因式分解的应用

恒等变形在数学解题中几乎处处碰到．利用因式分解是进行恒等变形的一种很重要的数学方法。它的应用极为广泛，这里就同学们已学过的知识内容谈几点应用．一、数值计算例１若ａ＝－２，ｂ＝０．２，求代数式［（ａ２＋２ａｂ－８ｂ２）÷（ａ－２ｂ）－（６ａ２＋ａｂ－ｂ２）÷（２ａ＋ｂ）］÷　的值．解原式＝［（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）÷（ａ－２ｂ）－（３ａ－ｂ）（２ａ＋ｂ）÷（２ａ十ｂ）］·２ａ＝［（ａ＋４ｂ）－（３ａ－ｂ）］·２ａ－（－２ａ＋５ｂ）·２ａ∵ａ＝－２，ｂ＝０．２，∴原式＝［－２×（－２）＋５×０．２］…     

分式求值的几种方法

对于某些分式求值的题目，若能根据其结构特点，选择适当的方法进行运算，常可使运算简便．举例如下：一、整体代入法例１已知ａ＋ｂ＋ｃ＝３，ａｂ＋ｂｅ＋ｃａ＝２，求　　的值．解原式＝例２若　　　　　　则　　（１９９４年天津市中考试题）解　设　　　　则ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝４ｋ．于是三、裂项相消法即把代数式的各项拆成符号相反的两项，利用正、负项相消消去一部分项，使剩下的项便于计算求值．例３　若　则解由已知条件可得ａ－１＝０且ａｂ－２＝０，于是ａ＝１，ｂ＝２．原式＝四、因式分解法例４已知（１９９０年四川省…     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

变形公式分解因式

当某些代数式不易分解时，如果能将我们非常熟悉的完全平方公式、立方和（差）公式适当变形后加以利用，则往往能出奇制胜。简化解题过程．例１分解因式：9ｘ２－（Ｘ十Ｙ－Ｚ）２－（２Ｘ－Ｙ＋Ｚ）２．分析本题如果直接利用完全平方公式，先展开后分解，也可获解，但过程较繁．如注意到（ｘ＋ｙ－ｚ）＋（２ｘ－ｙ＋ｚ）＝３ｘ，把公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂ变形为（ａ＋ｂ）２－ａ２－ｂ２＝２ａｂ，便可得到如下巧解．解原式＝〔（x＋ｙ－ｚ）＋（２ｘ－ｙ＋ｚ）〕２－（ｘ＋ｙ－ｚ）２一（２ｘ－ｙ＋z）２＝２（ｘ＋ｙ－ｚ…     

如何选用因式分解的方法

因式分解的方法多,技巧性强,这就要求我们在解题时要根据不同的题目,进行具体分析,灵活选用因式分解的方法．例谈如下：一、多项式为二项式,如果有公因式,要先提公因式,再试用平方差公式或立方和、立方差公式。例１分解因式：（３）１６（ａ－ｂ）２－９（ａ＋ｂ）２．分析（１）可把８１ａ４看作一个整体,连续应用平方差公式;（２）提公因式后用立方差公式;（３）把１６（ａ－ｂ）２和９（ａ＋ｂ）２看成两个整体,原多项式则可看成二项式,利用平方差公式分解因式．解（１）原式＝（９ａ２＋ｂ２）（９ａ２－ｂ２）＝（９ａ２＋…     

用完全平方公式进行根式运算

完全平方公式（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２是数学中一个重要公式，应用非常广泛．现举几例说明这个公式在根式运算中的应用．例１已知则（１９９５年宁夏中考试题）解　逆用完全平方公式，得例２　如果ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋５＝０，求的值．（１９９４年宁夏中考试题）解　把已知等式左边配方，得（ｘ２－４ｘ＋４）＋（ｙ２－２ｙ＋１）＝０．即（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝０．由非负数的性质，得ｘ＝２，ｙ＝１．原式例３已知，那么的值等于（）ｖｘｖｙｚｘｙ（Ａ）子；（Ｂ）斗；（Ｃ）士；（Ｄ）手．（１９９４年济南市中考…     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

一道初中代数竞赛题的几何解法

题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ…     

看项数 选方法

从所给多项式的项数来选择因式分解的方法是一个行之有效的好办法．举例如下．１．二项式待分解的多项式是二项式，可以选择的方法有：直接应用平方差公式或立方和立方差公式．如果有公因式，先提取公因式．例１分解因式：（１）１６ｘ４－ｙ４；（２）３ｍａ４＋２４ａｍ；（３）４（ａ－２ｂ）２－９ｃ２．简析（１）可连续应用平方差公式；（２）先提取公因式后用立方和公式；（３）把４（ａ—２ｂ）２看成一个整体，原多项式仍可看成二项式，切不可盲目把括号展开．解（１）原式＝（４Ｘ２＋ｙ２）（４Ｘ２－ｙ２）＝（４Ｘ２＋ｙ２）（…     

关于《因式分解》的对话

学生什么叫做因式分解？它与因数分解有什么联系和区别？教师因式分解是对多项式而言的．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或叫做把这个多项式分解因式．例如把ａ～２－ｂ～２变形为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ），即ａ～２－ｂ～２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）就是把多项式ａ～２－ｂ～２因式分解；又如把多项式ａ～２＋２ａｂ＋ｂ～２变形为（ａ＋ｂ）～２，即a～２＋２aｂ＋ｂ～２＝（ａ＋ｂ）～２就是把多项式ａ～２＋２aｂ＋ｂ～２因式分解．由此可知，多项式的因式分解的过程是由和到积的过程，结果是几个整式的积…     

韦达定理与乘法公式

韦达定理与乘法公式□陈大业（安徽省蚌埠八中２３３０２０）由韦达定理导出乘法公式，对横向沟通相关知识间的联系，不无小补．平方差公式以ａ与ｂ为根构造二次方程ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０，则有ａ２－（ａ＋ｂ）ａ＋ａｂ＝０，ｂ２－（ａ＋ｂ）ｂ＋ａｂ＝０．ａ...     

芬—哈不等式等号成立的补充条件及一个极限值的猜想

芬—哈不等式等号成立的补充条件及一个极限值的猜想杨杰飞（黑龙江省齐齐哈尔农行干校１６１００６）刘毅（黑龙江省齐齐哈尔教育学院１６１０００）依［１］．芬──哈不等式可一般地叙述为其中ａ，ｂ，ｃ为三角形的边长，Ｓ为三角形的面积，Ｑ＝（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ...     

不等式“(a─b)~2≥0”在物理解题中的妙用

１不等式“（ａ—ｂ）２≥０”直接在解题中应用 ［例１］如图１所示，电阻 ｒ１≠ ｒ２，当 Ｓ断开时， ａ、 ｂ两点间的总电阻力 Ｒ１；当 Ｓ闭合时，ａ、ｂ两点间的总电阻力Ｒ２．则有： （Ａ）Ｒ１＞Ｒ２． （Ｂ）Ｒ１＜Ｒ２． （Ｃ）Ｒ１＝Ｒ２．（Ｄ）无法确定． 解：当Ｓ断开时，ｒ１与ｒ２先串联后再相互并联，Ｒ１当 Ｓ闭合时，ｒ１与ｒ２先并联后再串联， Ｒ２＝作 Ｒ１、Ｒ２的差：故有Ｒ１＞Ｒ２，答案为Ａ．２不等式“（ａ—ｂ）２≥０”经变形为ａ２＋ｂ２≥２ａｂ后再加以应用 ［例２］如图２所示，一根长４ｍ的木杆，下端用…     

中考因式分解试题分析

纵观１９９７年全国各省市的中考试卷,关于因式分解的试题大致可分为如下３类：１．直接应用四种基本方法分解因式（１）分解因式：ｍａ＋ｂｍ＋ｍｃ＝．（广东）此题直接应用提公因式法分解因式．原式＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）．（２）分解因式：１６ａ２－９ｂ２＝．此题直接应用公式法分解因式．（天津）原式＝（４ａ＋３ｂ）（４ａ－３ｂ）．（３）分解因式：ｘ２＋２ｘ－１５＝．（河北）此题直接应用十字相乘法分解因式．原式＝（ｘ＋５）（ｘ－３）．此题也可用配方法分解因式．（４）用十字相乘法分解因式：５ｘ２＋６ｘｙ－８ｙ２＝．（…     

初二(上)代数段考模拟题

一、填空题（每空２分，共３０分）１．把一个多项式化成——叫做把这个多项式因式分解，因式分解的变形是整式乘法变形过程的２．因式分解的基本方法有３．应用公式法分解因式的公式有６．若多项式ａ２一６ａ＋ｋ是一个完全平方式，则ｋ＝二、单项选择题（每小题４分，共２０分）１．下列各组代数式，没有公因式的是（）２．下列各式从左到右的变形属于因式分解且正确的是３．下列各多项式的因式分解，错误的是４．用分组分解法分解多项式ｍ２一ｍ一４ｎ２＋２ｎ，正确的分组是（）５．将ａ３＋ａ２ｂ—ａｂ２一ｂ３分解因式，标准的答案是…     

非负数的性质及应用

非负数的有关性质是代数中十分重要的性质，它在解题中有着较为广泛的应用．现举例说明非负数的性质在解代数题中的应用，供同学们学习时参考．非负数的性质：若ｘｌ＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝０，且ｘｌ≥０，ｘ２≥０，…，ｘｎ≥０，则ｘｌ＝０，ｘ２＝０，…，ｘｎ＝０．此与类似，当｜ａ｜＋｜ｂ｜＝０时，总有ａ＝０且ｂ＝０；当时，总有ａ＝０且ｂ＝０；若ａ～（２ｎ）＋ｂ～（２ｎ）＝０（ｎ为自然数），则ａ＝０，ｂ＝０．例１　已知（ａ—１）２＋（ｂ＋１）２＝０，求（ａｂ）～（１９９７）的值．分析（ａ－１）２≥０，（ｂ＋１）２≥…     

《因式分解》测试题

(满分100分　时间60分钟)一、填空题（每空３分,共３６分）１．－９ｙ２＋１６ｘ４＝（）（）．２．计算：６３２－３７２＝．３．若ｘ２＋ｋｘ－４＝（ｘ＋１）（ｘ＋ｍ）,则ｋ＝,ｍ＝．４．如果ａ＋ｂ＝２,ａｂ＝１,那么ａ２＋ｂ２＝．５．２７ｘ３＋１（３ｘ＋１）（）．６．已知ｙ２＋ｍｙ＋４＝（ｙ－２）２,那么ｍ＝,７．如果ｘ２＋ｋ＝（ｘ－４）（ｘ＋４）,那么ｋ＝．８．如果４ｘ２＋１２ｘ＋９＝０,那么ｘ的值为＿．９．已知ａ２＋ｂ２－２ａ＋６ｂ＋１０＝０,那么ａ＝＿,ｂ＝．二、单项选择题（每小题３分,共１８分…     

二项式定理的一个应用

在中学数学中,二项式定理（ａ＋ｂ）是一个非常重要的恒等变换,在多项式乘方的展开,数的整除性及近似计算等方面都有广泛的应用。本文谈谈它在证明组合恒等式中的应用。例！证明（１）证（１）在（＊）式中令ａ＝ｂ＝１即得。（２）在（＊）式中令ａ＝１,ｂ＝－１,移项即得。（３）在（＊）式中令ａ＝１,ｂ＝２即得。（４）在（＊）式中令ａ＝２,ｂ＝－１即得。一般地在（＊）式中令ａ＝１,ｂ＝ｋ或ａ＝ｋ,ｂ＝－１可得如下两式：（５）（６）,例２证明（１）（２）（３）证在（＊）式中令ａ＝１,．ｂ＝ｉ．得：（１＋ｉ）”＝而…     

提取公因式的几点注意

提取公因式法是因式分解最基本最重要的方法之一．在学习时，请同学们注意以下几个问题．一、理解提取公因式法的依据提取公因式是乘法分配律的逆用．分配律ｍ（a＋ｂ＋ｃ）ｍa＋ｍｂ＋ｍc．提公因式二、必须提取最大的公因式例１把４ａ～３ｂ－６ａ～２b～２＋２ａ～２ｂ分解因式．分析本例各项的系数为４、一６、２，最大的公约数为２；字母ａ的最低次数为２，ｂ的最低次数为１，最大公因式为２ａ～２ｂ．解．原式＝２ａ～２ｂ（２ａ－３ｂ＋１）．三、注意括号内不能漏项例２分解因式：a～２ｂ＋５ａｂ～２＋ａb．分析本例的最大公因式是…