对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

2001年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题(理)

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ ,　 ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为　　　　 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| =　　　　 .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是　　　 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为　　　　个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为　　　 .6 设数列 {ａｎ}是公比…     

巧解数列题

一、巧变公式　　等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1　等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解　∵　ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴　ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴　ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2　在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解　∵　ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ)　 - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴…     

数列求和的几种常用方法

数列求和是中专数学的重要内容 ,这类问题形式复杂变化多样 ,虽无通法可循 ,但根据不同题型的不同特征 ,也可总结出一些方法 ,本文列举如下 ,供参考 .1　反序相加法例 1　若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1=(ａ1 ａｎ 1)· 2 ｎ- 1.证明　设Ｓ =ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1,(1)将 (1)倒序写出 ,有Ｓ =Ｃｎｎａｎ 1 Ｃｎ- 1ｎ ａｎ Ｃｎ- 2ｎ ａｎ- 1 … ａ1.(2 )(1) (2 )并注意Ｃｒｎ =Ｃｎ-ｒｎ (ｒ≤ｎ) ,得2Ｓ =(ａ1 ａｎ 1)Ｃ0 ｎ (ａ2 ａｎ)Ｃ1ｎ (ａ3 ａｎ- 1)Ｃ2 ｎ … …     

解决数列问题应重视的几种思想与方法

一、函数与方程的思想例1　已知函数ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,数列{ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ.(1)求数列{ａｎ}的通项公式;(2)求证数列{ａｎ}是递减数列.解:(1)∵　ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ,∴　2ｌｏｇ2ａｎ-2-ｌｏｇ2ａｎ=-2ｎ,即ａｎ-1ａｎ=-2ｎ.∴　ａ2ｎ+2ｎａｎ-1=0.解得ａｎ=-ｎ±ｎ2+1.因ａｎ>0,故ａｎ=ｎ2+1-ｎ.(2)∵　ａｎ+1ａｎ=(ｎ+1)2+1-(ｎ+1)ｎ2+1-ｎ=ｎ2+1+ｎ(ｎ+1)2+1+(ｎ+1)<1,ａｎ>0,∴　ａｎ+1<ａｎ.∴　数列{ａｎ}是递减数列.二、分类讨论的思想例2　设{ａｎ}是由正数组成的一个等比数列,Ｓｎ是其前ｎ项和,…     

2001—2002年国内外数学竞赛题选解(一)

一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ…     

巧用“取”法

求解某些数学问题 ,有时可能迟迟不能下手 ,有时可能因采用常规方法使过程繁冗 .但若根据有关数学概念、运算、性质 ,合理运用“取”的方法 ,则会使问题快捷获解 .例 1　 (2 0 0 2年高考题 )不等式 (1 +ｘ) (1-｜ｘ｜) >0的解集是 (　　 )(Ａ)ｘ｜ 0 ≤ｘ<1(Ｂ)ｘ｜ｘ<0且ｘ≠-1(Ｃ)ｘ｜-1 <ｘ<1(Ｄ)ｘ｜ｘ<1且ｘ≠ -1分析　按ｘ>0、ｘ=0、ｘ <0分类讨论 ,过程较繁 ;若取特值 ,则捷足先登 .解　取ｘ=0和ｘ=-2先后排除 (Ｂ)和(Ａ)、(Ｃ) ,故选Ｄ .例 2　已知数列 ａｎ 中 ,ａ1 =1 ,且ａｎ =ａｎ- 1 2ａｎ- 1 + 1 (ｎ≥ 2 ) ,求ａｎ.分析　若…     

用构造法证明数列型恒等式和不等式

对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1　“ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1　 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 …     

一个不等式的推广

从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则　 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即　 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ…     

也谈一个极值问题的推广

第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ …     

九年级结课代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.若点Ｐ(ａ ,ｂ)到ｘ轴的距离是 2 ,到ｙ轴的距离是 3,则这样的点Ｐ有 (　　 ) .(Ａ) 1个　　 (Ｂ) 2个　　 (Ｃ) 3个　　 (Ｄ) 4个2 .直线ｙ =- 2ｘ + 12 不通过 (　　 ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限3.若直线ｙ =12 ｘ +ｎ与直线ｙ =ｍｘ - 1相交于(1,- 2 ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｍ =12 ,ｎ =- 52 (Ｂ)ｍ =12 ,ｎ =- 1(Ｃ)ｍ =- 1,ｎ =- 52 (Ｄ)ｍ =- 3,ｎ =- 324 .若二次函数ｙ =(ｍ + 1)ｘ2 +ｍ2 - 2ｍ - 3的图像经过原点 ,则ｍ的值必为 (　　 ) .(Ａ) - 1或 3　 (Ｂ) - 1　 (…     

整数一个简单性质的应用

性质　如果ｍ、ｎ为整数 ,那么ｍ ｎ与ｍ-ｎ同奇同偶 .整数这一貌似简单的性质 ,在解有关整数、整除、方程的有理数解 (包括整数解 )以及整数的分解等问题时 ,如果运用得当 ,常常能化繁为简、化难为易 .现举例说明 .例 1　方程ｘ2 - ｙ2 =1 998的整数解有 (　　 )Ａ .一组　　　Ｂ .两组Ｃ .无数组　　Ｄ .不存在(1 998年安庆市数学竞赛题 )解　ｘ2 - ｙ2 =1 998就是 (ｘ ｙ) (ｘ-ｙ) =1 998.因为ｘ ｙ与ｘ - ｙ同奇同偶 ,且 1 998是偶数 ,所以ｘ ｙ与ｘ- ｙ同为偶数 .但 1 998不能写成两个偶数之积 ,因此 ,原方程无整数解 .故选Ｄ .例 2…     

一道数列题目的四种解法

题目 :已知 ａｎ 为等差数列 ,Ｓｎ =ｍ ,Ｓｍ =ｎ ,其中ｍ≠ｎ ,且ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求Ｓｍ+ｎ.解法 1　由题意知Ｓｎ =ｎａ1 + ｎ(ｎ -1 )2 ｄ=ｍ ,①Ｓｍ =ｍａ1 + ｍ(ｍ-1 )2 ｄ =ｎ .②由①、②解得ａ1 =ｍ2 +ｎ2 +ｍｎ-(ｍ +ｎ)ｍｎ ,ｄ =-2 (ｍ +ｎ)ｍｎ .又因为Ｓｍ +ｎ =(ｍ +ｎ)ａ1 +(ｍ+ｎ) (ｍ +ｎ-1 )2 ｄ ,③把ａ1 ,ｄ的值代入③式可解得Ｓｍ+ｎ =-(ｍ +ｎ) .注　这种解法的特点是根据等差数列前ｎ项和公式 ,利用了方程思想 ,思路严谨 ,但其计算量较大 ,运算过程极易出错 .解法 2　由题意知 :ｎａ1 + ｎ(ｎ-1 )2 ｄ =ｍ ,④ｍａ1 +…     

往前作差(商)方法在数列中的应用

我们知道 ,已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ,可通过ａｎ =Ｓ1,ｎ =1,Ｓｎ -Ｓｎ- 1,ｎ≥ 2 .求出ａｎ.这种往前作差的方法尽管朴实 ,但反映的思想却极其深刻 ,不妨称之为往前作差 (商 )法 .它在解决数列问题中有着广泛而有效的应用 ,本文举例说明之 .1　求数列通项对数列递推式往前作差 (商 ) ,往往能发现数列的本质 ,继而顺利地求出数列通项 .例 1　设数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａ2 =2 ,ａｎ+1+ａｎ=3ｎ(ｎ =1,2 ,… ) ,求ａｎ.分析　将ｎ - 1代入ａｎ+1+ａｎ =3ｎ ,得ａｎ+ａｎ- 1=3(ｎ- 1) (ｎ≥ 2 ) .两式作差 ,得　ａｎ+1-ａｎ- 1=3.显然数…     

孰断周期 孰断对称

由ｆ(ｍ+ｘ)=±ｆ(ｎ±ｘ)来判断抽象函数ｙ=ｆ(ｘ)的周期性或对称性的情况,这类问题可说是随处可见.那么,孰断周期,孰断对称?下面总结四种类型:类型一:由“ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)”可判断周期性定理1　定义在Ｒ上的函数ｙ=ｆ(ｘ),对于任给的ｘ∈Ｒ,若有ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)成立(其中ｍ、ｎ为常数,且ｍ≠ｎ),则函数ｙ=ｆ(ｘ)为周期函数,Ｔ=ｎ-ｍ为函数ｆ(ｘ)的一个周期(也可以说Ｔ=ｍ-ｎ).分析:此类情况属显性周期,即由周期函数定义可迅速获得上述结论.证明:由已知ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)对于ｘ∈Ｒ均成立,故ｆ[(ｎ-ｍ)+ｘ]=ｆ[ｎ+(ｘ-ｍ)]=ｆ[ｍ…     

不求反函数巧解题

在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1　若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解　设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2　已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析　∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3　若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析　应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 …     

错在哪里

题　实数ｘ、ｙ满足ｘ2 -2ｘｙ ｙ2 -3ｘ -3ｙ 1 2 =0 ,则ｘｙ的最小值是 (　　 )。(Ａ) 1 2　 (Ｂ) 4 51 6 　 (Ｃ) 2 14 　 (Ｄ)不存在。解法 1　由ｘ2 -2ｘｙ ｙ2 -3ｘ -3ｙ 1 2 =0 ,得ｘｙ =ｘ2 ｙ2 -3ｘ -3ｙ 1 22=(ｘ -32 ) 2 ( ｙ -32 ) 2 2 122 ≥2 14 ,     

向量在代数中的运用

向量不仅是解决立体几何、解析几何的有力工具 ,也是解决代数和三角问题的有力工具 ,它可使许多代数和三角问题的求解过程变得轻松 ,生动 ,给人以数学美的享受 .它为解决中学数学问题开避了一条新的途径 .一、比较大小例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,0 <ｘ<1,试比较ａ2ｘ + ｂ21-ｘ 与 (ａ +ｂ) 2 的大小 .解　设向量ｍ=ａｘ,ｂ1-ｘ ,ｎ=(ｘ ,1-ｘ) .由 (ｍ·ｎ) 2 ≤｜ｍ｜2 ｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2=ａｘ·ｘ + ｂ1-ｘ· 1-ｘ2≤ ａ2ｘ + ｂ21-ｘ ｘ+ (1-ｘ)=ａ2ｘ + ｂ21-ｘ.例 2　 (2 0 0 0年河北省高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｒ+…     

错在哪里

1　江西省宜丰县二中　龚浩生　 (邮编 :3 3 63 0 0 )题　已知函数ｙ =5ｘ ｍ3 -(2ｍ -1 )ｘ　的反函数是ｙ =(ｍ 2 )ｘ -1ｘ ｍ 4 。求实数ｍ的值。解　在函数 ｙ =5ｘ ｍ3 -(2ｍ -1 )ｘ 的图象上取一点Ｐ (-ｍ5 ,0 ) ,因为 ｙ =(ｍ 2 )ｘ -1ｘ ｍ 4 是函数 ｙ =5ｘ     

一个不等式的推广和应用

中学数学里熟知的不等式 (ｘ ｙ) 2 ≤ 2 (ｘ2 ｙ2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(ｘ1 ｘ2 … ｘｎ) ｍ ≤ｎｍ -1 (ｘｍ1 ｘｍ2 … ｘｍｎ) ,其中ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 为正数 .在幂平均不等式中 ,令ｘ1 =ｍ ａ1 ,ｘ2 =ｍａ2 ,… ,ｘｎ=ｍａｎ,则又得到无理不等式 :( ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍ ａｎ) ｍ≤ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,即有ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍａｎ≤ ｍ ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,(ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 为正数 ,当ａ1 =ａ2 =… =ａｎ 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无…