韦达定理解三角题例说

一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

配角法在三角函数中的应用

在三角函数中,我们经常会遇到如下一类型的题:例1已知sin(α 45°)=3/5,45°<α<135°求sinα.大部分学生会如下的解答思路:由两角的正弦公式有:sin(α 45°)=sinαcos45° cosαsin45°3/5.即2~(1/2)sinα 2~(1/2)cosα=3/5,①又sin~2α cos~2α=1.②联立①②解方程可求解.且45°<α<135°,所以sinα>0,cosα<0,进一步可确定sivα的取值.此种解法,需要解方程,其中的运算过程稍显繁琐.若仔细分析已知条件,可以将α化为(α 45°)-45°.45°为特殊角,其正弦值与余弦值均已知;又由α的取值范围可求α 45°的取值范围,整体运用α 45°的三角函数值,从     

解开学生心中的疑团——一道三角题的解题分析

在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1     

构造齐次式解题5例(高一、高二、高三)

在解题时,可能会遇到(有时需构造)各项次数相同的式子,我们称之为齐次式,下面举例说明齐次式的应用. 1.求三角函数值 例1 已知6sin2α sinαcosα-2cos2α=0,α∈(π/2,π),求sin(2α π/3)的值. (04年湖北卷) 分析 方程左端为齐次式,由已知条件可知 cosα≠0,则α≠π/2,所以 原方程可化为 6tan2α tanα-2=0,所以 (3tanα 2)(2tanα-1)=0.     

错在哪里?

一、广西东兰中学宋全宁来稿题:设方程x~2-2mx+m+2=0有两个实根,且分别为某直角三角形两锐角正弦的四倍,求m的值。解设直角三角形两锐角分别认α、β,则方程之二根为4sinα和4sinβ=4sin(90°-α)=4cosα,分别代入方程,得 16sin~2α-8msinα+m+2=0和16cosα~2-8mcosα+m+2=0 ∴m=(16sin~2α+2)/(8sinα-1)和m=(16cos~2α+2)/(8cosα-1) 即(16sin~2α+2)/(8sinα-1)=(16cos~2α+2)/(8cosα-1)解得锐角α=45°     

向量背景下的三角函数的考查

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一.它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.以下针对向量在三角函数的图象与性质方面的应用作一简单的介绍,体现向量在三角函数中的工具作用.一、求值例1已知△ABC的三个顶点A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),其中π2<α<3π2.(1)若|AC→|=|BC→|,求α的值;(2)若AC→·BC→=-1,求cosα-sinα的值.解:(1)AC→=(cosα-3,sinα),BC→=(cosα,sinα-3).由|AC→|=|BC→|,有(cosα-3)2 sin2α=cos2α (sinα-3)2,整理得sinα=cosα,tanα=1.又因为π2<α<3π2,所以α=5π4.(2)因为AC→·BC→=-…     

“弦化切”思想在三角问题中的应用

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…     

三角变换十式十招

三角变换的一般技术颇多.本文就一些特殊条件下的特有变换技术,归纳如下.1.条件中有“sinα cosα=m”或要求“sinα cosα”,方法是平方。例设α∈(0,π),sinα cosα=7/13,求tanα的值.2.已知tanα,求asin2 bsinαcosα ccos2α的值,方法是将asin2α bsinαcosα ccos2α写成asin2α bsinαcosα ccons2α/sin2α cos2α,然后分子、分母     

2004年高考三角求值题选

1.(全国)设α∈(0,π/2),若sinα=3/5,则cos(α π/4)=( ) (A)7/5 (B)1/5 (c)-7/5 (D)-1/5 2.(广西)已知α为锐角,且tanα=1/2,求sin2αcosα-sina/sin2αcos2α的值. 3.(广东)已知α,β,γ成公比为2的等比数列(α∈[0,2π]),且sinα,sinβ,sinγ也成等比     

函数式sin~2α cos~2α的几何意义

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点     

构造对偶式解题

一、三角对偶式例1。化简cos~2α cos~2β-2cosαcosβcos(α β). 设原式为A,设B=sin~2α sin~2β 2sinαsinβcos(α β),则A B=2-2cos~2(α β)=2sin(α β),A-B=cos2α cos2β-2cos(α β)·cos(α-β)=0,故A=B=2sin~2(α β). 类似计算cos~2A cos~2B cos~2C 2cosAcosBcosC(A B C=π),Cos~2θ cos~2(θ 120°) cos~2(θ-120°)等.     

三角恒等变形中角的变换常用的五种策略

一、“给值求值”时将“待求角”用“条件角”表示例1 已知cos(α-β)=-4/5,cos(α+β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α+β∈(3π/1,2π),求cos2α. 解:由已知求得sin(α-β)=3/5,sin(α+β)=-3/5.又2α=(α-β)+(α+β),所以cos2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)·代入已知数据得cos2α=-7/25. 练一练已知sin(π/4-α)=5/13(0<α<π/4),求cos2α/(?)的值.     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

三角函数中sinα±cosα,sinαcosα的友好关系

在三角函数求值问题中,若已知sinα cosα,sinα-cosα,sinαcosα中的一个式子的值,可求出其余两个式子的值,继而可以解决有关问题,这是因为利用平方关系sin~2α cos~2α=1,可知(sinα±cosα)~2=1±     

对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

用三角代换求最值

在求某些函数的最大值、最小值时,用三角函数代换可巧妙地求解.这里介绍几种求最值时常用的三角函数代换. 1.若|x|≤1,可令x=sinθ. 例1 求函数y=(1-x~2)~(1/x)的最大值和最小值. 解:函数定义域是-1≤x≤1令x=sinθ,θ∈[-π/2,π/2],则(1-x~2)~(1/2)=cosθ,∴ y=sinθcosθ=1/2 sin2θ∴当θ=π/4即x=2~(1/2)/2时,y_(max)=1/2,当θ=-π/4即 x=-2~(1/2)/2时,y_(max)=-1/2.     

正弦、余弦诱导公式难点突破

难点一记忆难例1求下列三角函数值.(1)cos 210°;(2)sin(-(17π)/6).解:(1)cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-(3~(1/2))/2.或者,cos 210°=cos(270°-60°)