不单调问题的解题思路

不单调是近几年的创新考点,题目往往以导数为载体,解题中分类讨论,转化思维,数形结合等思想方法有着广泛应用.为此特举例分析不单调问题的解题思路,供同学们学习时参考.题目(2009年浙江高考理科22题)已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1(k∈R).设函数p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.思路1利用"p(x)在(0,3)上不单调p(x)在(0,3)上有极值点"直接求解.     

小议导数在解题中的应用

导数是新教材第三册(选修2)中新添的内容之一,有很多的数学问题在引入了导数思想后,可以达到优化解题思维,简化运算过程.本文结合实例,就导数在解题中的应用,提几点自己的观点,仅供参考. 1 导数在函数单调性中的应用 导数的几何意义是研究函数图象曲线变化规律的一个重要工具,也是判断函数单调性的最优化的方法. 例1 (2000高考题)设函数()fx=21x ax-,其中a>0,求a取值范围,使函数()fx在区间[0,) ド鲜堑サ骱? 分析2'()/1fxxxax= -,[0,)x ? (1)若()fx在区间[0,)x ド鲜堑サ骷鹾?则需'()0fx<, 即2/1xxa -<0,则有2/1xxa <, 对[0,)x ド虾愠闪?…     

探讨导数在高中数学解题中的有效应用

<正>导数在中学阶段的学习可谓是十分重要,其在数学解题中运用十分广泛。同学们运用导数知识进行数学解题,不但能够训练思维方式,而且还可以简化解题的难度。一、导数在数学解题中的运用(一)利用导数求单调性当我们需要判断函数f(x)在某一区间上的单调性时,只需要简单地对函数进行此区间上的求导,当导数大于零时,我们就称它在此区间内单调递增,反之,单调递减。例如,已知函数f(x)=xlnx,求其单调     

一道高三调研考试题的繁解、错解、简解

问题:(2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题)已知函数 f(x)=x~2 2x aln x.(Ⅰ)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(Ⅱ)当t≥1时,不等式 f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数 a 的取值范围.     

函数性质综合应用例说

<正> 本文介绍综合运用函数性质解题的一些例子,目的在于使学生深刻理解函数的性质,提高综合运用知识和方法的能力. 例1 若函数f(x)=1/2(x-1)2+1的定义域和值域都是[1,b](b>1),求b的值. 解∵x∈R时抛物线f(x)的对称轴是x=1,     

常见抽象函数型的归类及解题策略

通常意义上的“抽象函数”是指没有给出解析式或尽管给出解析式但式中含有未知参数的函数。这类函数问题一般能较深刻地体现函数的概念与性质等特征,又能与不等式、方程等紧密联系,因而能较好地培养和考查学生运用多种数学思想方法分析和解决问题的能力,但因其比较抽象,学生往往难以入手。本文就此类问题的归类及解题策略谈点看法。一、f(x±y)=f(x)±f(y)+c(c为常数)型例1.已知函数f(x)的定义域为R,且同时满足:(1)对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在区间[-3,3]上的最大值与最小值。分析:二次函数,指…     

学会转换避繁就简

函数历来为高考重点,由于函数具有许多性质,如对称性、单调性及取最值等,往往成为考查考生基本功的“试验场”.下面我们列出三道题的巧解,希望能对大家有所启发.例1 已知函数f(x)=ax2 (2a-1)x-3(a≠0)在区间[-3/2,2]上的最大值为1,求实数a的值.分析:本题中函数f(x)的图象的开口方向和对称轴位置都未定,按一般方法求     

二次函数求最值的定与动的思考

二次函数求最值问题是高中数学中很重要的一部分,占有重要地位.解决这类问题的关键是看对称轴和区间的位置关系,其本质是利用函数的单调性解决问题.在解题过程中,还体现了数形结合、分类讨论等数学思想方法.现就对称轴与区间的“动”、“定”关系,结合具体实例总结加下.     

二次函数求最值的定与动的思考

二次函数求最值问题是高中数学中很重要的一部分,占有重要地位.解决这类问题的关键是看对称轴和区间的位置关系,其本质是利用函数的单调性解决问题.在解题过程中,还体现了数形结合、分类讨论等数学思想方法.现就对称轴与区间的"动"、"定"关系,结合具体实例总结加下.     

利用二次函数的图象和性质求最大、最小值

二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)有如下性质:当a>0时,在对称轴x=-(b/2a)的左侧y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧y随着x的增大而增大;当x=-(b/2a)时函数y有最小值((4ac-b~2)/4a).当a<0时,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧y随着x的增大而减小;当x=-(b/2a)时函数y有最大值((4ac-b~2)/4a).利用二次函数的这一性质及图象求最大值、最小值是中学数学中一个     

该简捷时就简捷——优化分类讨论数招

分类讨论既是一种重要的数学思想方法 ,又是一种重要的解题策略 .它在中学数学中占有十分重要的位置 ,但由于分类讨论一般过程较为冗长、叙述繁琐 ,且极易在完备性上造成失误 ,因此应提倡在熟悉和掌握分类讨论的同时 ,克服思维定势、充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性 ,尽可能地简化或避免分类讨论 ,出奇制胜 ,达到“不战而屈人之兵”的目的 .下面结合一些实例试谈优化分类讨论的常用策略 ,向同行请教 .1　消去参数 ,回避分类讨论例 1　求函数 f (x) =| x2 -a|在区间[-1 ,1 ]上的最大值 M(a)的最小值分析 :f (x) =| x2 -a|在区间 [-1…     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

听了“函数的轴对称性”一课后的几点感受

我听了马老师的"函数的轴对称性"一课后感受很深,收获很大.整个课堂讲授精彩,下面谈谈自己的几点感受.感受一:马老师在解决巩固练习":设函数在R上满足条件,求方程在区间上解的个数"中若再引入函数y=(fx)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数(fx)必为周期函数,且T=2|a-b|.这样可得函数为同时关于直线x=2与x=-1轴对称的周期函数,且T=2|2-(-1)|=6的周期函数,所以(f0)=(f-6)=(f6)=0,又关于直线x=-1对称,所以(f-2)=(f-8)=(f4)=(f10)=0,这样方程在区间上共有7     

一道反函数问题几种解法的联系及其改进

有这样一道测试题:若函数f(x)=x3-12x在区间(-∞,a]上存在反函数,求a的最大值.同学们的解法大致有以下三种:解法1:∵f(x)=x3-12x∴f′(x)=3x2-12,∴由f′(x)>0,得x∈(-∞,-2)∪(2, ∞);由f′(x)<0,得x∈(-2,2).∴函数f(x)=x3-12x的单调增区间为(-∞,-2]、[2, ∞),单调减区间为[     

函数及其性质复习测试题

一、选择题(1)函数(fx)的定义域是(0,1],f(x2-1)的定义域是M,(fsinx)的定义域是N,则M∩N等于().A.M B.NC.(1,"2]D[.-"2,-1)(2)下列函数中,在区间(-∞,0)上是增函数的是().A.f(x)=x2-4x+8B.g(x)=ax+3(a≥0)C.h(x)=-x+21D.s(x)=log0.5(-x)(3)设偶函数(fx)=loga｜x-b｜在(-∞,0)上递增,则f(a+1)与(fb+2)的大小关系是().A.(fa+1)=(fb+2)B.(fa+1)>(fb+2))C.(fa+1)<(fb+2)D.大小关系不确定(4)设函数(fx)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且(f1)>1,(f2)=a,则().A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-1(5)设(fx)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则x(fx)…     

例谈七种可以避免讨论的常见题型

<正>"分类讨论"是一种重要的数学思想,但有些问题若能克服思维定势,变换思维角度,往往可以避免分类讨论,从而使问题的解决更为简洁,提高解题的速度和准确度.以下列举了七种可以避免讨论的常见题型,供大家参考.一、变换类型避免讨论例1当x∈(1,3)时,不等式x²+mx+4>0恒成立,求m的取值范围.分析:一般解法根据抛物线的图像,在x∈(1,3)这一段位于x轴上方来确定m的范围.但由于抛物线的对称轴不确     

08年高考试题研究 1．全国卷Ⅰ理科第19题

题目已知函数f(x)=x~3+ax~2+x+1,x∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间(-2/3,-1/3)内是减函数,求a的取值范围.     

数学复习要瞄准数形结合

数学复习需要做大量习题,代数更是如此.为了节省时间,采取数形结合和关键步骤并举的方法进行数学题目的快速练习,既保证质量,又压缩了时间.数形结合的思想方法,经常在以下知识方面得到应用.比如函数的图像和性质、三角函数的图像和性质,再就是与解方程、解不等式有关的问题,还有解析几何中的有关问题的计算.这些问题我们应该优先考虑到用数形结合的方法去解题,这样可以节省好多的时间.例1若关于x的方程x2 2kx 3k=0的两根都在区间(-1,3)内,求k的取值范围.解:令f(x)=x2 2kx 3k,其图像与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解.由y=f(x)的图像可知,…     

挖掘必要条件 优化解题过程

<正>数学解题常需要进行等价转化,也就是寻求原问题成立的充要条件.但有时所寻求的充要条件很繁,不便于问题求解,这个时候我们可以利用原问题的必要条件将问题简化,在此基础上再说明结论的充分性,使解题过程得到优化.一、利用必要条件简化分类讨论例1 对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x_0∈D, 均有f(x_0)∈D, 则称函数f(x)在区间D上封闭.若函数f(x)=x³-3x在区间[a,b](a,b∈Z)上封闭,求a,b的值.解法1     

利用导数求参数的取值范围

<正>导数是高等数学的基础部分,因而近几年来,导数是高考的必考题目.导数具有运算量大、思维灵活多变、解题方法多种多样等特点.如何利用导数求参数的取值范围既是考试的重点又是难点.利用导数求参数的取值范围的题型亦复杂多变,本文主要浅析已知函数在给定区间上的单调性,求参数的取值范围,常见方法如下.【例1】已知函数f(x)=x3-ax2+bx+5(a,b∈R).若g(x)=f(x)-(b-1)x-5,且g(x)在区间[1,2]