圆方程一般式的妙用

<正>圆的一般式方程C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).当点P(x0,y0)不在圆C上时,x20+y20+Dx0+Ey0+F≠0,该数值有何几何意义呢?经过探索,我们发现结论已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),点P(x0,y0).(1)点当P在圆外时,切线PA切圆于点A,则切线长     

从一道保送生入学试题谈圆锥曲线的几个结论

2011年北京大学保送生数学考试共有5道试题,最后一题为： 设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）是圆x^2＋y^2=1上不同的三点,且满足 x1＋x2＋x3=y1＋y2＋y3=0．① 证明：x1^2＋x2^2＋x3^2=y1^2＋y2^2＋y3^2=3/2.     

二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

1 知识简介 记G（x,y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F.1.1 二次曲线中点弦的方程     

运用圆系方程解题

结论1 以点（x0，y0）为圆心、以r（r为参数）为半径的圆系方程为：（x—x0）^2＋（y-y0）^2=r^2．     

圆系方程中圆的存在性、性质及应用

本文通过对圆系方程（x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F）＋λ（x^2＋y^2＋D2x＋E2y＋F2）=0（λ≠1）表示圆的存在性和性质的深入研究，得到了几个有价值的结论，特别是用圆的方程推出了三角形中过顶点的相关线段的长度公式．     

探究x0x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

在高二数学（上）（试验修订版）第七章《直线和圆的方程》中有一重要结论：过圆x^2＋y^2=r^2上一点P0（x0,y0）的切线方程为x0x＋y0y=r^2此切线方程可看成是已知圆的方程x^2＋y^2=r^2作如下置换：x^2→x0x,y＾2→y0y而得到．教学时着重强调点P0（x0,y0）必须在圆上,否则结论不适用．那么,当点P0（x0,y0）不在圆上时,直线x0x＋y0y=r^2与圆x^2＋y^2=r^2有何关系呢？     

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.     

对一道征解题及其姊妹不等式的推广

1征解题的提出 《数学通报》09年第9期问题1814：x,y,z∈R＋,λ〉0,μ≥0,υ≥0,且λ≥2μ-υ,λ≥2υ-μ,0〈α≤1.证明：（x/λx＋μy＋υz）^α＋（y/υx＋λy＋μz）^α＋（z/μx＋υy＋λz）^α≤3/（λ＋μυ）^α.     

两圆根轴的性质及其推广研究

设平面上有两圆 ⊙O1：x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F1=0① ⊙O2：x^2＋y^2＋D2x＋E2y＋F2=0② 其圆心O1（-D1/2,-E1/2）、O2（-D1/2,-E1/2）不重合.     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

关于二次曲线中点弦的一个性质及其应用

记f（x,y）＝Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F（A、B、C不全为零）．定理若过一点（a,b）的直线被二次曲线f（x,y）＝0截得的弦（不过有心曲线的中心）的中点为（X0,y0）,则证明方程f（x,y）＝0可变形为令ZAX。十河。十p一人‘（。,y。）,ZO。＋B。＋E一人’（x。,y。）,设过点（a,b）及点（x。,y。）的直线方程为将（2）代入（l）,整理得易知该方程有两个不等的实根x1及x。,依韦达定理及中点坐标公式得试举几例说明定理的应用例1给定双曲线X’一会一1,过点A（2,1）的直线l与所给双曲线交于两点产;和P。,求线段P;P。…     

圆锥曲线极点与极线的一组性质

1圆锥曲线极点和极线的定义 已知圆锥曲线C：Ax^2＋Cy^2＋2Dx＋ZEy＋F=0（A^2＋C^2≠0）,则称点P（x0,y0）和直线l：Ax0x＋Cy0y＋D（x＋xo）＋E（y＋y0）＋F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线．     

由中点弦方程说开去

过定点M(x0，y0)作(常态)圆锥曲线Г：f(x，y)=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F=0(点M非曲线Г的中心)的弦l，若此弦被点M平分，则称弦l为中点弦．     

圆锥曲线的“相伴”性质的探索

本文就点P（x0,y0）在圆x^2＋y^2=r^2上、内、外三种情况,从点P（x0,y0）与直线l：x0x＋y0y=r^2成对的相互关系出发,引申到点P（x0,y0）与直线l：x0x＋y0y=r^2的垂线段为直径的圆与圆x^2=r^2的相伴关系,然后推广到椭圆中类似的“点线相伴”和“椭圆与椭圆相伴”性质．     

圆的切线长公式及其应用

切线的长度:是指从圆外一定点,向圆引切线,其切点到定点的距离.设P(x0,y0)是圆x2 y2=r2或(x-a)2 (y-b)2-r2或x2 y2 Dx Ey F=O外一定点,PQ与圆相切且切点为Q,则切线长依次为圆的切线长公式及其应用$河南省叶县高级中学@尹建堂~~     

直线与二次曲线位置关系的判定

直线与二次曲线的位置关系,可以由它们的方程所组成的方程组解的个数,及二次曲线的形状来确定,讨论如下：设直线L与二次曲线M的方程分别为：L：A1x＋B1y＋C1＝0（1）M：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0（2）其中A1、B1至少有一个不等于零。A、B、C至少有一个不等于零。1当B1≠0时,令-A1／B1=k,－C1／B1＝b则方程（1）化为：y=kX＋b,再把它代入方程（2）并整理得：（A＋Bk＋Ck2）x2＋（Bb＋2bc＋D＋EK）x＋b2C＋bE＋F=0（3）1．1当A＋Bk＋Ck2≠0时,方程（3）是关于x的一元二次方程。其判别式Δ为：Δ=（Bb＋2bC＋D＋Ek…     

一道“希望杯”试题的错解·正解·妙解

题目 记 F（x,y）=（x-y）2＋（x/2＋2/y）2（y≠0）,     

解析几何中轨迹问题的求解策略

求曲线方程的常用思路和方法 1直译法 例1 求与y轴相切,并且和圆x^2＋y^2-4x=0外切的网的圆心的轨迹方程． 解 由x^2＋y^2-4x=0,有（x-2）^2＋y^2=2^2.     

一道高考题的别解及其命题背景

一、高考试题的别解 2009年江苏高考数学试卷第18题是这样的： 题目在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1：（x＋3）^2＋（y—1）^2=4和圆C2：（x-4）^2＋（y-5）^2=4．     

曲线系方程应用一瞥

众所周知,过曲线F1（x,y）=0与F2（x,y）=0交点的曲线系方程可表示为F1（x,y）＋λF2（x,y）=0.下面就曲线方程的应用简举几例.