拓扑学中的一个新的定理

在介绍拓扑学中的一个新的定理之前,先给出与这个新定理相关的三个定义。定义1设X和Y是两个集合,存在从X到Y的一对应法则f,使得对于X中的任意一个元素x,都有Y中的唯一一个元素y与之对应,则称f为X到Y的一个映射,记为:f:X→Y.定义2设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y是X到Y的一个映射,x_0∈X,如果对于f(x_0)∈Y的任意一个邻域V,总存     

关于连续映射等价命题的证明

在一般拓扑学书中,关于连续映射的等价条件不够多且证明也没有依次给出证明,使得这些证明不够简洁明了。本文尽可能多地给出连续映射的等价条件,并且依次给出了证明。定义:设(X,T)与(Y,U)是拓扑空间,f:X→Y,如果AB∈U,f~(-1)(B)∈T,则称f为连续映射。如果A~x∈X及f(x)的任意邻域N,E~x的邻域M,使f(M)(?)N,则称f在x连续。定理:设X,Y为拓扑空间,f:X→Y。则下列条件是等价的。 (1) f为连续映射。     

谈求曲线方程——兼与《98年高考数学理科21题参考解答》《1998年高考数学理科21题评析》商榷

1 从函数的角度谈 1.1 函数的定义 设X,Y为非空集,若有一个法则f,使得集合X中的任一元素x,都有且仅有Y中的一个元素y与之对应,就称f是一个X到Y的函数(或映射),并记作: f:X→Y或f=f(x)我们称y为x的函数(或在映射f之下x的象;相应地,称x为在映射f之下y的原象),x称为自变量,集合X被称为函数f的定义域,并记为D_f=X,显然,函数f的函数值都属于集合Y,但并不一定集合Y的每一个元素必定是某个x∈E的函数值,把X的所有元素的函数值组成的集合称为函数f的值域,记为R_f R_f={y|y=f(x),x∈X}它是Y的一个子集,即R_rY,也称Y为值域包。 1.2 怎样确定一个函数 根据函数的定义,确定一个函数,要做到以下四点:     

两个映射命题的应用

在近几年的数学竞赛中,出现了许多关于有限集合上一一映射的问题,虽然这些问题的表述形式不尽相同,但是它们都要用到以下两个命题。 命题1 设有限集A={a_1,a_2,…,a_n},f是A到A上的映射.记f(x)=f(x),f_(r 1)(x)=f[f_r(x)](x∈A,r∈N).则f是一一映射的充要条件是:对任意a_i∈A,存     

Banach空间的弱稳定性

设X,Y是两个实Banach空间,且ε>0,映射f:X→Y称为标准ε-等距,如果|||f(x)-f(y)||-||x-y|||≤ε,x,y∈X,且满足f(0)=0,称一对Banach空间(X,Y)是稳定的.如果存在r>0,使得对任意标准的ε-等距f:X→Y都存在一个有界线性算子T:L(f)≡spanf(x)→X,使得||Tf(x)-x||≤rε,x∈X,ε>0.本文主要讨论了光滑的Banach空间X及其子集楔与锥上的弱稳定性问题,并给出了部分应用.     

在度量空间中几个点集的一点注记

将实线段上连续自映射的w-极限点集和几个周期点集推广到度量空间中,得出两个结果：（1）设X是序列紧度量空间,f：X→X是连续的一一映射,如果y∈X是f的w-极限点,则n∈N＋,都存在f的w-极限点x0∈X,使得fn（x0）=y;（2）在度量空间中,周期点集与终于周期点集的并集等于准周期点集.即P（f）∪E′P（f）=EP（f）.     

配对原理的应用

配对原理:设A,B是有限集, (1)若映射f是A到B＇B的一一映射,则|A|≤|B|。 (2)若映射f是A＇A到B的一一映射,则|A|≥|B|。 (3)若映射f是A到B的一一映射,则|A|=|B|. 在解决一些数学问题时,配对原理具有较高的     

变形——数学竞赛命题和解题的常用方法

数学竞赛的命题方法多种多样,数学竞赛的解题方法也多种多样,而变形却是数学竞赛命题和解题中均常用的方法。 一、数学竞赛命题中的变形。 1.对高等数学中的习题加以变形。 微积分中有这样一道习题:“设 f（x）在[0,l]中可微,f（0）=f（1）,且对 X∈[0,1],均有|f＇（X）|<1,求证:对所有x_1,x_2∈[0,1」,都有|f（x_1）-f（x_2）|<1/2。 将该题加以变形,便成为 1983年全国数学竞赛第 2题:“设 f（x）在[0,1]中有定义,且对任何x_1,x_2∈[0,1],有|f（x_1）-f（x_2）|<|x_1-x_2|.如果f（0）=f（1）,证明:对所有x_1,x_∈[0,1」,有|f（x_1）-f（x_2）|<1/2。 2.对高等数学中的引理加以变形。     

对应法在计数问题中的应用

对应是数学中非常基本的思想方法,它的应用极其广泛,数学竞赛中的许多问题都与它有关,特别是运用对应进行计数是解决组合数学中计数问题的有力手段.在组合计数中,要计算某个有限集合A的元素个数|A|,如果直接求解比较困难,这时可考虑在     

凹凸函数性质的应用

定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。     

0─1序列与计数

在数学竞赛中，有关集合的计数问题不少．这些问题常常可通过对应与映射来求解，它所需要的基本理论知识不多，但方法巧妙灵活．下面我们介绍一种用“0—1”序列来解这类问题的方法．所谓0—1序列就是由0与1构成（允许重复）的排列．由于这类序列的计数是熟知的也是容易理解的．因此用这个方法解这类问题的关键就在于怎样建立起这类问题与0—1序列之间的联系．我们通过一些实例来介绍．下面的结论在这类问题中是常用的．我们略去它的证明，为了方便，用X表示有限集X所含元素的个数．命题设X、Y、B为有限集，映射f:X→B是一一对应，则先看…     

配对原理(映射法计数)

(本讲适合高中 )1　知识与方法定义 1　设Ｘ和Ｙ是两个集合 (二者可以相同 ) ,如果对于每个ｘ∈Ｘ ,都有惟一确定的ｙ∈Ｙ与之对应 ,则称这个对应关系为Ｘ到Ｙ的映射 ,记为ｆ∶Ｘ→Ｙ .这时ｙ=ｆ(ｘ)∈Ｙ称为ｘ∈Ｘ的像 ,而ｘ称为ｙ的原像 .特别地 ,当Ｘ和Ｙ都是数集时 ,映射ｆ称为函数 .本讲主要介绍有限集上的映射及其性质 ,这在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广 ,是参赛者必不可少的预备知识 .这里 ,我们用 |Ａ|表示集Ａ的元数 .定义 2　设ｆ为从Ｘ到Ｙ的一个映射 .( 1 )如果对于任何ｘ1、ｘ2 ∈Ｘ ,ｘ1≠ｘ2 ,都有ｆ(ｘ1)≠ｆ(ｘ2 ) …     

连续函数的延拓定理

为了给出连续函数的延拓定理,首先给出集E上的连续函数的定义:设f(x)为定义在集E上的有限函数,若对任何x_n→x,(x_n∈E)有:f(x_n)→f(x),则称f(x)于点x∈E连续,若f(x)在E中每一点连续,则称f(x)在E上连续。     

一道IMO预选题的推广

题目：设f是一个从实数集R映射到自身的函数，且对任何x∈R都有|f(x)|≤1，及f(x 13/42) f(x)=f(x 1/6) f(x 1/7).     

关于线性算子的收敛性

<正>§1 引言 设X、Y为线性赋范空间,记V(X→Y)为X到Y的线性有界算子全体。记X~*为X上有界线性泛函的全体。对于空间V(X→Y)及X~*,通常定义了如下三种形式的收敛性: 设T_n,T∈V(X→Y),则 ⅰ) 当 ||T_n-T||→0 (n→∞),称{T_n}一致收敛于T,记为:T_n→T。 ⅱ) 若对任意的x∈X,||T_nx-Tx||→0 (n→∞),称{T_n}强收敛于T,记为:T_n(强→)T。 ⅲ) 若对任意x∈X及任f∈Y~*,f(T_nx)→f(Tx)则称{T_n}弱收敛于T。记为:     

关于证明非周期函数的几个定理

设f(x)是定义在数集M上的函数,若存在一个常数T(T≠O),当任何x∈M时,有x±T∈M,且有f(x+T)=f(x),那么称f(x)为数集M上的周期函数。T称为这个函数的周期。如果这样的常数T不存在,则称f(x)为数集M上的非周期函数,     

凸函数的一个性质及应用

引言文[1][2][3]围绕不等式进行了一系列的探讨,得到了不少的结果。本文通过对凸函数的一个性质的讨论,得到了这类问题的一个普遍的结果。一、预备知识定义设f(x)是定义在区间C上的实值函数,若(?)x_1,x_2∈C,(?)α∈(0,1),恒有f(αx_1 (1-α)x_2)≤αf(x_i) (1-α)f(x_2)(1)则称f(x)为区间C上的凸函数。若(?)x_1,x_2∈C,x_1≠x_2,(?)α∈(0,1),恒有f(αx_1 (1-α)x_2)<αf(x_1) (1-α)f(x_2)(2)则称f(x)为区间C上的严格凸函数。     

V型函数在闭区间上的最大值只可能在端点取到

<正>定义1设函数f(x)(x∈I,I是区间),a∈I,区间I_-={x|x∈I且x≤a},I_+={x|x∈I且x≥a}.(1)若f(x)在I_-,I_+上分别是减函数、增函数,则称f(x)是V型函数(也叫做单谷函数);(2)若f(x)在I_-,I_+上分别是增函数、减函数,则称f(x)是Λ型函数(也叫做单峰函数);(3)把单谷函数和单峰函数统称为单极函数(显然,单极函数有唯一的极值点).     

未定元在交代群作用下的不变多项式

设Sn为n个数码1,2,…,n上的对称群,F[x_1,x_2,…,x_n]为域F上的n元多项式环,F的特征数不等于2.对任何σ∈Sn,f(x_1,x_2,…,x_e)∈F.[x_1,x_3,…,x],定义σ(f(x_1,X_2,…,x)=f(X_σ.(1),X_σ(2)…,X_σ(n)),简记为σ(f),称它为σ作用于f.设G为任意置换群,G(?)Sn,若对任何σ∈ G,σ(f)=f常成立,则称f在G的作用下不变.显然它们的全体为F[x_1,x_2,…,X]的子环,记为I(G),于是I(S_n)即为对称多项式环.     

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为:设y=f(x)(x∈A),如果对于任意x∈A,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数;如果对于任意x∈A,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.