与圆锥曲线相切于定点的最大内切圆问题

下面是两道堪称经典的酒杯中的解析几何应用题:问题1有一种抛物线型酒杯,酒杯的轴截面为抛物线的一部分,杯口宽4cm,杯深4cm.若将一些大小不一的玻璃球放入该酒杯中,有些能触及酒杯底部,而有些则不能.当玻璃球的半径在什么范围内时,玻璃球一定会触及酒杯底部?     

酒杯中的解析几何问题

酒杯是我们日常生活中的常见物品.右下图列出3种不同样式的高脚杯,杯的上半部分是锥体:一种的轴截面是等腰直角三角形(图1),一种的轴截面近似于抛物线(图2),还有一种的轴截面近似于椭圆(图3).生活情景1将一些大小不一的玻璃小球放入不同的3个酒杯中,发现所有的小球都无法触及直角酒杯的底部,能放入椭圆酒杯的小球均可触及底部,而有一些小球可以触及抛物线酒杯,但也有一些小球无法触及抛物线酒杯底部.那么,对于一个固定大小的酒杯,如何确定小球的半径大小,使其一定可以触及酒杯的底部?作为研究性学习的内容之一,本文在此做一点探讨,供大家参…     

它们实质相同

1．一个数学问题题1一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x~2=2y(0≤y≤20),在杯内放入一个玻璃圆球,要使球触及酒杯底部,则球的半径的取值范围是____．解设小球轴截面圆心坐标为A(0,a) (a＞0),依题意,酒杯轴截面抛物线上的点与点     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

<正>一、课本题赏析例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是χ²=2y(0≤y≤20).在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件?本题是苏教版选修2-1第68页第10题.它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解.解法1(几何法)设玻璃球轴截面所在     

说题:多维视角下解析一道高考试题

<正>笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前,笔者的学生问了这样一个问题:已知一个抛物线型的酒杯,杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中,当玻璃球的半径在什么范围内,玻璃球一定会触及酒杯底部?笔者在给学生解答的过程中,发现这     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

一、课本题赏析 例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件？本题是苏教版选修2-1第68页第10题．它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解．     

以抛物线为载体的四类“一动点型最值问题”的通用解法

<正>若问题中只涉及一个动点,并且要求最值,我们称之为"一动点型最值问题".此类问题是近几年中考的热点问题之一.本文介绍以抛物线为载体的四类"一动点型最值问题"的通用解法.一、线段长度最值型问题例1(2010年眉山)如图1,RtABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴     

二次曲线内部相切于顶点的最大圆

问题的提出 如图1，在轴截面为抛物线y=x^2的碗内放一个玻璃球，使得玻璃球与碗底部接触，问球的最大半径是多少?此题实际上是求抛物线内部与抛物线相切于顶点的最大圆．它有两个内容值得研究：     

确定抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)开口方向的另类方法

<正>1另类方法事实1若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,则(1)A、B、C三点不在同一直线上;(2)直线AB、AC、BC均不与x轴垂直.事实2平面直角坐标系中,A、B、C三点不在同一直线上,且直线AB、AC、BC均不与x轴垂直,则存在着唯一一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),其图象过A、B、C三点.事实3如图1,平面直角坐标系中,A、B两点是等高点(即两点的纵坐标相等),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A、B两点.若抛物线开口向上,则抛物线经过图中的1区、5区、3区,不经过图中的4区、2区、6区;若抛物线开口向下,则抛物线经过图中的4区、2     

面积问题的解法探究和思考

一、提出问题1.中考试题.如图1,抛物线y=ax~2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若点K在x轴上方     

抛物线的一个性质及应用

本文先给出并证明抛物线的一个性质: 性质1如图1,F为抛物线y2=2px的焦点,A是抛物线上任一点(异于顶点),AD⊥y轴于D,若过A的切线分别交y轴、x轴于B、C,则FB是线段AC的中垂线,且|BO|=|BD|.     

酒杯盛球问题探究

题目一个酒杯,它的轴截面是一个抛物线的一部分,方程是x~2=y,y∈[0,10],在杯内放一个清洁球,要使清洁球能檫净酒杯的最底部,则清洁球的最大半径为多少?分析1可从函数的观点人手,建立以y为变量的函数,把实际问题转化为二次函数在y=0时求最小值的问题.     

一道抛物线焦点弦问题的联想与变型

题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很…     

构造圆轻松突破“酒杯”最值问题

我们先从一个经典老题人手． 例1 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x^2=2y（0≤y≤20）．在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，     

图象法解一元二次方程的一点补充

在目前的中学数学课本中,用图象法求一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的解,大多采用视抛物线 y=ax~2+bx+c 与 x 轴的位置关系这一种方法,(另外还有好几种).1°若抛物线与 x 轴相交,则对应的方程有相异的两个实数根.2°若抛物线与 x 轴相切,则对应的方程有相等的两个实数根(重根).3°若抛物线与 x 轴相离,则对应的方程无实数根.     

这个解法很完整

<正>试题呈现(2015年江苏省徐州市中考)如图1,平面直角坐标系中,将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限,其斜边两端点A,B分别落在x轴,y轴上,且AB=12cm.(1)若OB=6cm.1求点C的坐标;2若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等,求滑动的距离.(2)点C与点O的距离的最大值是     

勾股定理中的数学思想

数学思想常蕴含在基础知识和基本技能中,在运用勾股定理时,若能把握其中的数学思想方法,则可使解题思路开阔,方法简便快捷,下面介绍勾股定理中蕴含的常用数学思想方法. 一、方程思想 例1 如图1,有一直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线折叠,使它落在斜边AB上,且点C落到E点,则CD等于()     

抛物线上的五个特殊点及其应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象是一条抛物线．如图1所示．可见二次函数y=ax^2＋bx＋c（0≠0）中的常数c表示抛物线与纵坐标轴Y轴相交于正半轴或负半轴或原点的位置．故而有：①若c〉0,抛物线与Y轴的交点在Y轴的正半轴;②若c〈0,抛物线与Y轴的交点在Y轴的负半轴;③若c=0,则抛物线过原点．     

一道中考选择题的解法及变式探究

<正>一、试题及解答试题(2015年滨州中考题)如图1,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数y=-(1/x),y=2/x的图象交于B,A两点,则∠OAB大xx小的变化趋势为()     

勾股定理

A组1.已知直角三角形的两条直角边分别是 6 cm和8cm ,则斜边长 cm ,斜边上的高长 cm .(第 2题 )2 .如图 ,A、B、C都是正方形 ,三角形是直角三角形 ,正方形A的面积为 10 0 cm 2 ,则正方形B、C面积的和是 cm 2 .3.已知直角三角形的两条边长分别是 4 cm和 6 cm ,则另一边长的平方是 cm2 .4 .如图 ,有一块直角三角形纸片 ,斜边 AB长 13cm ,直角边 AC长 12 cm ,现将直角边 BC沿直线 BE折叠 ,使它落在斜边 AB上 ,且与 BD重合 ,则 D E长是 cm .5.如图 ,用一根橡皮筋在 3× 3的钉板 (上下及左右相邻两个钉子的距离为 1)上作一个最大三角形 …