一个三角公式及其应用

在平面三角中,有不少如cos20°cos40°cos80°,sin20°sin40°sin80°,tg10°tg50°tg70°,…之类的求值问题。它们具有同一形式:f(a)·f(60°-a)·f(60°+a)。这里f(x)表示某个三角函数。对这类求值问题我们将利用三倍角公式的变形来寻求统一的处理。     

三角运算关键在变

三角恒等变形,公式繁多,技巧性强,不易熟练掌握.但如果在“变”字上下功夫,常可抓住关键,找到解题途径.一、变角对已知角进行和、差、倍、半角等各种形式的合理变换,有利于某些三角函数化简求值.例1(1997年高考题)sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°的值为.解:由7°=15°-8°,利用差角正弦和余弦公式,化简得原式=sin15°cos15°=1-cos30°sin30°=2-3.练习(1992年高考题)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.二、变项对于某些三角函数化简,求值问题,若添项或拆项等,则往往能一举成功.例2(1994年高考题)…     

数学直觉思维新探

先从一个例子谈起. 例1 求证:tg6°tg42°tg66°tg78°=1. 要证明上面的三角等式,通常的想法是化切为弦,再用积化和差方法分别求得分子sin6°sin42°sin66°sin78°及分母cos6°.cos42°cos66°cos78°的值推出结论,它的运算过程较繁. 如果解题者以前曾经证明过: tg(60°-α)tgαtg(60°+α)=tg3α (1)则把(1)作为一个基本问题(或称知识组块),同时迅速地抓住题目的特征进行比较,可以发现等式左边具备应用(1)的部分形态,即tg6°tg(60°+6°)及tg(60°-18°)tg(60°     

关于“三倍角公式”的习题

在斯瓦塞诺夫的三角教程中,已导出了三倍角的正弦,余弦公式: sin3α=3sinα-4sin~3α, cos3α=4cos~3α-3cosα。由这二个公式即可推出三倍角的正切公式: tg3α=(3tgα-tg~3α)/(1-3tg~2α)。下面应用这些公式来解一些习题。例1.求证tg~220°,tg~240°,tg~280°是下面方程的根: x~3-33x~2+27x-3=0 证明:显然,只要证明如下三个等式成立即可。 tg~620°-33tg~420°+27tg~220°-3=0, tg~640°-33tg~440°+27tg~240°-3=0,     

三角变换及其应用

三角函数作为工具 ,在代数、立体几何、解析几何等相关内容中均有广泛的应用 .在研究三角函数的有关问题时 ,利用三角变换化繁为简、化生为熟是三角解题的核心 ;三角求值、三角函数的图象与性质及三角形中的三角函数问题 ,时刻离不开三角变换 .1　三角求值中的变换三角求值是三角变换的重要应用之一 ,它可分为条件求值 (给值求值 )和无条件求值 .1 .1　条件求值已知角α的某种三角函数值 ,求α的其它三角函数值 ,需用同角三角函数间的基本关系式 ;己知角α,β的三角函数值 ,求角α±β的三角函数值 ,需用两角和与差的三角函数公式 ;已知角α…     

例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

“三角变换”与“解斜三角形”复习指导

一、试题特点及变换策略从近年高考解答题可以看出 ,三角试题均以中低档题出现 ,复习中应熟练掌握三角变换的方法及技巧 ,能根据问题的特征合理选择使用三角变换公式 ,并结合使用代数手段进行化简、求值等 .下面是对近年全国高考三角解答题分析后归纳得到的几种变换策略及方法 .1 化切为弦在同一三角关系式中含切与弦 ,常考虑化切为弦 .例 1　求ｔｇ2 0°+ 4ｓｉｎ2 0°的值 .分析与略解 :ｔｇ2 0° + 4ｓｉｎ2 0°=ｓｉｎ2 0° + 2ｓｉｎ4 0°ｃｏｓ2 0°=ｓｉｎ2 0° + 2ｓｉｎ(6 0°- 2 0°)ｃｏｓ2 0°=3ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ2 0° =3.本例…     

浅谈三角恒等变换的技巧

三角在中学数学中占据着重要的地位,其中重点和难点就是三角恒等变换,所以掌握其技巧就显得非常重要。现根据本人多年的教学经验和体会,将一些常用的变换技巧总结如下,供参考,不当之处望同行们批评批正。 一、数“1”变换的应用 数“1”是最简单的一个数,但它在三角中却有多种不同的表达形式。比如:1=sinα~2+cosmα~2=tg45°=secα~2-tgα~2=cscα~2-ctgα~2等等。在具体问题中,有时选择好1的恰当形式,问题就迎刃而解。     

半角公式的应用

1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=(1-135°/1+135°)~(1/2)=(1+cos45°/1-45°)~(1/2) =((1+cos45°)~2/sin~245°)~(1/2)=(1+cos45°)/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(2~(1/2)/2)/1-2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=(1+45°)/sin45° =(1+2~(1/2)/2)/2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)求值比较方便,特别用tgα/2=(1-cosα)/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±(1-cosα/1+cosα)~(1/2)求值好些。     

巧用韦达定理求三角函数值

例1,求值:①A_1=sin20°+sin40°-sin80°; ②A_2=sin20°sin40°-sin40°sin80°-sin80°sin20°; ③A_3= sin20°sin40°sin80°; ④A_4=sin~220°+sin~240°+sin~280°; ⑤A_5=sin~320°+sin~340°-sin~380°。对于上述三角函数的求值问题,常规的方法一般要用到和积互化公式,本文将介绍用韦达定理巧妙求这类三角函数的方法,它可使得其     

代数与初等函数自测试题(二) 三角函数

(一)填空 1.已知角α的终边过点(7~(1/2),-3),则sin α=____,sosα=____,tgα=____,ctgα=____,seaα=____,cscα=____。 2.3pcos0°+sin30°+(p~2+q~2)cos90°-3pctg225°tg45°的值为____。     

三角复习综合测验题

1.化简 (1+cos2α)/(ctg α/2-tg α/2).2.求值 log_2sin22.5°+log_2cos22.5°3.已知α、β是锐角,且 cosα=1/7,cos(α+β)=-11/14求β.4.设90°0.5.设α、β是锐角三角形二锐角,求证     

三角函数求值四法

给角求值是三角函数的一类基本题型 ,解决这类题型 ,不仅要熟悉诸多的三角公式 ,而且要能够根据问题的特征 ,将所给三角函数式灵活地进行变形转化 .怎样灵活地选用公式进行变形转化呢 ?下面介绍几种常见的思考方法 ,希望对大家的学习能有所帮助和启迪 .一、配凑法观察所给角的数量特征及欲求值之式的外形结构 ,联想与之相应的三角公式 ,从整体上将一般角配凑成特殊角 ,利用特殊角的三角函数值促成问题的顺利获解 .例 1　求ｔｇ2 0° ｔｇ40° 3ｔｇ2 0°ｔｇ40°的值 .(’96高考题 )分析 :所给函数式的外形结构与两角和的正切公式十分相似 ,…     

一组三角求值题的图证及引伸

曾仪老师在《中学数学》(苏大)95年第10期给出了如下六道三角求值好题: (1)ctg1O°-4cos10°; (2)ctg20°-sec1O°; (3)tg20° 4sin20°; (4)csc40° tg1O°; (5)4sin40°-tg40°; (6)csc20°-ctg40°。 笔者在演算时,发现以上六题都有相似的几何求法,先介绍如下;     

用通性通法解三角函数的求值题

在三角函数求值过程中 ,有些题比较简单 ,有些则较难 ,解题时若不注意通性通法则容易进入死胡同或陷入恶性循环 .以下是笔者对学生颇感头痛的四类三角函数求值题的规律总结 ,希望对广大师生有所帮助 !1　能化为同分母的尽量不通分有些题看上去可以通分 ,但不是所有题都能通过通分达到目的 ,若能化为同分母则应先设法化为同分母后求值 .下面举例说明 .例 1　求ｓｅｃ5 0°+ｔａｎ10°的值分析　许多学生往往会把此题化为 1ｃｏｓ5 0°+ｓｉｎ10°ｃｏｓ10°,然后通分 ,这样会较繁甚至解不出来 .如果能注意再化成 1ｓｉｎ4 0°+ ｃｏｓ80°ｓ…     

三角变换的类型与技巧

三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的变换,掌握三角变换中的常用技巧在高中是必须的,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能,这里介绍三角变换中常用的几种类型与技巧。1角的变换在三角化简、求值、证明中,表达式中往往会出现较多的相异角,可根据角与角间的和、差、倍、补、余等关系,运用角的变换,把“待求角”用“已知角”表示出来,利用相关的三角公式使问题获解。     

一类求值题的简捷解法

在现行高中教材《代数》课本“两角和与差的三角函数”一章中,有不少利用“积与差的互化”三角公式求值的例题和习题。一九八七年高考中也涉及到这样的题。例如“求sin10°sin30°sin50°sin70°的值”。对于这类是同名函数(或可化为同名函数)的乘积,并且其中有两个角的和是120°的求值题,用“积与和差的互化”公式去解,计算量比较     

三角函数解题中的常见误区

一、因概念不清而出现的误区例1已知α是第三象限角,则3α是A.第一象限角B.第三象限角C.第四象限角D.第一、第三或第四象限角错解A.错因分析有些同学混淆了象限角和区间角的概念,认为180°<α!<270°,则60°<α3<90°.正解∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α!相似文献   

例谈角的配凑技巧

不少三角问题,若充分注意到已知与欲求之间角的关系,灵活巧妙地对角进行配凑,可以获得简洁明快的解答。例1 如果tg(α β)=2/5,tg(β-π/4)=1/4,那么tg(α π/4)=()。(A)13/18 (B)13/22(C)3/22 (D)318解:tg(α π/4)=tg〔(α β)-(β-π/4)〕=(tg(α β)-tg(β-π/4))/(1 tg(α β)·tg(β-π/4))     

导学两角和与差的三角函数

本部分虽公式繁多 ,但这些公式是一个有着密切联系的整体 ,是进行三角变换的重要依据 ,三角变换是中学数学中发展等价变换的思想、培养逻辑推理能力的重要内容 ,因此 ,本部分是三角重点内容 ,又是高考命题的重点之一 .一、典型问题展示例 1　化简 sin ( x +6 0°) +2 sin ( x - 6 0°) -3cos ( 12 0°- x)分析 :从角入手 ,可知 ( x +6 0°) +( 12 0°- x) =180°,cos ( 12 0°- x) =- cos ( x +6 0°) ,所以原式 =sin ( x +6 0°) +3cos ( x +6 0°)+2 sin ( x - 6 0°)=2 sin [( x +6 0°) +6 0°] +2 sin ( x - 6 0°)=2 sin ( x +12 0°)…