应用垂面求线面角

求斜线与平面所成的角,关键是过斜线上一点作平面的垂线.而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的.这样我们作线面角时,可先找证或作一个平面垂直于已知平面,然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线,再把垂足和斜足连结起来,线面角就作出来了.下面举例说明.     

线面垂直垂足位置确定的几种途径

直线与平面垂直是整个立体几何问题的枢纽,它不仅是线线关系和面面关系的中间环节,而且在有关距离和角度的计算中有着广泛的应用．空间距离都可转化为点线距离和点面距离,在计算前关键是确定垂足;求线面角时,常采用“射影转化法”,求作二面角的平面角时,常运用“三垂线定理法”,而这些与垂足的位置的确定     

应用垂直求线面角

求斜线与平面所成的角,关键是过斜线上一点作平面的垂线．而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的．这样我们作线面角时,可先找证或作一个平面垂直于已知平面,然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线,再把垂足和斜足连结起来,线面角就作出来了．下面举例说明．     

立体几何中点面距离的求法

正空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中,点到平面的距离显得尤为重要,在高考中也经常出现,并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解.因此,点面距离就成了这一类距离问题的交汇点.下面举例谈谈点面距离的求法:一、直接法即直接作出点到平面的垂线段,然后求出垂线段的长度.而在作点面垂直时,通常先找面面垂直,然后作两个面交线的垂线,利用面面垂直的性质,即可找出垂线段.     

立体几何中的五类转化

一、高维与低维的转化 比如,求异面直线所成的角是通过平移法,把空间角转化为平面角;求斜线与平面所成的角是找出斜线在平面内的射影,把线面角转化为线线角;求二面角是作出二面角的平面角,把面面角转化为线线角．又如证明面面平行是在某一平面内找两条相交直线平行于另二个平面,把面面平行转化为证明线面平行;证明线面平行是在平面内找一条直线与已知直线平行;证明面面垂直是在其中一个面内找一条直线垂直于另一个平面,     

点在平面上的射影位置及其应用

确定点在平面上的射影位置,对于确定空间中的角和距离以及判断线、面垂直都有非常重要的作用,而这正是立体几何教学的重点内容.我们在归纳、总结平时教学的基础上整理出点在平面上的射影四种常用位置关系:1 斜线上一点到平面上的射影,必在这斜线在平面内的射影上2.1 过一个角的顶点引这个角所在平面的一条斜线,若斜线与角的两边夹角相等,则这斜线上的点在平面内     

垂足定位的若干方法

在立体几何中,解决线面成角、空间距离(点与面、线与面、面与面)、体积等问题时,同学们苦于找不到相应的平面角和相应的距离而陷入困境,觉得无从下手.其实,这些问题的解决都与垂足定位有关.1辅助垂面法面面垂直的性质定理说明:如果2个平面垂直,那么,其中一个平面内的任意一点(或任意一条直线)在另一平面内的射影在两平面的交线上.为此欲找一点P(或者一条直线l)在平面α内的射影,只需过点P(或者过直线l)找一个平面β与α垂直,则点P(或者直线l)在α内的射影在两平面的交线上.例1如右图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,D为AB中点,将△…     

凸显基本图形在“立体几何”专题复习中的价值

众所周知,立体几何以探究＂空间线面平行垂直关系＂为主,而转化与化归的思想是立体几何的核心思想方法.如空间线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化,角、距离、体积的计算转化为空间线面垂直关系,角、距离、体积的计算转化为平面法向量的直接应用,等等.     

如何确定由平面外点所作平面垂线的垂足的位置?

立体几体中 ,在求点到平面距离以及线面角、面面角时 ,往往要由平面外一点向平面作垂线 ,如何确定垂足的位置 ,常使同学们感到困难 .找不到垂足 ,解题过程便无法继续 .那么 ,怎样才能解决好这一问题呢 ?课本中有两个平面垂直的性质定理 :“如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”.因此已知点 P 面α,由 P向α作垂线 ,垂足位置不明显时 ,可观察图中有无过 P且与α垂直的平面β.若有 ,由性质定理 ,只要过 P作α、β交线的垂线 ,即得由 P向α所作垂线的垂足 ;若没有 ,先想法作出这样的辅助面β,再进…     

谈谈点面距离的求解策略

线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解，异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解．所以掌握点面距离的求法是学习线面距离、面面距离的基本和关键．以下谈谈求点面距离的几种策略．１ 先作后求 先作后求的思路是：先过点作平面的垂线段，再利用解三角形的方法求出垂线段的长度．但这种解法一般要确定垂足的位置，通常是利用面面垂直的性质来确定垂足的位置． 例１已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为４，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ为６０°，求Ｐ在底面内的射影Ｏ到平面 ＰＢＣ的距离． 解 如图１，过Ｐ作＊ｏ上…     

巧求直线与平面所成的角

求直线与平面所成的角是高考考查的重点,我们必须熟练掌握求直线与平面所成的角.在求直线与平面所成的角时,应注意先判断直线与平面的位置关系.当直线与平面斜交时,关键是确定斜线上某点在直线或平面上的射影.最常用的方法就是利用面面垂直的性质定理,即寻找一个经过这点且与已知平面垂直的平面,作出它们的交线,再过这点向交线作垂线,其垂足就是这点在平面上的射影.但有的题目采用这种方法比较复杂,若采用一些特殊的解题技巧,就可以避免繁难的几何作、证、求.下面介绍一些解题技巧.例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD…     

“三线三心”找射影

确定点或直线在平面上的射影位置是立体几何中常见的问题,三垂线定理、点到平面的距离、线面角和二面角都要涉及点或直线在平面上的射影.要作射影并不难,难的是确定射影位置究竟在何处?要确定射影的位置,常用的结论涉及到三线三心.     

立体几何考点解析

一、点、线、面间的位置关系直线与直线、直线与平面的位置关系,特别是线线、线面的平行和垂直关系,是高中立体几何的理论基础,是高考命题的热点与重点之一.线线、线面平行与垂直关系的判定与证明每年必考,且侧重于垂直关系.因为垂直关系不仅在线线、线面、面面关系中占突出地位,而且在线线角、线面角、二面角的平面角的作法或论证以及求点到直线的距离、点到平面的距离等问题中都离不开垂直关系.(一)对公理、定义、定理、概念和性质的考查公理、定义、定理、概念和性质是立体几何的基础知识,每年高考都少不了要对它们进行考查,这主要是考查…     

用空间向量解立体几何题

通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,…     

立体几何中点在平面内的射影的确定方法

立体几何中涉及到的许多问题都与射影有关,如距离问题（点面距离,线面距离,面面距离）、角度问题（线面角,二面角）等．这些问题往往可以归结为平面外的点在这个平面内的射影的问题来解决．那么,确定点在平面内的射影通常有哪些依据呢？下面我们结合一些实例来谈谈这个问题．     

关于“斜线在平面上的射影”定义之质疑

关于斜线在平面上的射影,高中立体几何课本§1.10有这样一段话:“过斜线上一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.……斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上。”显然,省略号之前的一段话是作为定义,这里编者显然是把     

三垂线定理及其逆定理的题根

三垂线定理及其逆定理是立体几何中的2个重要定理,在解决某些立体几何问题时,具有较大的优越性,尤其存处理垂直问题的时候．题根如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上．     

直线平面 简单几何体

火眼金睛指点迷津本章知识分为两大部分,一是空间直线和平面,二是简单几何体.直线和平面是基本的几何元素.空间直线和平面的位置关系,是立体几何的基础知识.它包括线线共面(相交与平行)、线线异面;线面相交、线面平行、线在面内;面面相交、面面平行.空间距离与角是立体几何的重点内容,它包括空间“三角”——(异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角)和空间“八距”——(两点间距离、点线距离、点面距离、平行线间的距离、异面直线间的距离、线面距离、面面距离、球面上两点间的距离).     

立体几何中点面距离的求法

求点面距离是立体几何的重点内容,也是高考的热点,尤其在近几年高考中非常活跃.为此对常见的点面距离的求法进行归类总结,供读者参考.常见的点面距离的求法如下框图:点面距离直接构造法垂面法三垂线定理法转移法等积法1　构造法根据题中所给条件,作出点到面的垂线,但由于需要计算,所以,关键要确定点在平面上射影的位置.常有以下几种方法.11　垂面法过点先作一平面垂直已知平面,再在该平面上过点作交线的垂线,利用垂线构造三角形求出距离.体现了把空间问题转化到平面上解决的转化思想.图1例1　棱长均为ａ的正三棱柱ＡＢＣ—Ａ1Ｂ1Ｃ1中,Ｅ是…     

直线与平面所成角的常用求法

直线与平面所成的角包含了直线与平面平行、直线在平面内和直线与平面垂直这几种特殊情况,这里主要是谈斜线与平面所成角的常用求解方法。 1 利用平面的垂线来确定 斜线的射影由斜线与平面所成角的定义知,确定斜线与平面所成角的关键是找出斜线在平面上的射影,从而由斜线上的一点（不同于斜足）向平面引垂线来确定斜线在平面上的射影就成了一种基本方法。