平面向量三点共线定理的推论及空间推广

一、问题的来源 平面向量三点共线定理：对于共面向量OA,OB,OC,OC=xOA＋yOB,则A、B、C三点共线的充要条件是x＋y=1.     

三点共线向量式的巧妙运用

三点共线向量式：P是平面OAB（O∈AB）上的一个动点,OP→=xOA→＋YOB→（x、y∈R）,若P、A、B三点共线,则x＋y=1;反之．若x＋y=1,则P、A、B三点共线．     

关于OP^→＝xOA^→＋yOB^→一类题的解法

问题一 已知平面上三点O、A、B不共线,证明：平面上任一点P与A、B共线的充要条件是存在实数x,y,使得OP^→＝xOA^→＋yOB^→,且x＋y=1。     

向量的一个结论及应用

有一类向量问题,可以利用三点共线的结论快速求解． 结论 已知^→OA,^→OB和^→OC是三个非零向量,且^→OC=m^→OA＋n^→OB,m,n∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是m＋n=1.     

例析共起点的三个向量问题

平面向量中有关共起点的三个向量问题,内容丰富,形式多样,方法灵活.现分类举例说明如下.类型一：共起点的三个向量的终点共线P是平面OAB（O∈/AB）上的一个动点,且OP=x·OA＋y·OB（x,y∈R）,若P,A,B三点共线,则x＋y=1;反之,若x＋y=1,     

向量中易被忽视的二个结论

结论1 设OA、OB不共线，点P在过A、B两点的直线上的充要条件是OP=αOA＋βOB，其中α，β∈R，且α＋β=1．在结论1中，若α=1/1＋λ,β=λ/1＋λ（λ∈R,县λ≠-1），则有：     

向量中易被忽视的二个结论

结论1 设^→OA,^→OB不共线,点P在过A,B两点的直线上的充要条件是^→OP=α^→OA＋β^→OB,其中,α,β∈R,且α＋β=1.     

陈题再探

文献[1]曾就一道平面向量的陈题“设OA，OB为平面内不共线的2个向量，且OC=XOA＋yOB（x，Y∈R），则A，B，C共线的充要条件为x＋y=1．”在平面范围内作了新探，给出了几个鲜为人知的结论．笔者最近又发现，这些结论可推广到空间．引理1设OA，OB，OC为空间的一组基底，且OD=xOA＋yOB＋zOC（x，y，z∈R），则A，B，C，D共面的充要条件为x＋y＋z=1．     

向量中易被忽视的二个结论

结论1设 OA^→、OB^→不共线，点P在过A、B两点的直线上的充要条件是OP^→=αOA^→＋βOB^→,其中α,β∈R,α＋β=1     

向量中易被忽视的二个结论

结论1设 OA^→、OB^→不共线,点P在过A、B两点的直线上的充要条件是OP^→=αOA^→＋βOB^→,其中α,β∈R,α＋β=1     

用“平移法”解一类平面向量题

由平面向量基本定理可以得到如下结论：已知向量→OA,→OB不共线,且→OP=→αOA＋→βOB（α,β∈R）,则A,B,P三点共线的充要条件是α＋β=1．以这个结论为基础,通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类与向量有关的最值问题．     

问渠哪得清如许,为有源头活水来——由一道课本题引发的思考

人教版高一数学（下）第117页例5可叙述为真命题（后面称结论）：A、B、P三点共线OP=mOA＋nOB,m＋n=1.它反映了共线三点与平面向量间的内在联系（即直线的向量式）,以它为依托的近年高考试题,不仅问题立意新颖,内容与内涵丰富,更体现了知识间的动态生成性,下面举例说明.     

一道向量思考题的思考

（人教社A版选修2—1第95页思考题2）已知空间中任意一点O和不共线的三点A、B、C满足向量关系式OP=xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z=1）的点P与点A,B,C是否共面？     

用向量法证明线面平行

命题 如果l在平面外，v是l的一个方向向量，a，b是平面α内不共线的两个向量，如果v=xa＋yb，则l//α.     

巧用直线的向量式方程解题

如图1,向量OA^→、OB^→不共线,根据共线向量定理,得：必存在常数t∈R,使AP^→=tAB^→。用OA^→、OB^→表示OP^→,即得OP^→=（1-t）OA^→＋tOB^→,我们称此方程为直线的向量式方程。特别地,当t=1/2时,P是线段AB的中点,OP^→=OA^→＋OB^→/2。应用直线的向量式方程解决某些...     

一道高考题的推广和引申

2005年全国高考第二卷理科第（21）2题是：设F是椭圆x^2＋y^2/2=1的上焦点，PF^→与FQ^→共线，MF^→与FN^→共线，且PF^→．MF^→=0．求四边形PMQN面积的最大值和最小值（解答过程此处略）．     

构造空间距离解题

对于空间中任意三点A、B、C,有 ｜AB—AC｜≤BC≤AB＋AC．（＊）（其中,当且仪当A、B、C共线时,仅有一个等号成立） 例1已知x^2＋y^2＋z^2=1,求,     

一道“希望杯”赛题的背景及应用

1．题目 O是平面内一点,A、B、C、D是平面内与O不共线的三个点,点P是BC的中点且使等式λ（^→AB/｜^→AB｜＋^→AC/｜^→AC｜）＋^→OA=^→OP成立,则△ABC是（ ）     

向量性质用处多

一、应用向量共线定理求解例1如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC与不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m＋n的值。     

对一种求交比方法的改进

1对一种求交比方法的改进一般《高等几何》教材中关于一维基本形中四元素的交比是这样求的：定理1设A、B、C、D为共线四点,取A、B为基点,若C=A＋A＋λ1B,D=A＋λ2B,则定理2四直线a,b,c=a＋λ1b,d=a＋λ2b的交比如此看来,给走同素的四元素以后,要求它们的交比,关键在于选哪两个元素为基元素及选定基元素后,其余两元素用基元素表示的参数λ1,λ2是多少。下面用实例来说明一般教材上处理这种问题的方法及我们改进后的方法。例1．求共线四点A（111）,B（l,2,3）,C（11,16,21）,D（5,8,11）的交比（AB,CD）教材上…