等腰三角形判定定理的其他证法

在几何学习中，理解和掌握几何定理的证明方法是极为重要的。这是因为几何定理的证明方法具有典型性和代表性．要理解和掌握几何命题的证明方法，首先要理解和掌握几何定理的证明方法．而掌握了几何定理的证明方法，就从根本上掌握了几何命题的证明方法．因此，在几何学习中，一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．关于等腰三角形判定定理的证明，课本上的证明方法是利用全等三角形给出证明．但在已知图形中，并没有以ＡＢ、ＡＣ为一对对应边的全等三角形，因此要先作适当的辅助线（即作角平分线ＡＤ，如图１），把西ＡＢＣ分成两个三角…     

等腰三角形性质定理的证明方法

研究几何定理的证明方法具有十分重要的意义．这是因为几何定理的证明方法一般都具有典型性和代表性．只要理解和掌握了几何定理的证明方法，就能从根本上掌握几何命题的证明方法．因此，在几何定理的学习中，一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．但有不少同学在几何学习中，对几何定理的证明方法极不重视，老师在课堂上分析几何定理的证题思路、讲解几何定理的证明方法时，他们不注意听，只把精力放在定理条文的记忆和背诵上．这是舍本求末的做法，应该改变．对于等腰三角形的性质定理，课本上的证明方法是利用全等三角形给出证明：先…     

等腰三角形判定定理的证明

关于等腰三角形判定定理的证明,课本上的证法是应用全等三角形给出证明．但在已知图形中,并没有以ＡＢ、ＡＣ为一对对应边的全等三角形,因此必须添加适当的辅助线（作ＢＡＣ的平分线ＡＤ）,把ＡＢＣ分成两个三角形ＡＤＢ和ＡＤＣ;然后证明这两个三角形全等;最后根据全等三角形的性质证得ＡＢ＝ＡＣ．除此之外,还有如下几种证法：１．作ＢＣ边上的高ＡＨ（如图１）,把ＡＢＣ分成两个直角三角形ＡＨＢ和ＡＨＣ,则ＡＢ、ＡＣ分别是这两个直角三角形的斜边．于是,欲证ＡＢ＝ＡＣ,只须证Ｒｔ△ＡＨＢＲｔＡＨＣ即可,根据已知条件和辅…     

等腰三角形性质定理的另证

在几何学习中,研究和掌握几何定理的证明方法具有十分重要的意义．这是因为几何定理的证法一般都具有代表性和典型性．同学们只要理解和掌握了几何定理的证明方法,就可以从根本上掌握几何的证明方法．因此,在几何学习中,一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．但有一部分同学在学习几何时,极不重视理解和掌握几何定理的证明方法．老师在课堂上分析几何定理的证题思路、讲解几何定理的证明方法时,他们不注意听,只把注意力放在定理条文的记忆和背诵上．这是舍本求末的学习方法．应该改变关于等腰三角形性质定理的证明,除了课本上的…     

关于等腰三角形性质定理证明的再思考

关于等腰三角形性质定理的证明,课本上的证法是：作顶角A的平分线AD,把等腰凸ABC分成两个三角形ADB和Alf,证凸ADB。］ADC．除课本上的证法外,此性质定理还有其他证法吗？只要我们认识上述证法的实质,并善于从不同的角度去思考问题,就可以找到下列几种证法：1．作底边BC上的高AH（如图1）,把等腰rtABC分成两个直角三角形AHB和AHC,LB、ZC分别是它们的一个内角．于是,欲证上B二ZC,只须证Rt凸AHBsffirtAHC即可．这由已知条件和辅助线的作法即得,故命题可证．2．作底边BC的中线AM（如图2）,把等腰thABC分成两个…     

逆命题,想说爱你不容易

利用逆命题编制几何习题是最直接、有效的一种命题方式,然而,出人意料的是,逆命题的证明难度常常较高,历史上著名的"施泰纳-莱莫斯定理",有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形,就是教科书上定理"等腰三角形两个底角平分线相等"的逆命题.由于施泰纳的证明过于复杂,因此吸引了很多人去寻找更为简单的证法,从而在1842至1864年间形成了证明施泰纳-莱莫斯定理的热潮,乃至于在各种杂志上出现了大量的证明论文,并在其后的一个世纪中,还经常有这方面的文章出现.在教学过程中,教师有意识地通过逆命题的研究激发学生的学习兴趣、培养学生的思维能力,事半功倍.本文探讨一个定理的逆命题的构成与证法,供读者参考.     

一堂变式教学的实录与评述

课题：等腰三角形的判定执教：杨恳茂（胶南市红石崖镇中心中学）指导：韩文明评述：张志敏（青岛大学师范学院教授）教学目的：1．使学生掌握并熟练应用等腰三角形的判定方法;2．进一步掌握分析方法;3．培养学生的思维能力。使学生学会思考,学会发现。教学过程：一、复习提问：师：前面,我们学习了等腰三角形的有关概念、等腰三角形的性质和判定定理。现在,请同学们回答：怎样判定一个三角形是等腰三角形呢？生：（1）根据定义,利用全等三角形证明;（2）根据判定定理,设法证明同一席上的两个角相等。（教师肯定学生的回答,并把答…     

三年制初中《几何》第三章教学问答(二)

1．等腰三角形性质定理的证明一定要添加辅助线吗答:在证明等腰三角形的性质定理时,需有目的地添加辅助线,其目的是通过添加的辅助线,把已知条件和欲证结论分别置于两个三角形中,再证这两个三角形全等,进而证得结论。证明中添加的辅助线,除了教科     

面积定理的应用

一、利用面积定理论证某些几何定理例1 利用面积定理证明:两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。这是一道脍炙人口的难题,看似简单,证起来却很麻烦。近年来国内不少刊物都刊登过它的多种证明。现在我们来看它的面积证法。     

怎样证明两条线段相等─—证明线段相等的基本思路小结

证明线段相等是几何证明中最重要的一类题型，它是几何证明的基石．学习几何，一定要牢牢掌握证明线段相等的基本思路和基本方法．初二同学学完《相似形》一章后，证明线段相等的思路和方法已基本确定，为了帮助初二同学系统而牢固地掌握证明线段相等的基本思路和基本方法，我们在此作一小结，供同学们参考．证明线段相等有下列基本思路：1．利用全等三角形，即证明两条线段是两个全等三角形的对应边、对应中线、对应高或对应角平分线．2．利用等腰三角形，即证明两条线段是等陪三角形的内腰、两腰上的高、两腰上的中线或两年角的平分线，或…     

内角平分线性质定理的多种证法及其应用

三角形内角平分线性质定理是:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。这个定理有多种证法。而从这些证法中可以总结出证明成比例线段的规律和技巧,并能运用此证题规律去解这一类问题。下面谈谈内角平分线性质定理的证法及其应用。     

一个定理的教学体会

两直角三角形相似的判定定理,课本上是这样证明的:先在△ABC中作一个与△A＇B＇C＇相似的三角形,再证明这两个三角形全等。对于这个定理的证明,尽管有三个判定定理的证明作基础,但学生还是普遍反映,对这种证法感到突然。我在教学中,根据学生的心理特点,介绍了如下证法:     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”,这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理.1840年,德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证.但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来.”斯坦纳答应研究这个问题,但是,直到1844年,斯坦纳才发表这个定理的证明方法.于是,这个问题便以“斯坦纳—雷米欧司”定理而闻名于世.斯坦纳的证明发表后,引起数学界的极大反响.论证这个定理的文章发表在1844年至1864年几乎每一年的各种杂志上.后来,一家数学刊物公开征解,竟然收集并整理出了60多种证法,编成了一本书.直到1980年,美国《数学教师》月刊还给出了这个定理的研究现状,而且他们又收到2000多封来信,增补了20多种证法,其中包括一个最简单的直接证法.经过几代人一百多年的研究“,斯坦纳—雷米欧司”定理成为数学百花园中最惹人喜爱的名花之一.“斯坦纳—雷米欧司”定理为何魅力无穷?一方面,它是初中教材上的最基本、最常用、最简单的定理之一——“等...     

运用定理和习题培养学生的创造思维能力

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。人类通过生产和生活实践获得了数的概念和一些简单几何形体的概念。 数学是基础学科。充分利用数学课堂,运用课本中的定理和习题,培养学生的创造思维能力,会收到数学学习能力与创造思维能力同步增长的效果。 (一)将定理的证法推广 几何定理的证明是培养学生逻辑思维能力的一个好课题,一题多证,证法的推广则是培养学生创造思维能力的好办法。 例如三角形的内角和定理的证明。 按照课本编排,三角形内角和定理的证明按下列顺序进行。首先通过拼图让学生从直观上理解定理,然后进行严格的推理     

爱因斯坦巧用相似证明勾股定理

学过几何的人都知道勾股定理(在西方又叫毕达哥拉斯定理).它是几何中一个重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种,成为世界上证明方法最多的定理之一.像三国时期的数学家赵爽、古希腊数学家欧几里得、美国第20任总统加菲尔德、画家达·芬奇、伟大的物理学家爱因斯坦等,都用各自的方法证明了勾股定理.爱因斯坦12岁时,在未学过平面几何的情况下,根据三角形的相似特性(两直角三角形的相似,完全取决于它们的一个锐角,如果有一锐角相等,二者相似;否则,不相似),独立地给出了毕达哥拉斯定理的一个证法,为此,他长时间地激动!这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理,他却经历了发现者首次的快乐.而且这一证法是毕达哥拉斯定理中最简单和最好的证法,证法如下.     

斯坦纳——雷米欧斯定理的推广

1 定理的来源等腰三角形两底角的平分线相等,这是每个初中学生都能证明的命题.而它的逆命题:两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形,却是一道脍炙人口的几何难题.这个命题是雷米欧斯(Lehmus)于1840年给瑞士著名数学家斯图姆(Sturm)的一封信中提出的,并请求给出一个纯几何的证明,而斯图姆又将问题提供给一些数学家.当时德国的几何学权威斯坦纳(Steiner)首先给出了它的证明,此后该命题就以斯坦纳——雷米欧斯定理而闻名于世.一百多年来,这个定理引起了众多数学爱好者的兴趣,得出了一个个精妙的证明和各种推广.本文对此定理进行了新的推广,得到几个结论优美、证法独特的新命题,它们的证明依赖于下面的引理.     

定理证明的启示

学习几何定理,不仅要理解和掌握定理的证明和应用,而且还要理解和掌握其证明给我们提供的数学思想方法．在这方面,多边形内角和定理的证明过程提供了极为重要的启示．课本上多边形内角和定理的证明方法是：如图1,在n边形内任取一点O,连结O与各顶点的线段把n边形分为n个三角形．这n个三角形的内角和等于n·18o,以O为公共顶点的n个角的和为Zxl8o＝3er,所以n边形的内角和为n·180°－2×180＝（n－2）·180°．上述证明告诉我们,研究多边形内角和的思想方法是：通过作适当的辅助线,把多边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题（…     

蝴蝶定理衍化与统一处理

蝴蝶定理,这个产生于1815年“男士日记”上的问题,横跨两世纪,经历了178年,各种衍化形态和不同的证明方法已不下十数种,各种衍化和证法还在不断翻新,我们在这里对部分衍化蝴蝶定理仅用初中几何知识(主要用“共角定理”),通过面积证法进行统一处理,这样的处理来得简洁明了,易于掌握。 (下面证明过程中△ABC表示三角形的面积)。命题1(蝴蝶定理)设AB是圆O的一条弦,过AB的中点M,作两条弦CD和EF,设ED、CF     

面积法在数学解题中的应用

<正>所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系,运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线,证法简洁,易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中,面积法有着广泛的应用.应用面积法解题的理论依据:1等积定理:两个全等图形的面积相等;等底等高的两个三角形的面积相等;整个图形的面积等于其各部分面积之和.2面积比定理:两个三角形面积     

48届IMO第四题的多种解法

48届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中的第四题是一道平面几何题,一般证法都要利用高中的三角知识,下面我们利用初中的全等三角形、相似三角形和正弦定理等知识给出几种简单而巧妙的证法．题目如下：