渗透了处理圆锥曲线问题中的典型思维方法.而对其解题结果的合理取舍,则是我们在解题过程中极易忽视或出错的地方.现举例说明.     

圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线的位置关系中有关弦的问题主要有:相交弦、中点弦、焦点弦、切点弦等,它们都是高考的热点,其中,中点弦问题尤为重要。一、求曲线方程1.求中点弦所在直线方程     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:“过点P(2,1)作直线与椭圆x2/16 y2/4=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程.”学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法. 这时,有一个学生举手,说自己还有第三种解法,她的解法如下: 如图1,设A(x,y),因为点P平分弦AB,所以B点坐标为(4-x,2-y). 因为A、B两点在椭圆x2 4y2=16上,     

在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索

直线和圆锥曲线的位置关系,是解析几何中最主要的题型,这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点、弦长等.解决的方法往往采用数形结合思想、“设而不求”的方法和韦达定理.其中椭圆、双曲线、抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的.由于椭圆和抛物线的弦的