2002年高考数学第19题另解

试题 :四棱锥Ｐ-ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ =90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ ⊥面ＡＣＥ(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角)证法一 :∵ＤＥ ⊥面ＣＥ…     

2002年高考数学试卷(理科)第19题别解

试题 :四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为 60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ=90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ⊥面ＡＣＥ .(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角 )证法 1　如图 1 ,因为…     

一道竞赛题的再推广

题　如图 1 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1 ,图 1∠Ａ =90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,求△ＣＥＦ的面积。( 1 998年全国初中数学竞赛第 1 1题 )文 [1 ]将等腰直角三角形推广到等腰三角形 ,本文再作如下推广。图 2推广 1　如图 2 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,∠Ａ =90°,ＡＢ =ａ ,点Ｅ为腰ＡＣ上的点 ,点Ｅ内分ＣＡ为 :ＣＥ∶ＥＡ =λ ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,则Ｓ△ＣＥＦ=λ2 ａ22 (λ 1 ) 2 (λ 2 ) 。证明　由ＡＣ =ＡＢ =ａ ,ＣＥＥＡ=λ ,知ＥＣ =λａλ 1 ,ＥＡ =ａλ 1 。作ＡＤ…     

求异面直线所成角的一个简便公式及应用

定理　设两条异面直线ａ ,ｂ所成的角为θ ,由ｂ上两点Ａ ,Ｂ引ａ的垂线 ,垂足分别是Ａ1,Ｂ1.则ｃｏｓθ=Ａ1Ｂ1ＡＢ . ( )　　　　　图 1　　证　若Ａ1,Ｂ1是相异两点 ,如图 1,过Ａ作,连Ｂ1Ｃ和ＢＣ ,则Ｂ1Ｃ ∥ＡＡ1.∵ＡＡ1⊥ａ ,∴ａ⊥Ｂ1Ｃ .又ａ⊥ＢＢ1,∴ａ⊥平面ＢＢ1Ｃ ,故ＡＣ⊥ＢＣ .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠ＢＡＣ =θ ,ｃｏｓθ=ＡＣＡＢ,从而ｃｏｓθ =Ａ1Ｂ1ＡＢ .若Ａ1,Ｂ1两点重合 ,易知ａ⊥ｂ ,显然等式ｃｏｓθ=Ａ1Ｂ1ＡＢ 成立 .于是定理获证 .下面举例说明定理在解题中的应用 .例 1　如图 2 ,在长方体ＡＣ1中 ,ＡＢ =4 ,…     

直角三棱锥中的三角等式

直角三棱锥中的三角等式王小平（江苏省东台市四灶中学２２４２４８）图１如图１,在△ＢＣＤ中,ＢＣ⊥ＣＤ,ＡＢ⊥平面ＢＣＤ,则ＡＢ⊥ＢＣ,ＡＢ⊥ＢＤ．由三垂线定理证得ＡＣ⊥ＣＤ,即△ＢＣＤ、△ＡＢＣ、△ＡＢＤ、△ＡＣＤ都是直角三角形．故通常把这种四个面全...     

二十一点共圆

本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理　不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 :　如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外…     

应用全等三角形解题

全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 )　解　∵　∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴　∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵　∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴　△ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴　ＢＤ =ＣＥ .∵　Ｃ…     

从一道习题的求解培养学生的思维能力

习题的求解是掌握数学知识和进行数学研究的一个重要环节。而思维能力的培养是数学教学的重要任务。在求解习题时 ,分析解题思路 ,使学生了解思维过程和思维方法 ,是培养思维能力的重要环节。下面我们以一个习题为例进行探讨 :已知 :△ＡＢＣ ,∠Ｃ为直角 ,内切圆Ｉ和边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ分别相切于点Ｄ、Ｅ、Ｆ。①求证 :四边形ＣＤＩＥ是正方形②设ＢＣ=ａ、ＣＡ =ｂＡＢ=ｃ,用ａｂｃ表示内切圆半径γ。证明 :　　　　　　　　 　ＩＥ⊥ＡＣ　ＩＤ ⊥ＢＣＩ是Ｒ△ＡＢＣ 内心 　∠Ｃ =90 矩形ＣＤＩＥＩＤ =ＩＥ 正方形ＣＤＩＥ解 :设…     

平面上任意一点到三角形类似重心的距离公式及其应用

在△ＡＢＣ中 ,重心Ｇ的等角共轭点Ｌ叫作类似重心[1] .本文导出△ＡＢＣ所在平面上的任意一点Ｐ到类似重心Ｌ的距离公式 ,从中可推出一些有意义的结果 .引理 1 [1] 　设ＢＤ、ＣＥ为两条类似中线 ,ＡＣ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,则ＡＤＤＣ=ｃ2ａ2 ,ＡＥＥＢ=ｂ2ａ2 .①引理 2 [2 ] 　设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上任意一点 ,Ｄ、Ｅ分别是边ＡＣ、ＡＢ所在直线上的点 ,ＢＤ与ＣＥ交于Ｍ (Ｍ不在边上 ) .若 ＡＤＤＣ =λ ,ＡＥＥＢ=μ ,则ＰＭ2 =ＰＡ2 μＰＢ2 λＰＣ2λ μ 1 -λμａ2 λｂ2 μｃ2(λ μ 1 ) 2 .②定理　ＰＬ2 =…     

一题多法 各显其妙

一题多解 (证 )是培养同学们创新思维能力的一条有效途径 .平时做题、解题 ,若每题都能从多角度去分析思考、寻找方法 ,对于拓宽大家的解题思路 ,是颇有益处的 .下面对一道立体几何题给出四种不同的解法 ,供同学们参考 .例　如图 ,△ＡＢＣ是以∠Ｃ为直角的直角三角形 ,ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,ＰＡ =ＡＣ =2 ,ＢＣ =2 ,求二面角Ａ ＰＢ Ｃ的大小 .分析 1:利用三垂线定理作出二面角的平面角 ,然后通过解三角形求出 .解法 1:如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ .因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,所以ＣＨ⊥ＰＡ ,从而ＣＨ⊥平面ＰＡＢ .在Ｒｔ△…     

例说构造辅助正方形的思维策略

正方形由于图形完美 ,因此具有其他图形难以企及的性质 .挖掘题设条件 ,展开联想 ,构造出相应的正方形 ,其特性即可得到充分利用 ,使解题过程简捷明快 ,生动有趣 .本文谈谈构造正方形的思维策略 ,即构造正方形的几种“基” .一、以等腰直角三角形为“基”例 1　如图 1,在等腰直角△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1,∠Ａ= 90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ .求△ＣＥＦ的面积 .( 1998年全国初中联赛试题 )解 :以等腰直角△ＡＢＣ为基 ,作正方形ＡＢＧＣ(如图1) .延长ＥＦ交ＣＧ于Ｈ .因ＦＥ⊥ＢＥ ,易证Ｒｔ△ＡＥＢ∽Ｒｔ△ＣＥＨ .…     

立几中的“折”与“展”

在立体几何中有这样的两类问题 ,一类是把平面图形按照一定要求进行折叠或旋转 ,得到空间形体 ,另一类是为解决某些问题 ,需要把空间图形展开为平面图形 .解决这两类问题的关键是要分清楚图形变化前后的位置关系和数量关系的变与不变 ,下面举例说明 .例 1　边长为 2ａ的正方形ＡＢＣＤ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ的中点 ,沿ＤＥ ,ＥＦ ,ＦＤ把图形翻折起来 ,使Ａ、Ｂ、Ｃ重合于一点Ｐ ,求Ｐ点到平面ＤＥＦ的距离 .分析　先画出平面图形与空间图形 (如图 1) ,再比较两图中的位置关系和数量关系 .由ＡＢＣＤ是正方形 ,知ＤＡ ⊥ＡＢ ,ＤＣ⊥ＢＣ…     

二面角问题的垂面解法

二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1　过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解　如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面…     

周界中点三角形的一个命题

命题　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＡＢＣ的面积分别记为△Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .则有 ∑(ｓ-ａ)△ Ａ=△22Ｒ.证明 :由三角形周界中点的定义知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ +ＡＥ ,ｓ=ＡＣ +ＡＦ =ｂ +ＡＦ ,则ＡＥ =ｓ-ｃ,ＡＦ =ｓ-ｂ .又∵ｓｉｎＡ =ａ2Ｒ,ｓｉｎＢ =ｂ2Ｒ,ｓｉｎＣ =ｃ2Ｒ,∴△Ａ =12 ＡＥ·ＡＦ·ｓｉｎＡ=12 (ｓ-ｃ) (ｓ-ｂ)· ａ2Ｒ=ａ4Ｒ(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) .故 (ｓ-ａ)△Ａ=…     

对一个特殊四面体性质的研究

有这样一个常见的四面体 (如图一 ) :棱ＰＡ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＣ⊥ＢＣ 这个四面体有如下几个已知的性质 :性质 (1 )四面体ＰＡＢＣ中共有四个Ｒｔ△ ,分别是 :Ｒｔ△ＰＡＢ,Ｒｔ△ＰＡＣ,Ｒｔ△ＡＢＣ,Ｒｔ△ＰＢＣ.性质 (2 )四面体ＰＡＢＣ中共有三个面互相垂直 ,分别是 :面Ｐ     

三角形中一个有趣的不等式

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 .本文将给出与三角形周界中点有关的一个有趣不等式 .定理　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ=ｃ ,Ｓ =12 (ａ ｂ ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ的面积分别记为△ Ａ、△Ｂ、△ Ｃ,则(Ｓ -ｂ) (Ｓ-ｃ)△ Ａ (Ｓ -ｃ) (Ｓ-ａ)△Ｂ (Ｓ-ａ) (Ｓ -ｂ)△ Ｃ ≥ 4 3.为证明此不等式 ,先看如下引理 :引理　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,Ｃ…     

对一道全国联赛题的思考

1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ…     

用补形法解决立体几何问题

几何中 ,常将不太容易计算或不熟悉的图形的某些部分适当地向外延伸或者补加、移位 ,构成一个便于计算或推导的几何图形 ,这就是所谓的补形法 .在教材中 ,推导圆台面积、体积公式就是将圆台补形成圆锥而加以解决的 .例 1　把直角三角形ＡＢＣ沿直角Ｃ的平分线ＣＤ折成平面角为θ的二面角Ａ -ＣＤ-Ｂ ,求ＢＣ与平面ＡＣＤ所成的角 .解　ＣＤ是直角Ｃ的平分线 ,如图 1,可以把直角三角形ＡＢＣ补成两个正方形ＧＦＥＣ和ＣＥＢＨ ,翻折后形成直三棱柱ＧＣＨ—ＦＥＢ ,显然∠ＢＥＦ =θ.作ＢＭ⊥ＥＦ ,垂足Ｍ在ＦＥ或其延长线上 .∵面ＢＥＦ ⊥面…     

用转化思想求异面直线的距离

求异面直线的距离 ,就是要确定它们的公垂线段 ,然后再利用解三角形来完成 .但在有些情况下公垂线段难以确定 ,此时若能运用化归思想对问题进行适当转化 ,不仅可以简化运算 ,而且思路也非常简捷、明快 .下面就几种常用的转化方法举例说明 .1　转化为线面距离若ｍ、ｎ是两条异面直线 ,当ｍ 平面α且ｎ∥平面α时 ,直线ｎ与平面α间的距离也就是异面直线ｍ与ｎ之距离 .　　　　　图 1例 1　Ｓ为直角梯形ＡＢＣＤ所在平面外一点 ,∠ＤＡＢ=∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＣ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =ａ ,ＡＤ =2ａ .(1)求异面直线ＳＣ与ＡＢ间的距离 ;…     

三角形中的一个不等式

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .本文将给出与周界三角形有关的一个有趣的不等式 .图 1命题　如图 1 ,设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ,ｓ =12(ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ的面积分别记为△ Ａ、△ Ｂ、△Ｃ.则(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)△ Ａ+(ｓ-ｃ) (ｓ-ａ)△ Ｂ+(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ)△ Ｃ≥ 43 .证明 :由三角形周界中点的定义 ,知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ+ＡＥ ,…