组合恒等式的几种证明方法

<正>对于组合恒等式的证明无固定的方法,使得人们常感到无从下手,下面介绍证明组合恒等式的几种方法,供读者参考。一、构造组合模型例1求证:(C_n⁰)0)²+(C_n2+(C_n¹)1)²+…+(C_n2+…+(C_nⁿ)n)²=C_(2n)2=C_(2n)ⁿ。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)n。证明:设集合A={a_1,a_2,…,a_n},集合B={b_1,b_2,…,b_n}。选法一:从A∪B中的2n个不同元素中选取出n个元素的组合数为:C_(2n)ⁿ。选法二:从A中取0个元素,从B中取n     

Fuzzy向量的线性无关性

设P~n={X|X=(x_1,x_2…,x_e),x_j∈[0,1],j=1,2,…,n}。称P~n的元素为Fuzzy向量。两个Fuzzy向量A=(a_1,a_2,…,a_n)与B=(b_1,b_2,…,b_n)的和定义为A+B=(max(a_1,b_1),max(a_2,b_2),…,max(a_n,b_n)λ∈[0,1]与Fuzzy向量的数乘定义为λA=(min(λ,a_1),min(λ,a_2),…,min(λ,a_n)。若Fuzzy向量组A_1,A_2,…,A_n中,任何向量均不能用其余向量线性表出,称向量组为线性无关向量组。容易证明,在P_n     

应用比例性质要注意的一个问题

若a_1、b_1、a_2、b_2成比例,即a_1/b_1=a_2/b_2,则它具有下列性质: (1)a_1/a_2=b_1/b_2,b_2/b_1=a_1/a_2 (更比定理) (2)b_1/a_1=b_2/a_2 (反比定理) (3)a_1/(a_1+b_1)=a_2/(a_2+b_2),(a_1+b_1)/b_1=(a_2+b_2)/b_2 (合比定理) (4)a_1/(a_1-b_1)=a_2/(a_2-b_2),(a_1-b_1)/b_1=(a_2-b_2)/b_2 (分比定理)     

高中数学基础训练题（1）

集合与简易逻辑1 .设全集 U={ 1 ,2 ,3,4,5,7} ,集合 A={ 1 ,3,5,7} ,集合 B={ 3,5} ,则 (　 )(A) U=A∪ B　　　　 (B) U=(CUA)∪ B(C) U=A∪ (CUB) (D) U=(CUA)∪ (CUB)2 .已知集合 A={ y|y=log2 x,x>1 } ,B={ y|y=(12 ) x,x>1 } ,则 A∩B等于 (　 )(A) { y|0 0 >a,0 >a>b;a>0 >b;a>b>0中 ,能使 1a<1b成立的充分条件的个数是 (　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 44 .a1 ,b1 ,c1 ,a2 ,b2 ,c2 均为非零实数 ,不等式 a1 x2 +b1 x+c1 >0和 a2 x2 +b2 …     

谈Sn=a_1-a_nq/1-q的推导

公式S_0=(a_1-a_nq)/(1-q)教材上使用的是“错位相减法”。这种方法用途很广,比如说在求一个等比数列{a_n}与一个等差数列{b_n}对应项积的数列{a_n·b_n}的前n项和时,就可以如此求得: 设{a_n}的公比为q,{b_n}的的公差为d: S_n=a_1b_1+a_2b_+…+a_nb_n (1) 在(1)两边同时乘以{a_n}的公比q: qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+…+a_nb_nq     

由等差等比数列构成的数列求和问题

数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得:     

如何求数列的通项

数列{a_n}中,a_1=1,a_(n+1)=1/(16)(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),求a_n.解:构建新数列{b_n},使b_n=(1+24a_n)~(1/2)>0,则b_1=5,b_n~2=1+24a_n(?)a_n=(b_n~2-1)/(24).由a_(n+1=1/16(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),得(b_(n+1)~2-1)/(24)=     

一道数列综合题的解法分析

题已知{a_n}是等差数列,其公差为 d;{b_n}是等比数列,其公比为 q>1.若 a_2=b_2=2,a_4=b_4.(1)比较 a_1与 b_1,a_3与 b_3的大小;(2)猜想并证明 a_n 与 b_n 大小关系(n≥5).这是成都市高2000级第一次诊断考试数     

2001年高中联赛第13题评析

2001年全国高中数学联赛一试第13题为:设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列,且b_1=a_1~2,b_2=a_2~2,b_3=a_3~2,(a_1相似文献   

一个恒等式的应用

我们有等式(a_1~2 a_2~2)(b_1~2 b_1~2)=(a_1b_1 a_2b_2)~2 (a_1b_1-a_2b_1)~2=(a_1b_1-a_2b_2)~2 (a_1b_2 a_2b_1)~2,它在解答有些问题时能起重要作用,下面举例说明.     

2004年高考数学（省市卷）试题分章选解

第一章　集合与简易逻辑一、选择题1 .[福建 ,文 1 ]设集合U ={1 ,2 ,3 ,4,5 },A ={1 ,3 ,5 },B ={2 ,3 ,5 },则CU(A∩B)等于 (　　 ) .A .{1 ,2 ,4}　B .{4 }　C .{3 ,5 }　D . 2 .[浙江 ,1 ]若U ={1 ,2 ,3 ,4},M ={1 ,2 },N ={2 ,3 },则 CU(M∪N)等于 (　　 ) .A .{1 ,2 ,3 }　B .{2 }　C .{1 ,3 ,4}　D .{4 }3 .[江苏 ,1 ]设集合P ={1 ,2 ,3 ,4},Q ={x||x|≤ 2 ,x∈R},则P∩Q等于 (　　 ) .A .{1 ,2 }　　　B .{3 ,4}C .{1 }　D .{-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 }4 .[天津 ,文 1 ]设集合P ={1 ,2 ,3 ,4,5 ,6},Q ={x∈R|2≤x≤ 6},那么下…     

两个方程有公共根的另三种思考方法

许多刊物都载文指出:两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0,a_2x~2+b_2x+c_2=0(a_1a_2≠0)有一公共根条件是:当 a_1b_2≠a_2b_1时,(a_1c_2-a_2c_1)~2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1);当 a_1b_2=a_2b_1时,a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2有两个公共根.应用这些条件虽可解决一切公共根问题,但较难记忆,有时会带来较繁的运算.本文再提供另外三种思考方法.     

一个几何命题的推广

常庚哲教授在初等数学论丛第2期上给出了一个几何命题: △ABC的三边为a_i,b_i,c_i,面积为△_i,三边上的高分别记为p_i、q_i、r_i,这里i=1,2,令a~3=(a_1~2 a_2~2)~(1/2),b_3=(b_1~2 b_2~2)~(1/2),c_3=(c_1~2 c_2~2)~(1/2),则有:     

对两个错答的纠正

贵刊1988年1—2期合刊“高中代数综合训练与检测”中有两道练习题的答案是错误的,现纠正如下: 练习一8.有一等差数列{a_n}和等比数列{b_n} 若a_1=b_1>0,a_(2n 1)=b_(2n 1),试比较a_(n 1)和b_(n 1)的大小。原答案:当q≠1时,a_(n 1)>b_(n 1);当q=1时,a_(n 1)=b_(n 1)是错误的,今举一特例说明: {a_n}:3,3,3,3,3.d=0。 {b_n}:3,-3,3,-3,3。q=-1。它们分别是符合题意的等差数列和等比数列,但当n=2时有a_(n 1)=3=b_(n 1),并非a_(n 1)>b_(n 1)。下面给出正确的解答: 设等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,     

从一道高考题谈集合的几类计数问题

2006年全国高考数学(Ⅰ)第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2~4-1=15种;当 B 中最小数为4时,有2×(2~3-1)=14种;当 B 中最小数为3时,有2~2×(2~2-1)=12种;当 B 中最小数为2时,有2~3=8种.∴共有49种,选 B.推广:设集合 I={a_1,a_2,a_3,…,a_n},选择I的两个非空子集 A 和 B,使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法有多少种(a_1相似文献   

等比定理在解题中的应用

若a_1/b_1=a_2/b_2…=a_n/b_n,且b_1 b_1 … b_n≠0, 则(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(a_1)/(b_1)=…=(a_n)/(b_n). 这就是我们熟知的等比定理,关于该定理的应用在现行中学教材中涉及较少,然而它的应用还是很广泛的,兹举例予以说明。1 化简 例1 分母有理化:(3 2(2)~(1/2)-3~(1/2)-6~(1/2))/(1 2~(1/2)-3~(1/2))= __________.（1989年全国部分省、市初中数学通讯赛初赛试题）     

应用比例式a_1/a_2=b_1/b_2=(a_1-b_1)/(a_2-b_2)来解化学计算题

在中学化学教学中,经常应用比例这个计算方法来解计算题。我们感到有些题目,应用a_1/a_2=b_1/b_2或a_1b_2=a_2b_1来计算比较烦琐。如果应用a_1/a_2=b_1/b_2=(a_1-b_1)/(a_2-b_2),a_1(a_2-b2)=a_2(a_1-b_1)或b_1(a_2-b_2)=b_2(a_1-b_1)来计算就很方便。下面,我们提供一些例题和解法(解法2)来跟一般常用的解法(解法1)作出比较,供同志们参考。     

记一堂数列是非辨析课

请同学们思考以下问题:问题1:设数列{a_n}是正数等差数列,数列{b_n}是正数等比数列,且a_1=b_1,a(2n 1)=b_(2n 1).试比较a_(n 1)与b_(n 1)的大小关系.学生S_1很快给出了如下解法:因为a_(n 1)>0,b_(n 1)>0,所以,a_(n 1)=(a_1 a(2n 1))/2≥(a_1a_(2n 1))~(1/2)=     

递推数列a_(n+1)=qa_n+b_1p_1~n十b_2p_2~n+b_3的通项公式

我们考虑这样的数列:已知数列{a_n}的a_1,并且递推公式为a_(n+1)=qa_n+b_1P_1~n+b_2p_2~n+b_3,其中q,P_1,P_2,b_1,b_2,b_3为常数,且q≠0,P_1,P_2≠1,P_1≠P_2,这个数列的通项公式如何求法,我们分以下几种情况来讨论这种问题.一、q≠1的情况(一)当q≠pi(i=1,2)时,设a_n=u_n+a_1p_1~n+a_2p_2~n+a_3,其中a_1、a_2、a_3为待定系数.将此式代入上面的递推公式中,得     

一道竞赛题的又一巧解

第六届“祖冲之杯”数学邀请赛的一道试题,本刊曾提供了“巧解”,这里再提供一个“巧解”。原题:设a_1、b_1、a_2、b_2都是实数,a_1≠a_2且(a_1+b_1)(a_1+b_2)=(a_2+b_1)(a_2+b_2)=1, 求证:(a_1+b_1)(a_2+b_1)=(a_1+b_2)(a_2+b_2)=-1。证明将条件等式同除以(a_1+b_2)(a_2+b_1)得a_1+b_2/a_2+b_1=a_2+b_2/a_1+b_1=1/(a_1+b_1)(a_2+b_1)。而a_1+b_2/a_2+b_1=a_2+b_2/a_1+b_1=(a_1+b_2)-(a_2+b_2)/(a_2+b_1)(a_1+b_1)=a_1-a_2/a_2-a_1=-1,∴(a_1+b_1)(a_2+b-1)=-1。