二次函数解析式的简捷求法

根据所给条件，确定二次函数的解析式是一类重要的数学问题，怎样根据所给条件正确、迅速地确定二次函数的解析式呢？下面就常用的二次函数的三种表达式举例说明．一、一般式：y＋ax2＋bx＋c（a≠0）这是二次函数的一般式，当题目中已知x和y的三组对应值时，选用一般式较好，可通过解三元一次方程组求出a、b、c，从而确定其解析式．例1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴文于点A和点B，与y轴交于点C（0，－5），求此二次函数的解析式．（西安市1992年中考题）分析由于已知图象上三个点A、B、C，故可将此三点的坐标代入抛物线解析式易得a一4，b…     

一道中考题的四种解法

求二次函数的解析式是初三代数中的一个重要内容，也是近年来中考中的一个定型题．为了帮助初三同学掌握好这一内容，本文现以一九九四年新疆维吾尔自治区的一道中专题为例,通过一题四解,将求二次函数解析式的几种常用方法介绍如下：．题目己知二次函数y=ax2+bx＋c的图象经过直线y=3x＋3与x轴、y轴的交点，对称轴为x=－1．求二次函数的解析式．解一（一般式法）根据题意，在y=－3x＋3中，分别令y=0，x=0，可得到抛物线经过（1，0）和（0，3）两点放二次函数的解析式为y=-x2－2x＋3解二（顶点式法）设二次国数的解析式为y=a（x＋m）2＋h，即y…     

关于二次函数解析式求法的讨论

老师：二次函数解析式的求法灵活多样．如何根据题目的已知条件,选用最简捷的方法求解,请大家充分发表自己的意见．例回已知二次函数图象的顶点是（1,－3）,且过点（2,15）,求此函数的解析式．王芬首先举手,她的解法是：解设函数解析式为y＝。’＋bx＋c,则放所求解析式为y＝2x‘＋4X－1·接着李颖又给出另一种解法．解设函数解析式为y＝a（x＋l）‘－3．将x＝Zy＝15代入得15＝ga－3．解之,得a＝＝2·故所求解析式为y＝2（x＋1）’3＝Zx‘＋4x、1．老师：经过对比,一致认为李颖的方法较好,即简捷,计算量也小．而王芬的解法要解…     

二次函数学习指要

y＝ax２＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠０）是二次函数的一般形式，图象是抛物线．通过配方，可以把二次函数表示成y＝a（x－h）２＋k的形式，此时h＝－b２a，k＝４ac－b２４a．由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线x＝－b２a，顶点坐标是（－b２a，４ac－b２４a）．当a＞０时，抛物线开口向上；当a＜０时，抛物线开口向下．如果知道一条抛物线上三点的坐标，那么可用待定系数法求出相应的二次函数的解析式．关于二次函数的图象，教科书１３．７节用了很大篇幅讲述了用平移法作出y＝ax２＋bx＋c的图象（即由抛物线y＝ax２左右上下平移得到）…     

二次函数解析式的简捷求法

你想掌握求二次函数解析式的技巧吗？请你先熟悉一下二次函数的三种表达形式：（1）一般式y＝ax‘＋6x＋c．已知二次函数的图象经过三个一般的点,常用一般式求解析式．,＿、＿。＿。,、,,,＿＿,b（2）顶点式y＝a（－h）“＋k（其中h一十,k＝”－’‘”””“一“一”～‘”””””””’‘”2’””4ac。b＼。。,at。。、。。。。。1,。,、。、、。y生二业）,抛物线的顶点坐标为（h,k）,对称轴为江一4Q”’“————”“——“”——”””””＼’”’””I,“”、I‘、l—’、—－h．涉及抛物线的顶点。对称轴和最大值…     

初中二次函数单元训练要点

训练要求：掌握二次函数的有关概念、图像及性质。认陈内容：二次函数的定义及有关概念;二次函数的图像及性质;抛物线y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的变换关系;二次函数y＝ax’＋bx＋c与二次方程ax’＋bX＋X＝0间的关系。例1．求抛物线y＝－7x‘－x＋3的开D万向、顶“““”‘“”“””“”～’6“““—”“”“““”“””点坐标、对称轴方程,并画出略图。此例考查二次函数的基本性质和图像。解：（略）评注：解此类题,先把国数方程式的右边配方,再解答比较简便;画略图只需确定顶点坐标,图像与坐标轴的交点,对称轴即可。例2…     

二次函数解析式的简捷求法

中考试题的特点是题量大，考查点多．要想取得好成绩，除解题准确外，解题速度的快慢也很关键，这就要求我们在解题时，灵活运用各种解题技巧，以提高解题速度．下面举例说明，怎样根据给出的条件，简捷地确定二次函数的解析式．一、已知抛物线上三点的坐标，可设解析式为c一。x’＋bx＋c，把三点坐标分别代入其中，列出关于cz、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可得到所求的解析式．例l如图1，抛物线y一一’＋5y＋y（。羊0）过M、N、P三点，求该抛物线的解析式．（贵阳市1996中考题）解设它的解析式为y一一‘＋》X十八…     

怎样求二次函数的解析式

求二次函数的解析式是“函数”部分的难点.课本中对这个问题没有做深入的讲解,同学们解题时常感困难.本文举例分析二次函数解析式的几种求法,供同学们参考.一、三点型若已知抛物线上三点的坐标,则二次函数的解析式可用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来表示,然后用待定系数法将三点坐标分别代入求解.例1已知一个二次函数的图象经过(-1,-6),(1,-2),(2,3)三点,求这个函数的解析式.解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,则有a-b+c=-6,a+b+c=-2,4a+2b+c=3.解这个方程组,得a=1,b=2,c=-5.故所求函数的解析式为y=x2+2x-5.二、顶点型若已知抛物线的顶点坐标或…     

中考题中抛物线顶点问题的浅析

二次函数图象的顶点是二次函数的重点内容．它涉及的知识面广,是中考试卷中的热门题．现以1997年中考题为例介绍如下．一、顶点与抛物线解析式例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2,且图象的最高点在反比例函数的图象上,求此二次函数/的解析式．（1997年贵州省中考题）解析对称轴与的图象相交,把X＝2代入得抛物线的顶点（2,1）．再由对称轴求得m1＝－1,m2＝2舍去,因抛物线有最高点,a＜0）,’．解析式为y＝－（x－Z）’＋l,即y＝－x’＋4x－3．二、顶点与抛物线的平移例2一条抛物线是由y＝－xZ的图象经过…     

用转化思想巧求二次函数解析式

“已知三点确定二次函数解析式”是函数一章的基本题型．若能充分利用转化思想,用“活”这一基本方法,是可以解决许多求二次函数解析式的问题的．本文以部分中考题为例,说明用转化思想巧求二次函数解析式的方法,供同学们学习时参考．例1已知对称轴平行于y轴的抛物线过点卜1,－3）、（1,l）、（0,O）,求此抛物线的解析式．（无锡市1996年中考例解设抛物线的解析式为故所求二次函数解析式为y＝－X‘＋ZX．利用待定系数法求过已知三点的抛物线解析式,是教学大纲的最基本要求,同学们一定要q握．例2已知抛物线的对称轴为X＝－2,抛物…     

函数图象的平移规律探索

苏科版九年级（下）数学教材在讲解二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的性质时,是将二次函数的解析式由简单的y=ax2（a≠0）（顶点在原点）逐渐过渡到y=ax2＋c（a≠0）（顶点在y轴）、y=a（x-h）2（a≠0）（顶点在x轴）、y=a（x-h）2＋k（a≠0）（顶点式）,再到一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）.而前四种形式的二次函数图象之间的联系是通过对应的抛物线的平移来实现的：     

巧用抛物线的轴对称性解题

二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是抛物线,是轴对称图形,对称轴为x0=b／2a,即若抛物线Y=ax2＋bx＋c（a≠0）上有两点（x1,y）、（x2,y）,则有x1＋x2／2=x0成立,利用这一简单性质,可以迅速解决一类中考题．     

二次函数解析式的几种常见求法

求二次函数解析式是《函数及其图象》一章的重点和难点,也是近年中考命题的重要内容.通过求解析式可将函数、数形结合等数学思想融为一体,以提高学生运用一些数学方法解决实际问题的能力.求二次函数解析式的方法,由已知条件而定.一、已知二次函数图象上三点的坐标一般情况下,设它的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)(一般式),将三点坐标代入,解三元一次方程组求出a、b、c即可.例1.已知二次函数的图象经过(3,2),(-1,-1),(1,3)三点,求这个二次函数的解析式.解:(略).二、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标或对称轴一般选用顶点式y=a(x-h)2+k较为简…     

1题5法8解

求二次函数解析式是初中代数的重要内容之一,也是中考命题的热点．本文通过一例的八种解法说明解这类题的五种一般的思路方法与技巧．题已知抛物线y＝。’＋ta＋c（a／0）的顶点为（－2,9）,且与X轴两交点间的距离为6,求抛物线的解析式．方法—一般法,即按照题意布列关于a。b、C的方程组,再解之．解1由已知,得解之,得a二一l,b＝－4,c＝5·故所求解析式为y＝－x‘－4x＋5·解2依题意得点评这里把顶点（－2,9）作为普通的点使用,所得方程③比方程②简单,为方程组的求解创造了有利条件．解3令西一b’－4ac,则仿解1得解得a＝－l…     

抛物线对称性的妙用

学习了二次函数及其图象后,同学们都知道,抛物线y＝αx2＋bx＋c是轴对称图形,它的对称轴是直线x,抛物线的顶点在对称轴上．解决有关二次函数的问题时,若能充分应用抛物线的对称性,则可给出特别简捷的解法．例1已知抛物线的对称轴为X＝－2抛物线与X轴两交点间的距离为2,交y轴于点（O,2）,求此抛物线的解析式．（1997年,苏村1市）分析设抛物线的解析式为y一一’＋bx＋c,按照常规解法,需要解关于a、入c的三元二次方程组,从而求得a、入c的值．这种解法,运算过程是相当繁杂的．若利用抛物线的对称性,解法就简捷了．因为抛物线的…     

求二次函数解析式应注意的几个问题

求二次函数的解析式,是我们常见的题型．它解题的思路广,灵活性大．如何既迅速又准确地求解,我觉得应当注意以下几个问题：一、选用恰当的表达式二次函数有三种表达形式：一般式y＝ax’十功十c;顶点式十一a（。－m）‘＋n［（m。n）是抛物线的顶点〕;交点式y一以x一人l）（。－”2）（XI、。2是抛物线与X轮交点的横坐标）．思考时要通过对已知条件的分析,确定选用哪种表达形式．一般情况下,当图象过任意三点时,应选用一般式;已知抛物线的顶点时,应选用顶点式;已知图象与X轴的两个交点时,应选用交点式,但也要注意灵活性。例1…     

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

一、用一般式y=ax2 bx c当已知图象上任意三点坐标时,将它们的坐标分别代入二次函数的一般式,建立方程组,求出a、b、c的值,于是解析式即可确定。例1已知二次函数的图象经过(-1,-1),(0,-2),(1,1)三点,求这个函数的解析式。解:设所求二次函数的解析式是y=ax2 bx c,因为图象过(-1,-1),(0,-2),(1,1),所以有方程组a-b c=-1c=-2a b c= 1解这个方程组,得a=2b=1c=- 2所以所求二次函数的解析式是y=2x2 x-2。二、用顶点式y=ax-h2 k当已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最大(或小)值时,则将已知条件代入二次函数的顶点式,建立方程(组)而求解。例2…     

用一个公式求二次函数的解析式

用设二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴的两个交点为A和B,则两交点的横坐标分别是方程ax2 bx c=0的两个根x1、x2,易求得线段A B=∣x1-x2∣=(x1 x2)姨2-4x1x2=(-ba)2-4ca姨=姨b2-4ac∣a∣.若已知或易求得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离,则可以用这个公式来求二次函数的解析式.请看下面几道例题.例1以(1,2)为顶点的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点M.已知A B=4,求这条抛物线的解析式.解:因为抛物线的顶点为(1,2),故设这条抛物线的解析式为y=a(x-1)2 2=ax2-2ax a 2.设A、B两点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),则A B=4a2-4a(a 2)姨…     

从基础到能力的跨越——记一道习题的讲评课

九年义务教育三年制初中《代数》第三册（人教版）P１４５有这样一道习题：一条抛物线y＝ax２＋bx＋c经过（０，０）与（１２，０），最高点的纵坐标是３，求这条抛物线的解析式．这道题并不难，基本解法大多数同学都可以想到：因为抛物线经过（０，０）与（１２，０），最高点的纵坐标是３，所以，得c＝０，１４４a＋１２b＋c＝０，４ac－b２４a＝３ 解之得，a＝－１１２，b＝１，c＝０．于是求得抛物线的解析式为y＝－１１２x２＋x．我们利用这道题开展丰富的联想，引导学生对题目进行多角度、全方位综合分析、变形，使学生对所学…     

巧用抛物线的对称性求解析式

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性,它的对称轴是直线x=-b2a,顶点在对称轴上.在求抛物线的解析式时,充分利用抛物线的对称性,可简化运算.现举例说明如下.例1已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,-1)、B(1,2)、C(-3,2)三点,求该抛物线的解析式.解:∵B(1,2)、C(-3,2)是抛物线关于对称轴的对称点,∴抛物线的对称轴是x=121+-3=-1.设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k.将点A(0,-1)和B(1,2)代入,得-1=a+k,2=4a+k解得a=1,k=-2.∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-2,即y=x2+2x-1.例2已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(3,-2),与x轴的两个交点B、C间的距离为4,求该抛…