培养学生的逆向思维能力

一、概念教学中建立双向思维联结对有些较难理解的概念,如适当注意从逆向思考,从结论的反面去讨论,可以加深学生对概念的理解与掌握,养成双向考虑问题的习惯.如,反三角函数的概念是高中数学中的一个难点,而反正弦函数的概念又是其重点.在引出反正弦函数定义之前,可先从正向题入手,渐渐转到逆向问题.1.以从正弦函数y=sinx的正向思维为起点,让学生根据反函数定义来判断正弦函数在定义域R内是否存在反函数.首先提出正向问题:对于正弦函数y=sinx(x∈R),当x=π6时,求y.接着提出逆向问题,当正弦函数值y=12时,求对应角x.于是根据反函数定义可知,正…     

反函数的概念、性质和应用

一、关于反函数的概念 1．反函数的存在条件 反函数的定义中要求，从y=f(x)中解出x=φ(y)后，“对于y在C(函数f(x)的值域)中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A(函数f(x)的定义域)中都有唯一确定的值和它对应”．否则将没有反函数．例如，由y=x^2解出x=&;#177;√y后，对于y的每一个可取值，x有两个值与它对应，这就不是函数了．由于y=x^2不满足定义要求的条件，故没有反函数．可见并不是任何一个函数都有反函数．     

《经济数学基础》学习辅导(1)

《经济数学基础》是电大经济类各专业第一学期的一门基础课,该课程主要讲授一元微积分和线性代数基础知识,电视播课共63学时。 第一章 函数 本章主要讲授函数概念、函数的简单性质、反函数与基本初等函数、初等函数、经济中常用的函数等内容。 本章重点是函数概念、定义域求法、常见经济函数的解析式。 本章难点是建立函数关系式。 1.设变量x、y,变量x的变域是D。如果对D内的每一个x,按照某种规律f,都有唯一的y值与之对应,则称变量y是x的函数,记作y=f(x),其中x叫做自变量,y叫做因变量,D叫做函数的定义域,y值的集合叫做函数的值域,记作Y。 由定义可知,一个函数是由两个要素决定的,这两个要素是定义域D和对应规律f_0这是     

反函数的教与学

反函数是数学教学中的一个难点，也是一个重点。说它难，是指教师难教，学生难学。说它重点，则因它涉及原函数、反函数、映射、一一映射、逆映射等诸多知识点，且直接决定和影响到后面的教学内容，如指数函数与对数函数、反三角函数等。教与学的第一难点是反函数的概念。由于反函数也是函数，而函数是映射，因此笔者认为，紧紧抓住映射就是突破此难点的关健。我们知道，映射f：A→B特指对任意的X∈A，按对应法则f在B中均可找到其唯一的对应元素y。其要点有二，一是只对A中的元素有此要求，并未对B中的元素有此要求，这就是映射最明显的…     

互为反函数的两函数图像的交点阿题探讨

反函数是中学数学的难点内容之一,特别是互为反函数的两函数图像的交点问题,在高一（上）数学教材中指出互为反函数的图像性质：“函数y=f（x）的图像和它的反函数y=f^-1（x）的图像关于直线y=x对称”．据此学生想当然地认为互为反函数的两个图像交点一定在直线y=x上,乍看起来,不无道理,实际上这是错误的,下面笔者就和大家探讨一下互为反函数的两函数图像的交点问题．     

怎样教学“反三角函数”这一章?(续)

经过第二课时的教学,学生对于反函和多值函数,应当获得比较明确的概念,笫三课时可以从这方面的提问复习开始。例如,可以问:(1)怎样求出y=(6-3x)/2的反函数?如果用t表示自变量,s表示自变量的函数,那末这个反函数怎样表示?如果用r表示自变量,c表示自变量的函数呢?画出正反函数的图象;这两个图象有什么关系?这个反函数是单值函数还是多值函数?(2)怎样求出y=x~2+2的反函数?画出正反函数的图象;这两个图象有什么关系?这个反函数是单值函数还是多值函数?这个反函数y=±(x-2)~(1/2)的定义区域是什么?(就是说,对于x的哪些值,y有实数值和它对应?)能不能把这个反函数分成有这个同样定义区域的两个单值函数?     

反函数学习中需要澄清的几个问题

"反函数"是中学数学中的难点内容之一,学生在学习和应用中极易出现错误.为了避免错误的出现,反函数学习中一些模糊的问题需要澄清.一、关于一个函数存在反函数的条件不是一切函数都有反函数,若函数y=f(x),对于值域中的任一个值y0,在定义域中都有唯一的值x0,使得f(x0)=y0成立,则y=f(x)才有反函数.即只有决定函数的映射是定义域到值域上的一一映射,这个函数才有反函数.(1)若y=f(x)在定义域D上是严格增函数,它有反函数吗?     

“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例

一、教学过程1.复习。反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。求出函数y=x3的反函数。2.新课。先让学生用几何画板画出y=x3的图象,学生纷纷动手,很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声,因为他们得到了如下的图象(图1):     

反函数教学中值得关注的两个问题

笔者在文[1]中例举“在一次评比课中,同几位选手课后交换意见时,就他们执教的‘反函数’这节课,问:为什么能把y=f(x)的反函数表示成y=f-1(x)的形式?为什么要把y=f(x)的反函数表示成y=f-1(x)的形式呢?”引起同行的关注.最近,相继收到读者来信,问及这一问题.反函数是中学教材中的一个难点,又是学生必须掌握的一个重点内容.但教材和教参对此却少有深究,因此,有必要对该问题再行探讨.我们认为:在教学中,必须解决好下面两大问题.1讲清反函数概念中的两个关键点1.1如何刻划反函数存在的条件为便于说明,现抄录教材中反函数定义于下:函数y=f(x)(x∈…     

关于"反函数"复习中的几点体会

在高三反函数部分的复习中,针对学生存在的一些问题,引发了本人的几点思考:在复习教学中怎样揭示知识的本质,以及前后知识间的联系,提高复习效率,夯实基础,本文就反函数部分的复习,谈一些做法。 一、反函数存在性的图象反映 我们知道,函数y=f(x),x∈A,如果对其值域B中的任何一个函数值yo,在定义域A中都有唯一确定的值与之对应,那么该函数的反函数存在。这一“存在”条件反映到函数图象上的情况怎样?让我们观察以下四个图象。     

函数教学的几点做法

本文就高一函数教学谈几点做法: 一、明确函数概念,突出函数的三要素在初中函数概念基础上,利用映射观点,向学生明确函数概念的核心,即变量y按照对应法则f与变量x对应,由映射f:A→B可知,这种对应包含了函数的三要素:定义域A,值域C(C(?)B)及从定义域A到值域C的对应法则f(其中A、B都是非空的数集),三个要素中,定义域、对应法则是起决定作用的。例1 对于函数y=2x+1,定义域为实数集R,对应法则为“乘2加1”,值域也为实数集R。例2 判断下列各组的两个函数,是否表示同一函数? (1)函数y=x~2-1/x-1和y=x+1;     

函数概念中的一些问题

函数这一概念,在现行中学数学教材中,从初中到高中都很重视。特别在高等数学中,它就显得更加重要了。因此对函数概念特作一些简单的探讨。为了研究方便,首先给出一般函数的定义:给定两个集合M、N,对集合M中的每一个元素x,按照某一规律(法则),都有集合N中唯一确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义了一个函数,记为y=f(x),x∈M。集合M中的元素x称为自变数(量),与之对应的y称为因变量(或函数)。     

反函数问题常见误区剖析

反函数是中学数学教材中的难点之一,在教学中我们常会遇到对反函数定义理解不深不透、解题思路不清、解答步骤不全等错误,严重影响学生对这部分知识的掌握.下面本人将以函数中常见的几种典型错误进行剖析,与同行磋商.误区一:忽视函数存在反函数的条件案例1函数y=x2(x∈R)是否存在反函数,若存在,求反函数;若不存在,说明理由.错解函数存在反函数.当x≥0时,由y=x2得x=y,所以x≥0时,反函数为y=x(x≥0);当x<0时,由y=x2得x=-y,所以x<0时,反函数为y=-x(x>0).剖析忽视函数存在反函数的条件,从而盲目地进行分类讨论求反函数.正解∵y=x2(x∈R)不是一一对应函数,∴y=x2不存在反函数.解后反思只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数.误区二:错解反函数的解析式案例2求函数y=3x2-1(x≤0)的反函数的表达式.错解由y=3x2-1,得x2=(y+1)3,∴x=(y+1)3或x=-(y+1)3,∴反函数的表达式为y=(x+1)3或y=-(x+1)3.剖析在求解过程中没有考虑原函数中x≤0这个条件导致出现两个答案的错误.正解由y=3x2-1,得x2=(y+1)3,∵x≤0,∴x...     

关于反三角函数教学的几点建议

反三角函数是教学中的一个难点.因为反三角函数的概念(包括定义、符号、性质和主值区间等),一时不容易为学生理解和掌握。在应用它进行计算、推理、证明和解三角方程时,往往会产生某些错误。为搞好这部份内容的教学,应注意解决好下面几个问题. 一、复习有关反函数等已学过的知识,为学习新知识铺平道路。学生已掌握的三角函数的性质(增减性、周期性等)、已知三角函数值求角以及对应、逆对应、函数、反函数等知识,与建     

走出反函数图象的认识误区

高一新教材在反函数这一小节提到两个问题:一是反函数的概念;二是互为反函数图象之间的关系．结论是函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称．在反函数的学习中实际上还牵涉到两个问题,一是反函数的存在性问题,从映射的定义知道,如果一个函数是从定义域到值域的一一映射, 就存在着反函数．因此得出一个重要的结论,任何一个单调递增(或递减)的函数都存在着单调(或递减)的反函数．另一个问题是单调性相同的互为反函数图象的交点一定在直线y=x上吗?     

试析一个谬误

文(1)中有这样一个结论:奇函数如果存在反函数,其反函数也是奇函数,但偶函数一定不存在反函数.笔者认为偶函数一定不存在反函数是一个错误结论.从映射的概念可以知道,函数实际上就是集合A到集合 B 的映射,其中 A、B 都是非空的数的集合.对于自变量 x 在定义域 A 内的任何一个值。在集合 B 中都有唯一的函数值 y 和它对应;自变量的值相当于原象,和它对     

有关反函数的几个问题

一、反函数的概念： 一般地,函数y=f（z）（x∈A）中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=φ（y）．如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ（y）,在A中都有唯一的值和它对应,那么x=φ（y）,就表示y是自变量,x是自变量y的函数．这样的函数x=φ（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数．记作x=f^-1（y）．     

深入思考,增知提智(高一、高二)

题已知函数y一了盯十b的图象与它的反函数的图象有一个交点M(l,2),则两个函数图象交点的个数是() (A)1.(B)2.(C)3.(D)4. (第12届“希望杯”高二培训) 这道题可以培养我们提出问题、分析问题和解决问题的能力, 问题1在什么条件下,互为反函数的两个图象的公共点必在直线y~x上? 设某函数图象过点M(a,a),且反函数存在,则其反函数图象也过点M(a,a),即M(a,a)为原、反函数的两个图象的公共点,从而公共点必在直线y一x上. 结论1若某函数与直线y一x有n个交点,且其反函数存在,则这两个函数的图象有且只有n个公共点. 问题2互为反函数的两个图象的公…     

反函数中几个常见误区

反函数是研究函数性质的重要手段,反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念、性质,有助于得到比较系统的函数知识,并为以后函数的深入学习奠定基础.在本人多年的教学过程中,发现学生对反函数的认识有以下三种常见错误,本文将它们进行剖析,以期达到析错防错之功效.误区一认为f?1(x+a)与f(x+a)(a≠0)是互为反函数.例1已知函数()231f xxx=?+,函数y=g(x)的图象与函数y=f?1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(5)的值.错解∵y=g(x)与y=f?1(x+1)关于直线y=x对称;∴g(x)与f?1(x+1)互为反函数,即()(1)2(1)325(1)1g x f xx xx x=+=++?+=+,∴g(5)=15/5…     

高考函数基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1了解映射的概念,理解函数及其有关概念,掌握互为反函数的函数图象间的关系;2理解函数单调性和奇偶性概念及其简单应用,能用函数奇偶性与图象对称性描绘函数图象;3理解分数指数幂、根式、对数概念,掌握分数指数幂运算法则、对数性质及运算法则;4掌握指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用.下面介绍函数基础试题的考点及其解法分析.考点1　求象或原象例1　(2000年新课程卷高考题)设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在…