圆锥曲线过准线上一点的切线的两个性质

正笔者在研究过圆锥曲线的准线上一点作圆锥曲线的切线时,得到两个性质.性质1已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ的两条切线PA,PB,A、B为切点,则直线AB过焦点F.当曲线Γ为椭圆时,如图1,不妨设椭圆的标准方程为     

一脉相承 星火燎原——对两道姊妹题的探究

一、从联赛到自主招生,一脉相承题1(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:(a~2)/(n~2)+(b~2)/(m~2)=(a~2)/(b~2).题2(2014年华约试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与坐标轴的交点分别为E,F,求AEOF面积的最小值.     

圆锥曲线的一个奇妙性质

笔者最近在研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线的一个奇妙性质,现介绍如下:定理1已知椭圆E:(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0),过不在椭圆E上的定点T(m,n)作定直线l:(mx)/(a~2) (ny)/(b~2)=1的垂线TD,垂足为D,过T引     

圆锥曲线切线的几个统一性质

拜读了贵刊的文[1]颇受启发,文中给出的抛物线几个性质,其中有:性质3已知抛物线C:x2=2py的焦点为F,准线为l,过l上一点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则直线PA⊥PB.     

椭圆中的几个定点问题

<正>试题呈现已知F为椭圆C:x~2/4+y~2/3=1的右焦点,椭圆C上任意一点P到点F的距离与P到到直线l:x=m的距离之比为1/2,(1)求直线l的方程;(2)设Q为椭圆的左顶点,过F的直线交椭圆C于A,B两点,直线AQ,BQ与直线l分别交于M,N,问以MN为直径的圆是否过定点?若存在,试求出定点.近日,一位学生来跟我讨教这道有关圆     

数学问答?

问题24．如图,椭圆Q：((x~2)/(a~2)) ((y~2)/(b~2))=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点．求点P的轨迹方程．(sxy@tom．com)     

圆锥曲线切线的统一而简捷的作法

众所周知,过抛物线、椭圆、双曲线上一点的切线,可以根据它们各自的光学性质分别作出,作法也很简捷。那么,过这三种圆锥曲线上一点的切线,是否有统一的而且更为简捷的作法昵?回答是肯定的。本文旨在阐明这一作法,以飨读者。作法如下: 设圆锥曲线的一个焦点为F,相应的准线为l.点P是圆锥曲线上的任意一点(P不在过F的轴上)。连结PF,过F作直线MF垂直于PF交l于M。则直线PM就是过圆锥曲线上点P的切线,(如图) 对于本作法,以下对三种圆锥曲线分别予以证明。 1.抛物线设抛物线的方程为y~2=2px,则抛物线的焦点为     

圆锥曲线一个有趣的关系式

定理1已知椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),F为椭圆的焦点,L为其相应的准线,过F任作一直线交椭圆于A、B两点,M为L上的一点,若MA⊥MB,则|∠AMF-∠BMF|=π-∠MFO.证明只证F是右焦点的情形.设直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k、k2,Mac2,m,F(c,0设).椭圆的参数方程为x=a11 -tt22y=b12     

一个结论的推广(高二)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).     

圆锥曲线的一个统一性质

笔者在利用“几何画板”数学软件探讨圆锥曲线切线性质时,发现如下结论：已知过点E(m,0)的直线交抛物线y~2=2px (p＞0)(或椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a＞b＞0,m≠0)或双曲线(x~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞O,m≠0))于A、B两点,过点A、B且与抛物线(或椭圆或双曲线)相切的两直线为l_1、l_2,l_1与l_2的交点轨迹记为C,在C上任取一点M,则AM、EM、BM的斜率成等差数列．     

圆锥曲线测试题

gxueshengshidai一.选择题1.过定点P(0,2)作直线l,使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点,这样的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.设θ是三角形的一个内角,且sinθ cosθ=15,则曲线x2sinθ y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线3.已知F1、F2是椭圆1x62 y92=1的两焦点,经点F2的的直线交椭圆于点A、B,若｜AB｜=5,则｜AF1｜ ｜BF1｜等于()A.11B.10C.9D.164.AB为过椭圆x2a2 by22=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积最大值是()A.b2B.ab C.ac D.bc5.椭圆x…     

椭圆切线与焦半径之间的有趣性质

<正>本文给出两个新发现的椭圆、双曲线涉及切线及端点为切点的两焦半径的有趣性质．定理1给定椭圆■是Γ的两个焦点,l是和Γ相切于点P(P不在Γ的长轴(或实轴)端点)的任意一条切线,M,N分别是F1,F2在l上的射影,直线OM与直线F1P交于点Q,直线ON与直线F2P交于点R,     

单元测试卷(解析几何)

一、填空题1.在椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)中,已知点 A(a,0),B(0,6),若 F 为该椭圆的右焦点,且 F 到直线 AB 的距离等于 F 到原点的距离,则对椭圆离心率 e 的值估算正确的有______.     

圆锥曲线性质在解高考题中的应用

1．圆锥曲线的性质 性质 已知椭圆x2/b2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的一个焦点为F．相应的准线为直线l．若点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,过点F作PF的垂线,交直线lf于点Q,则直线PQ与椭圆相切,且P为切点．     

2005年湖南卷理科19题（Ⅰ）的简证

题目已知椭圆C:(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设(→AM)=λ(→AB).     

关于椭圆上任意点处切线的几何作图

圆上任意点P处切线的几何作图,只需过P点作一条直线垂直于P点处的半径,这条直线就是P点处的切线.但是要作出椭圆上某点处的切线却并非这么容易,最近从指导学生毕业论文中,找到一种方法可以很容易地达到目的,介绍如下:1一个重要定理椭圆上任意一点P的切线,与通过同侧焦点F且垂直     

由一道试题挖掘有心二次曲线的几何性质

<正>一、试题呈现如图1,已知椭圆■过点■,且右焦点为F(1,0),右顶点为A.BC是过点F的弦,直线BA,CA分别交直线l:x=m(m> 2)于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)若FP⊥FQ,求m的值.     

系列讲座之十三——圆锥曲线(3)

本讲主要涉及向量与圆锥曲线之间的关系的一类竞赛问题. 例1 已知椭圆T:(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)和双曲线S:(x2)/(m2)+(y2)/(n2)＝1(m＞0, n＞0)具有相同的焦点F(2,0).设双曲线S经过第一象限的渐近线为l.若焦点F和椭圆T上方的顶点B关于l的对称点都在双曲线S上,求椭圆T和双曲线S的方程.     

关于圆锥曲线的一组点的轨迹

定理1 过椭圆C：x^2/α＋y^2/b^2=1（α〉b〉0）内一点M（m,n）任作一条直线l与椭圆C交于A,B两点,过A,B两点分别作椭圆C的切线,设两切线交于P点,则P点的轨迹是mx/α^2＋ny/b^2=1。     

探求一个问题的结论后面的规律

正问题:如图1,已知圆C:x2+y2=r2与直线l:y=kx+m没有公共点,设点P为直线l上的动点,过点P作圆C的两条切线,A、B为切点。证明:直线lAB恒定过点Q。分析:利用我们常用的一个结论:若点P(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点,则过点P作圆的两条切线,切点分别为A、B,则过A、B两点的直线方程为:x0·x+y0·y=r2。