竞赛题中的“新数”

在初中数学竞赛中会遇到一类自定义的新数,具有某种特征和规律,要求学生根据这个定义来解题.这类题具有新意,更能体现学生的探索能力和创新意识.现举例说明如下:例1 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为智慧数(如(3=2~2-1~2,16=5~2-3~2).已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列:3,5,7,8,9,11,12,13,15,17,19,20,21,23,24,     

神秘数及其性质

数学兴趣小组组长小明宣布这次活动的主题是:"神秘数及其性质."小芳心直口快,抢先发问:"什么是神秘数?好迷人的名字."小明笑了笑说:"名字的确迷人.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为神秘数.比如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此,4,12,20这三个数都是神秘数."     

巧用等式(11…1)(n个1)=(10~n-1)/9

<正> 我们知道,9=10-1,99=10~2-1,999=10~3-1,…,99…9(n个9)=10n-1.所以11…1(n个1)=99…9/9(n个9)=10n-1/9.巧用这个等式解某些竞赛题,能收到事半功倍之效。请看以下几例: 例l 找出两个正整数,它们的乘积为整数1111155555,并且两     

两道数学联赛题的另解

题1:(2007年高中数学联赛江西省预赛第12题)将各位数码不大于3的全体正整数n按自小到大的顺序排成一个数列{a_n},则a_(2007)=解:简称这种数为"好数",则一位好数有3个;两位好数有3×4=12个;三位好数有3×4~2=48个;…,k位好数有3×4~(k-1)个,k=1,2,….记S_n=3∑_(k=1)~n 4~(k-1),因S_5<2007相似文献   

巧求完全数

如果一个正整数的小于它自身的所有正因数之和等于它本身 ,那么 ,这个数叫做一个完全数 .例如 ,6的小于它自身的所有正因数之和为 1 2 3=6 ,所以 ,6是一个完全数 .可以验证 ,6 ,2 8和 4 96是小于 10 0 0的完全数 .将这几个数分解后得 :6 =2× 3=2 2 -1× (2 2 - 1) ,2 8=4× 7     

一个不定方程解的应用(高二、高三)

定理m元一次不定方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N,m,n≥2)的正整数解有C_(n-1)~(m-1)组,自然数解有C_(n m-1)~(m-1)组.证明①若xi为正整数,则这个不定方程正整数解的组数等价于x个小球之间有n-1个空隙,从中放入m-1个隔板,故其正整数解的组数为C_(n-1)~(m-1).     

Catalan猜想的两个结果证明

一、问题的提出 Catalan在一八四二年猜想,除开8=2~3,9=3~2外,没有两个连续数都是正整数的乘幂。该猜想至今没有解决,这个猜想用不定方程的语言来叙述可写为:     

利用一个简单等式解一类不定方程

本文利用如下的一个简单等式m个m~n m~n+m~n+…m~n=m~(n+1),求一类不定方程的一个正整数解。例1 求方程x~2+y~3=z~3的一个正整数解,并证明此方程有无穷多个正整数解。解:因为2和3的最小公倍数是6,将原方程与2~n+2~n=2~(n+1)比较,易知既是6的倍数,又比5的倍数小1的最小正整数n的值为24。∵ 2~(24)+2~(24)=2~(25),即 (2~(12))~2+(2~8)~3=(2~5)~5, ∴(2~(12),2~8,2~5)是原方程的一个正整数     

从智慧数中获智慧

今年《读书时报》21期刊登的“创新杯”全国中学生数学知识竞赛八年级试题中,有这样一道题:如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为智慧数.根据你的判断下列四个数不是智慧数(指能表示成两个自然数的平方差的自然数)的是(摇).A.2001摇B.2002C.2003D.2004粗看这道题,似乎只能尝试拼凑求解,但回顾学习平方差公式后用简便方法计算104×96,就不难发现下面的定理:任何两个正整数的积都可以表示成两个数的平方差.因为:a×b=(a+b2-a-b2)(a+b2+a-b2)(a、b是正整数,a≥b)有了以上定理,那么:任何一个正整数m只有两种可能:①m…     

“奇妙的1+2+3与1×2×3”的一个拓展

《中学数学杂志》2010年第6期刊登的《奇妙的1+2+3与1×2×3》一文(以下简称文[1])给出了如下两条结论:(1)任何三个连续的正整数,如果它们的和等于它们的积,则必为1、2、3.(2)任何三个不同的正整数,如果其和等于其积,则必为1、2、3.如果将数的允许范围从"三个不同的正整数"扩展     

数学奥林匹克初中训练题(100)

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)图11.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+mc(a≠0)的图像经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C,且ac=-2.则m的值为().(A)1(B)-1(C)2(D)-22.投掷红、绿两枚六面编号分别为1~6(整数)的质地均匀的正方体骰子,将红色和绿色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+n的一次项系数和常数项的值.则二次函数y=x2+mx+n与x轴有两个不同交点的概率是().(A)152(B)94(C)3176(D)213.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”(如4=22-02,12=42-22,20=62-42).下列关于神秘数的叙…     

一次不定方程非负(正)整数解的组数问题

对于一次不定方程(a_1,a_2…,a_n,m∈N)的整数解问题的研究,本文给出一种初等方法,讨论其正整数解或非负整数解组数问题.首先,考虑方程最持殊情况 x_1+x_2+…+x_n=m.易证明:方程正整数解组数为C_(m-1)~(n-1),非负整数解组数为 C_(m-1)~(n-1).如果能把方程①化为最特殊式,问题就解决了.     

长方体数

如果正整数a、b、c、d满足关系式a~2+b~2+c~2=d~2,就说它们是一组长方体数.例如,1~2+2~2+2~2=3~2,所以1、2、2、3是一组长方体数.一组长方体数a、b、c、d可分别作为一个长方体的长、宽、高和对角线.由于在编拟例题、习题和试题时,常希望问题涉及的数尽可能简单,甚至最好都是整数,所以长方体数在立体几何教学中具有参考价值.     

用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

平方根与立方根的估算

数学课上 ,老师问 :“已知 2 744是某个整数的立方 ,这个整数是多少呢 ?”“1 4 !”小聪马上站起来回答 .你知道她是怎么算的吗 ?原来 ,立方根和平方根都是可以估算的 .估算是培养数感的重要手段 .　　一、已知一个数是某个正整数的平方或立方 ,求这个正整数　　以立方根为例 ,因为1 0 3=1 0 0 0 ,1 0 0 3=1 0 0 0 0 0 0 ,因此 ,1 0 0 0以内的数的立方根为一位数 ,而 1 0 0 0～ 1 0 0 0 0 0 0内的数的立方根为 2位数 .简单计算可知 ,一个数的个位数与它的立方根的个位数之间有如下关系 :表 1整数a的个位数 0 1 2 3 45 6789a的立方根的个位数…     

问题1．1～2参考答案

题目将正整数P接着写在任一个正整数的右面(例如将4接着写在37的右面得374),如果得到的新数都能被P整除,那么P称为奇妙数.试求在小于130的正整数中奇妙数的个数.解设奇妙数P是k位数,对任意正整数Z有:ZP=Z×10k+P,则由P｜ZP得P｜Z×10k.由Z的任意性,知P为奇妙数的条件是P｜10k.当k=1时,P=1,2,5;当k=2时,P=10,20,25,50;当k=3且P<130时,P=100,125.故所求奇妙数共有9个(即1,2,5,10,20,25,50,100,125).问题1.1～2参考答案…     

2003西部数学奥林匹克

(2 0 0 3- 0 9- 2 7—0 9- 2 8,乌鲁木齐)第一天1.将1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10 .求每一个面上四个数之和的最小值.2 .设2n个实数a1,a2 ,…,a2n满足条件∑2n -1i=1(ai 1-ai) 2 =1.求(an 1 an 2 … a2n) - (a1 a2 … an)的最大值.3.设n为给定的正整数.求最小的正整数un,满足:对每一个正整数d ,任意un 个连续的正奇数中能被d整除的数的个数不少于奇数1,3,5 ,…,2n - 1中能被d整除的数的个数.4 .证明:若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB、BC、CD、DA的距离之和为定值…     

“1+2+3与1×2×3”性质与拓展的巧证

徐研[1]给出性质:任何三个不同的正整数,如果其和等于其积,则必为1、2、3.汪嫣嫣等[2]对于上述性质进行了拓展:任何三个不同的整数,如果其和等于其积,则这三个数为1、2、3或者-1、-2、-3或者一数为0、另外两数为非零相反数.对于该性质及其拓展,原文中给出的证明方法比较繁琐,不容易为初中学生所理解.笔者现基于课程标准中的     

关于三次Diophantine方程x~3-1=3py~2

设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.本文运用Pell方程的基本性质证明了:如果p=3r2-2或者3p=r2+2,其中r是正整数,则方程x3-1=3py2无正整数解(x,y).根据上述结果可知:当p<100时,该方程仅当p=37时有正整数解(x,y).     

关于正多边形铺砌平面的一个定理

定理　一个正ｍ边形被ｍ个正ｎ边形包围 (不重不漏 ) ,则ｎ =4ｍｍ -2 (ｍ≥ 3 ) (ｍ、ｎ均为正整数 ) .证明 :正ｍ边形一个内角α =(ｍ -2 ) 1 80°/ｍ ,正ｎ边形一内角 β =(ｎ -2 ) 1 80°/ｎ ,“包围”意味着在每个顶点处有α +2 β =3 60°,把α、β的表达式代入 ,即得欲证 .但公式中有两个条件 :ｍ≥ 3为整数 ,ｎ为正整数 .依此 ,可以确定ｍ、ｎ的具体数值 .事实上有ｎ =4ｍｍ -2 =4+8ｍ -2 (ｍ≥ 3 ) .令ｔ=8ｍ -2 为整数 ,则ｍ =8ｔ +2 ,ｔ为 8的因数1 ,2 ,4和 8.于是　　ｔ 1 2 48ｍ =8ｔ+2 1 0 643ｎ =ｔ+4 5 681 2　　现只有 4个…