两座神奇的“数字金字塔”

古埃及的金字塔是人类文明的结晶，金字塔中隐藏着的每一个秘密都那样的神奇而美妙，在数学这门学科中，我们把“杨辉三角”称为中国的“数字金字塔”（如图1），请同学们查阅有关资料，了解一下“杨辉三角”的构成及其规律，下面，先让我们来欣赏另一座“数字金字塔”（如图2）．     

两座神奇的“数字金字塔”

古埃及的金字塔是人类文明的光辉结晶.金字塔中隐藏着的每一个秘密都是那样的神奇而美妙.在数学这门学科中,我们把“杨辉三角”称为中国的“数字金字塔”(如图1).同学们可以查阅有关资料,了解一下“杨辉三角”的构成及规律.下面,让我们来欣赏另一座“数字金字塔”(如图2).图2中,“金字塔”的结构是:顶端是1,下面各层依次是多位数121,12321,1234321,123454321,……且数字的排列横竖成行.现在,就让我们共同揭开她神秘的面纱,去探寻暗藏其中的奥妙.1.各层上的数都是平方数.依次是12,112,1112,11112,111112,……因此,可以推得第111121133114641…     

探索“数字金字塔”中的奥秘

古埃及的金字塔是人类文明的结晶。金字塔中隐藏着的每一个秘密都是那样的神奇而美妙。在数学这门学科中,我们把“杨辉三角”称为中国的“数字金字塔”(如图1)。请同学们查阅有关资料,了解一下“杨辉三角”的构成及其规律。下面,先让我们来欣赏另一座“数字金字塔”(如图2)。在图2中,“金字塔”的结构是:顶端是1下面各层依次是多位数121,12321,1234321,123454321……且数字的排列横竖成行。现在,就让我们共同揭开她漂亮而神秘的面纱,去探寻暗藏其中的奥妙。11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……图111 2 11 2 3 2 11 2 3 4 3 2 11 2 3 4 5 4 3 2 1…     

例析“杨辉三角”型创新题

解决“杨辉三角”型创新题除了掌握基本性质外,还要注意观察杨辉三角有趣的数字排列规律,通常有横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多种角度观察试题.下面例析三类常见的试题.一、求和问题即求杨辉三角中某些具有一定规律的数构成的数列的和.例1如图1所示,在杨辉三角中,从上往下数共有n穴n∈N觹雪行,在这些数中非1的数字之和为_________.解这n行的总和为20+21+22+…+2n-1=2n-1.其中1共有2n-1个,故所求非1数字之和为(2n-1)-(2n-1)=2n-2n,故填2n-2n.例2如图2所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,…     

以"杨辉三角"为背景的考题探析

随着新课程的全面展开,新教材研究性课题“杨辉三角”问题被重视的程度逐渐得以加强.由于其内容极为丰富,已成为联系众多知识内容的媒介,并且它在研究其它许多问题时,获得广泛的应用,因此倍受命题者的青睐,已逐步渗透到高考和各级各类模拟试题之中.而且常处于“压轴题”的地位,充当“把关题”的重要角色.以它为载体设计情境新颖的试题,通过研究其自身蕴含的性质,来考查学生的数学思维,在新情境中提高学生吸收信息、处理信息、创新探究的学习能力.本文就与“杨辉三角”相关的问题分类例析如下.1挖掘“杨辉三角”知识内涵,展现自身的探究魅力一些以“杨辉三角”为素材的数表问题,巧妙地将排列组合知识、概率知识移植于其中,集趣味性、创新性、探究性于一体,成为有效甄别学生思维品质的“分水岭”或“试金石”.图1例1(2004年上海春季高考题)如图1,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.分析剖析观察图1,我们发现:第1行中数是C10,C11;第2行中数是C20,C21,C22;第3行中数是C30,C31,C23,C33;…则第n行中数是Cn0,Cn1,C2n,…,Cnn.设第n行中从左至右第14与第15个...     

“套娃”的启示

杨辉三角的性质除了教材的介绍之外, 还有杨辉三角与数字“11”的完美结合. 通过观察可以发现,如果将杨辉三角每 行数字顺次排出,每个数字占一位(不足者进 位,如第5行1,5,10,10,5,1,进位得 161051),我们可以发现一个奇妙的现 象: 第n行数排列所得的结果等于11的n 次方. 写成数学语言,即为 C0n·10n+C1n…     

金字塔之谜

请问图中金字塔有数字的这一面共有多少个三角形?如果要把金字塔分成形状相同、面积相同、数字总和相等的四等分,应该怎么分?从金字塔底部的100开始往上走,每走一步减去格中的数字,到达金字塔顶部时正好减为零,应该怎么走?《金字塔之谜》答案:金字塔的这一面一共有71个三角形,把金字塔四等分的方法如左上图所示:从100开始的路径如下:100-11-4-15-9-30-8-7-5-10-1=0金字塔之谜@夏克     

几个数字三角形

人们在数学计算中,发现了一些数字三角形,其中,我们最熟悉的便是杨辉三角了.其实,数字三角形还有许多,如莱布尼兹三角形、斯特林三角形、贝尔三角形、法莱三角形,等等.本文分别谈谈它们被发现的背景.     

有趣的“杨辉三角”

在代数领域里有很多有趣的数字三角形.如“欧拉三角”,“莱布尼茨三角”,“克拉克三角”,“杨辉三角”等等.但其中最为典型的还是古老、神奇的“杨辉三角”.大约公元1050年,我国宋代数学家贾宪首先在他所著的《黄帝九章算术细草》中使用了它,所以“杨辉三角”也被称作“贾宪三角”.其后100年左右南宋数学家杨辉又在《详解九章算法》里进一步整理和应用了这个三角形.     

组合恒等式的几何证法

如图1,在直角坐标系中,过x和y轴的正整数点分别画垂直于x和y轴的两族平行线,它们相交成许多小方格,再把杨辉三角中的数字换成组合数写在坐标系的对应格顶点上,把下标换成格顶点的两坐标之和,并规定C_(0 0)~0=1,则杨辉三角变成组合三角。易知,从原点沿格边到格顶点(n,m)的最短折线数是C_(n m)~n为     

从"易守难攻"到"易攻难守"

文献[1]介绍了下面的有趣问题1～4.问题1 我方两个人攻克敌方三个人坚守的一个阵地,通往阵地的道路只有一条,那么,在正常情况下,我们要想攻占这个阵地是不太可能的.也就是说,对于这个阵地来说,是"易守难攻"(如图1).     

再探矩形格中的最短路径与杨辉三角

文[1]提供了一道小学数学题:如图1,田字格中由4×5条线段组成,试求从点A到点B的最短路径共有几条? 文[1]通过研究得到的结论是:对于m×n阶矩形格(m、n分别为竖线和横线数,且m、n≥2),点A到点B的最短路径数等于杨辉三角中直线M和N交叉处的数字(如图2),此数字可用组合数C(m+n-2)(m-1)表     

"杨辉三角"的几种变体

利用"杨辉三角"及其思想方法,给出了几个有趣的数表,揭示了n维空间"形体"的数量结构,得到了自然数幂和的一个简捷公式,呈现了倒数方程中相关变换的奇特规律.     

对"对应线段成比例"理解方式的探讨

在人教版三年制<几何·第二册>(以下简称"教科书")"5.2平行线分线段成比例定理"(以下简称"定理")练习中,有这样一道题:已知如图1,l1//l2//l3,证明:     

"词序颠倒"摭说

词序颠倒,是指词语相同、顺序颠倒的一种修辞现象.如词语"编选"与"选编", "洗白"与"白洗";成语"异曲同工"与"同工异曲","如日中天"与"中天如日":短语"知而行"(王阳明"知是行之始,行是知之成")与"行而知"(陶行知"行是知之始,知是行之成"),"不得见人"与"见不得人";诗词"黄河入海流"(王之涣《登颧雀楼》)与"黄河流入海","四十三年,望中犹记,烽火扬州路"(辛弃疾《永遇乐·京口北固亭怀古》)与"犹记四十三年,望中(原)扬州路(上)烽火";文章"甚矣,汝之不惠"(《列子·愚公移山》)与"汝之不惠,甚矣","一手交钱,一手交货"(鲁迅《药》)与"一手交货,一手交钱";广告"看《买卖世界》,做世界买卖"(.《买卖世界》),"是名家写的好看小说,非名家写的看好小说"(《上海小说》),等等.     

趣谈“奇妙的数字”金字塔

古埃及的金字塔是人类智慧的结晶.金字塔历经沧桑,至今已有4000多年了,它有许多奇妙的地方,在金字塔中隐藏着许多奥秘都是那么神奇.在数学界中,数学家把有的数学题目称作“数字金字塔”,下面让我们来看看这些金字塔规律以及构造吧.第一个金字塔的规律是:每层上的数字是平方数12,112,1112,11112,…,1111111112,….第二个金字塔的规律是:每层上的数字是平方数22,222,2222,22222,…,2222222222,….第三个金字塔的规律是:每层上的数字是平方数33,333,3333,33333,……,3333333333,……以此类推.可以一直到9.数字金字塔的规律太奇妙了,太神奇了,数…     

"金字塔能"的真相

埃及金字塔群,被世人誉为奇迹中的奇迹.在它内部藏匿的众多谜团中,"金字塔能"是引人注目的一个. 　　说到"金字塔能",我们不能不回顾一下法国学者安托万·波维.他在20世纪30年代曾进入墓道,呈现在他眼前的猫、狗和水果的木乃伊,依然生动,刀具、器皿也亮无损.……     

拨开"误读"的神秘面纱

时下,阅读教学中关于"误读"的讨论声不绝于耳.受后现代阅读思潮的影响,如"作品一出生,作者就死亡","一切阅读都是误读"(安伯托·埃柯语)等等,一线语文教师对新课改中出现的阅读教学的"误读",也是众说纷纭,莫衷一是.     

以“学习金字塔”理论引领“做中学”

美国教育和培训界有一个非常有名的"学习金字塔"(Learning Pyramid)理论,该理论用数字形象地显示了,采用不同的学习方式,学习者在两周以后还能记住的内容(平均学习保留率)有着巨大的差异。"学习金字塔"理论是一种现代学习方式的理论,最早由美国学者、著名的学习专家爱德加·戴尔发现并提出。"学习金字塔"理论将学习分为被动学习和主动学习两种形式。被动学习包括四种形式:"听讲",即教师在上面说,     

例谈"布点教学法"在生物课堂教学中的应用

布点教学法是以学生的知与不知互动为背景的教学方法.布点教学法有其特有的"四步操作"(感知激图、布点优图、分层填图、反思评图).结合课例介绍:在布点教学法的课堂教学中,教师组织、引导、促进学生问题图运动的独特的教学过程--"四步操作".