解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…     

对一道不等式恒成立问题解法的三重反思

这是湖北武汉2007年高三调研卷中的一道题:已知函数 f(x)=x~2+2x+alnx.(1)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(2)当 t≥1时,不等式 f(2t—1)≥2f(t)—3恒成立,求实数 a 的取值范围.此题要利用导数知识作工具,研究函数的单调性,处理不等式恒成立问题.     

浅析分离参数法求解范围问题

<正>在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数的取值范围时,如果能够把参数分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其对应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围。下面我们就来谈谈分离参数法在解参数取值范围问题中的应用。例1已知函数f(x)=(ax²+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x2+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x³+1/2x3+1/2x²+m的图像有三个不同     

解“恒成立”问题的几种常用思路

“恒成立”问题是数学高考中的常见题型,这类问题综合性强,常涉及换元、化归、数形结合等数学思想方法,该类型问题也常在函数、方程、不等式等知识交汇处命题,而且题中常出现字母参数,对字母参数的处理即是此类问题的难点,也是关键点.下面举例介绍恒成立问题中几种常用的解题思路.例1.设f(x)=1g1+2x+4xga3(a∈R),如果x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.解一、(方程思想)由已知得:要使x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,即1+2x+4xga3>0对一切的x∈(-∞,1)恒成立.设2x=t,由x∈(-∞,1)知,00对一切的t∈(0,2)都成立当a=0时,有1>0,满…     

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

例谈用导数求参数取值范围的常用方法

<正>函数与导数是中学数学中最重要的主干知识,其观点及其思想方法贯穿整个高中数学教学的全过程.本文通过一个例子探讨不等式恒成立背景下求参数取值范围问题的常见解法.题目已知函数f(x)=ln(x+1)+ae^(-x)-a(a∈R).(1)当a=1时,求证:f(x)在(0,+∞)内是增函数;     

警惕高中数学题中的那些“陷阱”

<正>易错点1端点值处最易出错的三种情形1.一元二次不等式恒成立类问题例如:设(fx)=x2-2ax+2ax+2(a∈R),若当x∈R时,不等试f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.分析:当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即当x∈R时,x2-2ax+2-a≥0恒成立。∴△=4a2-4(2-a)≤0(易错为)△<0),所以-2≤a≤1。2.使用最值原理时的端点值问题例如:若k>13x3-4x当x∈(2,3)恒成立,求k的取值范围。分析:由导数分析可知,当x∈(2,3)时f(x)=13x3-4x单调递增,故k应大于f(x)的最大值,而由于     

相关,又有区别的几对概念(高一、高三、高三)

1.“定义域”及“值域”例1 设函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)(a∈R). (1)若f(x)的定义域是R,求a的取值范围; (2)若f(x)的值域是R,求a的取值范围. 分析 (1)f(x)的定义域是R,即对一切r∈R.ax2+2x+1恒为正数,其充要条件是     

分离参数法在高考中的应用

分离参数法是求含参数方程或不等式中的参数范围的一种简捷方法.就是通过分离参数,然后讨论主变量的变化情况,讨论出参数的变化范围.下面举例说明它在高考中的应用.例1 设对所有实数x,不等式x~2log_2 (4(a+1))/a+2xlog_2 (2a)/(a+1)+log_2 ((a+1)~2)/(4a~2)>0恒成立,求 a 的取值范围.(1987年全国高考题)解:设 t=log_2 (2a)/(a+1),则已知不等式化为:     

恒成立问题的常见解法

在数学解题中经常碰到有关恒成立问题 ,解决这类问题的方法尽管很多 ,但都离不开一些基本的数学思想 ,如化归思想、函数思想、方程思想等等 .笔者在平时的教学过程中对这类问题的解法作了一点归纳 ,供大家参考 .一、利用一次函数的性质对于一次函数 f(x) =kx +b,x∈ [m ,n] ,有f(x) >0恒成立 f(m) >0 ,f(n) >0 ;f(x) <0恒成立 f(m) <0 ,f(n) <0 .例 1　 ｜p｜ <2 ,p∈R ,欲使不等式(log2 x) 2 +(p-2 )log2 x+1-p >0恒成立 ,求x的取值范围 .分析　若直接解关于log2 x的不等式 ,再由 p的取值范围求出x的取值范围 ,不仅化简过程十分繁杂 ,而…     

分离参数求解一类不等式恒成立问题

<正>本文以一道高考题为例,探讨如何巧妙应用分离参数确定最值的方法求解含参不等式恒成立问题。1.试题呈现题目(2010年高考全国卷理科第21题)设函数f(x)=sinx2+cosx。(Ⅰ)求f(x)的单调区间。(Ⅱ)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围。2.解法展示     

三角函数中的参数求值或求范围问题

三角函数中的参数求值或求范围问题实际上是一般函数中此类问题的具体化,仍然包括等式恒成立、不等式恒成立以及函数最值三大类型,下面举例加以单述.1等式恒成立型这一类型包括奇偶性概念、周期性概念、存在性问题三种,解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路.例1若f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,求θ的值.若是偶函数呢?解法1(定义法)因为f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,即3sin(-2x+θ)=-3sin(2x+θ)对x∈R恒成立,即sin(-2x+θ)=sin(-2x-θ)对x∈R恒成立,所以-θ+2kπ=θ,即θ=kπ(k∈Z)为所求.解法2(…     

一类题的解法的探索与研究

20 0 2年全国高中数学联赛中有一道题 :使不等式sin2 x +acosx +a2 ≥ 1 +cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。本题属于恒成立的不等式中求参数的范围问题 ,把一类题的解法在所学知识范围内作尽量彻底的研究 ,有助于学生综合知识能力的提高。本类问题经深入研究 ,发现应该有以下三种各有千秋的解题思路。思路一　分离参数法解题思路的着眼点是通过分离参数转化为函数的最值问题。解法一　原给不等式可以化为a2 +(a -1 ) 24≥(cosx -a -12 ) 2 ,　设t=cosx ,u(t) =(t-a -12 ) 2 ,则t∈ [-1 ,1 ],且函数u(t)的图像开口向上 ,对称轴为t…     

一元二次不等式恒成立问题

<正>一元二次不等式恒成立问题是同学们学习的一个难点,下面我结合一些例题谈一下自身的体会,希望对大家能有所帮助。一、不等式在R上恒成立求参数例1已知函数f(x)=2kx~2+kx-3/8,若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数k的取值范围。     

一类全称命题与特称命题中的求参数范围问题

对含有多个变量的不等式恒成立求参数取值范围问题大致可分为下面四种类型:(1)对任意x1∈A,存在x2∈B,使不等式F(x1,x2,m)≥0成立,求实数m的取值范围;(2)存在x1∈A,使对任意x2∈B,不等式F(x1,x2,m)≥0恒成立,求实数m的取值范围;(3)存在x1∈A,存在x2∈B,使不等式F(x1,x2,m)≥0成立,求实数m的取值范围;(4)对任意x1∈A,任意x2∈B,不等式F(x1,x2,m)≥0恒成立,求实数m的取值范围.     

浅谈不等式“恒成立”问题的解题策略

<正>一、问题高中数学的"恒成立"问题是我们经常遇到的.本文对一个具体的"恒成立"问题作一些探索,以抛砖引玉.问题已知函数f(x)=x(lnx+3/2),g(x)=a/3x3+x(a∈R),若g(x)≥f(x)恒成立,求a的取值范围.二、解题策略上述问题中,g(x)≥f(x)恒成立,即     

一道绝对值不等式试题的多视角探究

<正>以函数为背景的绝对值不等式的求解或在含绝对值的不等式成立背景下求参数的取值范围问题是高考的重点题型.本文以2020年一道全国高考试题为例,多视角探究这类问题的解法.一、试题呈现试题已知函数f(x)=|x-a²|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.二、解法探究1.第(1)问的思路分析与解答分析1 将a=2代入化简函数,利用零点划分区间讨论求解不等式.     

不等式恒成立问题中参数范围的求法

求不等式恒成立参数范围的问题,是近几年高考的热点.由于这类问题涉及的知识面广,要求有较高的解题技巧,具有一定的综合性,因此它又是学习中的难点问题.本文试举例介绍几种如何求这类题的方法.一、判别式法例1已知不等式(?)≥2对任意的x∈R恒成立,求实数k的取值范围.解:因为x~2+x+2>0,所以不等式等价于     

浅谈利用函数最值确定恒不等式中参数的范围

问题的提出:“已知对x∈D,F(x,k)≥g(k)恒成立,求实数k的取值范围”问题解决的思路之一:“函数最值法”。 一般地,对于函数f(x)=F(x,k)(其中x∈D是自变量,k为参数),若F(m,k)、F(M,k)分别是f(x)的最小值和最大值,那么在x∈D时F(x,k)≥g(k)恒成立的充要条件是F(m,k)≥g(k);F(x,k)≤g(k)恒成立的充要条件是F(M,k)≤g(k)。以下举例说明此结论的应用。例 1 若对x∈R,不等式-4≤cos2x+4sinx+     

用导数法解不等式恒成立问题

不等式恒成立问题是高考中一类常见的典型问题.这类问题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理.而导数是研究函数性质的有力工具,因而将不等式f(x)≥g(x)恒成立转化为F(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立问题,再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值,就顺理成章了.一、利用函数的单调性例1(2006年全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(x 1)ln(x 1).若对所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.解:构造相应函数g(x)=(x 1)ln(x 1)-ax,于是不等式f(x)≥ax转化为g(x)≥g(0)对x≥0恒成立的问题.对g(x)求导数,得g′(x)=ln(x 1) 1-a.令g′(x)=0,解得x=e…