关于解析几何中共圆问题的探究

<正>圆是二次曲线中最基本、最特殊的一类曲线,具有丰富的几何性质.它与三种圆锥曲线的定义及几何性质间有着千丝万缕的内在联系.关于圆的知识及圆的性质的应用是近年高考命题中"在交汇点设计问题"的良好素材,应引起我们足够的重视.本文主要介绍共圆问题的证明方法及共圆知识的应用,供参考.1用圆的定义证明共圆例1设0<θ<π2,圆锥曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有四个不同的交点.(1)求θ的取值范围;(2)证明这四个交点共圆,并求圆半径的取值范     

漫谈辅助圆的应用

圆是平面几何的主要研究对象，具有丰富的几何性质，它的性质已为学生所熟知．解析几何再一次用代数方法研究圆的目的在于：一方面是渗透解析几何中研究平面图形性质的基本思想方法；另一方面是通过平面几何知识的合理应用，增强化归与转化能力，达到培养求简意识的目的．某些解析几何问题，引入辅助圆，灵活运用圆的平面几何知识，合理地将平面图形的性质转化成数量关系．这是解题的关键，它直接制约着解题的繁简，乃至成败．圆具有优美的代数形式——圆的普通方程，圆具有优美的三角形式——圆的参数方程．     

圆的知识在生活中的应用

圆是几何中最完美的图形．具有许多独特的性质和定理．圆的知识广泛应用于现实生活．现列举几个典型的应用题供同学们参考．     

关于应用四点共圆证题的教学管见

在初三平面几何综合复习教学过程中,笔者参阅了一些有关几何证题的书刊文章,看到在论及应用四点共圆证题时,都把其归纳为"应用四点共圆证两角相等、线段相等,证两直线平行、垂直等."笔者认为,这样按照通常的几何题型来归纳,似只谈到了表象,未从"四点共圆"这一特定的概念和圆的基本性质出发去阐述其在几何证明中的独到妙     

神奇的辅助圆——构造辅助圆解决平面几何问题的基本类型

对综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题,若能根据题目的本质特征,联想到圆的有关知识,恰当地构造辅助圆,往往可化难为易,化繁为简,找到解题捷径．构造辅助圆的基本思路是：根据“圆的定义”构造辅助圆、根据“圆周角的性质”构造辅助圆、根据圆内（外）角与圆周角的关系构造辅助圆、根据“弦切角的模型”构造辅助圆、根据“圆幂定理”构造辅助圆、根据“四点共圆的判定定理”构造辅助圆、根据“两圆相切的性质”构造辅助圆、根据“托勒密定理”构造辅助圆．     

圆的几何性质应用举例

圆具有高度的对称性,有着丰富的几何性质。我们经常利用两条直线的垂直相交的条件来判断点共圆;阿波罗尼斯圆的性质体现了圆半径和到两定点距离比值之间的关系。在解题过程中注意数形结合,利用好圆的几何性质,能够简化运算,达到事半功倍的效果。     

一条不寻常的辅助线——例谈辅助圆的构作

在处理平面几何中的许多问题时,常常需要借助于圆的性质,问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在,此时可以从圆的定义、圆的性质、四点共圆三个方面入手构造辅助圆．     

圆锥曲线中关于共圆与等角的一些性质

圆锥曲线是解析几何的精萃,以其形状美观、代数形式简洁、几何性质良好而倍受人们关注．三类曲线各具魅力,但从不同的角度又存在若干共同特征．曲线的定值及定性问题体现了运动与静止、变量与常量的完美统一,一直是人们研究的重要内容．本文着重探讨圆锥曲线中点的共圆及等角性质．     

妙用圆的几何性质速解题

圆是最简单的曲线,它有丰富的几何性质,在初中已经研究过．高中学习解析几何离不开平面几何知识,尤其是圆的很多几何性质．若在解决相关问题时善于灵活运用圆的几何性质,不仅可为顺利得出解题思路扫除障碍、铺平道路。而且可大大简化计算过程,提高解题速度,增强求简意识．现举例如下．     

巧用辅助圆解竞赛题

我们知道,不在同一条直线上的三点确定一个圆,然而人们往往忽视三点共圆问题。偏重于四点共圆,事实上,四点共圆是特殊的,有较强条件的,而三点共圆却是普遍存在,条件很弱的,只要有三角形的地方便有三点共圆,在几何证题中,若能恰当地引入辅助圆(三点圆)充分利用圆的性质,常常可使问题化难为易,证法别具一格。例1,△ABC中,AD为∠BAC的内角平分线,则AB/AC=DB/DC 证明不妨设AB≥AC,作△ADC的外接圆交AB于E,连ED则∵∠1=∠2∴ED=DC,△ABC∽△DBE∴AB/AC=BD/ED=BD/DC这比常规证法简洁,新颖。     

高考热点扫描之平面解析几何综合题

解析几何包括直线和圆以及圆锥曲线有关问题．其中,直线和圆这部分内容在高考中主要考查以下三类问题：一是求直线和圆的方程;二是运用坐标公式求距离、求角度、求面积及圆的切线、弦长等问题;三是直线和圆的综合问题．圆锥曲线这部分的主要题型有：求圆锥曲线的轨迹方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值问题、范围问题、对称问题、探索性问题以及圆锥曲线的综合问题等．     

解析几何中证明四点共圆的四种方法

圆具有丰富的几何性质,它与三种圆锥曲线之间有着千丝万缕的内在联系.圆的性质的应用是近几年高考命题中体现"在知识交汇点设计问题"这一     

点的共圆证明浅谈

在平面几何证明点的共圆问题中,最常见的是证明四点共圆。在证题中还可运用四点共圆的知识再去论证其它问题。证明四点共圆一般有六种情况:(一)依据圆的定义,证明要证共圆的四点距离某一定点等远。例1.已知 BD、CE 分别是△ABC 的边 AC、AB 上的高,求证:B、C、D、E     

精彩纷呈的“圆”

“圆”是我们最熟悉的几何图形之一,高考对圆的考查一般体现为：对圆的几何性质的直接考查、联想圆的特征求解相关问题以及选考内容“几何证明选讲”“极坐标”“参数方程”中以圆为背景的问题考查形式,其命题“精彩纷呈”．下面举例说明,供读者赏析．     

二次方程根与系数关系在高考解析几何问题中的重要应用

涉及直线与圆维曲线的位置关系问题是圆锥曲线综合问题中的热点,也是近年全国高考考查重点,以其为背景涉及几何性质、几何量判断及计算、最值、定值、范围、轨迹等.这类问题如果能够熟练掌握一元二次方程的根与系数关系,并结合有关知识去处理,则能化综合为单一、化繁杂为简单,使问题得到简捷解决.下面以近几年全国高考试题中涉及直线与圆锥...     

用圆的几何性质解题

圆是最简单的曲线，它有丰富的几何性质，在初中时就已经被研究过．平面解析几何实际上就是用代数方法进行研究的平面几何，因此学习解析几何离不开平面几何知识，尤其是圆的很多几何性质．若在解决相关问题时善于灵活运用圆的几何性质，则不仅可为顺利得出解题思路扫除障碍、铺平道路，而且也可大大简化计算过程，提高解题速度，增强求简意识．现举例如下．     

辅助圆的应用

在处理几何问题时,若能依据题目的特点,添加适当的辅助圆,将直线形问题转化为圆的问题,运用圆的定义及有关性质求解,将会大大优化解题过程．现举例如下：     

证明共圆问题的四种途径

关于圆的性质在初中平面几何已经学过,高中平面解析几何又用解析法研究圆的方程和应用.应当说圆也是中学数学中的一个重要内容.共圆问题这些年来在高考题目中经常出现.下面我们就从四个方面来解决共圆问题.一、利用圆的定义【例1】设0<θ<2π,曲线x2sinθ y2cosθ=1和x2cosθ-y     

立体几何最值问题解法荟萃

最值问题是高中数学题中的常见题型，尤其是最近几年这种题型在立体几何中经常出现，而且成为各级各类考试中命题的热点．由于此类问题涉及知识面广，灵活性较大，多数学生面对这类问题常常感到力不从心，无法下手．笔者从多年的高中数学教学实践中通过分析，归纳，总结出立体几何中的最值问题可归为两大类：一类是几何法即利用几何自身的知识譬如有关概念性质等，     

妙用圆的几何性质速解题

圆的几何性质，在初中已经研究过，高中学习解析几何更离不开平面几何知识，尤其是圆的很多几何性质，若在解决相关问题时善于灵活运用，就能收到意想不到的效果，现举例如下．[第一段]