数论导引

第一章基本概念 1、整除性我们用Z表示整数集,就是 Z{…-3,-2,-1,0,1,2,3,…} 用Z~ 表示正整数集,Z~ ={1,2,3,…}。以下整除的定义提出了Z上的一个关系,这个关系对今后的各章是基本的。 [定义]假设a、b∈Z,如果存在c∈Z,使得ac=b,我们就说a整除b(或b是a的倍数),记为a|b。如果a不能整除b,记为a(?)6。注意,若b(?)0,a|6,那么a(?)0;同样的,若a=0,a|b,那么b=0.然而,若b=0,无论于每一个a∈Z,都有a|b。下面的定理将给出一些由定义导出的更重要的结果。     

数学竞赛中的集合问题

本讲适合高中 )1　关于集合的概念与运算例 1　若非空集合A ={x| 2a 1 ≤x≤3a - 5},B ={x| 3≤x≤2 2 },则能使A (A∩B)成立的所有a的集合是 (　　 ) .(A) {a| 1 ≤a≤9}　　(B) {a| 6 ≤a≤9}(C) {a|a≤9}(D) ( 1 998,全国高中数学联赛 )图 1解 :根据A (A∩B)可知A B ,如图 1所示 .从而 ,2a 1 ≥3,3a - 5≤2 2 ,3a - 5≥2a 1 6 ≤a≤9,即a∈ {a| 6 ≤a≤9}.故选 (B) .注 :借助韦恩图或数轴可直观地表示出集合与集合的关系 ,使题设更加清晰、明了 .例 2　设集合M ={u|u =1 2m 8n 4l,m、n、l∈Z},N ={u|u =2 0p 1 6q…     

一道IMO预选题的另证

题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t（m）,使得m＋t（m）是3的倍数．函数f：Z→Z满足f（-1）=0,f（0）=1,f（1）=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有     

整数环的构造

数系的扩展一般有两种方法,添加新元素法和构造法。用定义等价类的方法构造整数环是一件抽象而又十分繁杂的事情。本文的目的是在不增加公理的情况下,用简捷的方法研究整数环的构造,以适应师范专科学校的教学需要。 一、基本概念和定理 定义1,含有自然数集N的最小环叫做整数环,即把具有下面性质的集合叫做整数环。 （1）含有自然数集N。 （2）是一个环。 （3）自然数的加法和乘法与含在这个集合中的自然数的加法和乘法是一致的。 （4）这个集合不含任何包含N且不同于它本身的子环。 我们把环中的元素叫做整数。     

集合与简易逻辑

第一课时　集合及运算 基础篇 诊断练习一、填空题1.判断下列说法是否正确 ?并说出理由1高一 ( 4)班身材比较高的同学组成一个集合 .2所有较小正数组成一个集合 .2 .试用另一种方法表示下列集合 :1{0 ,2 ,4 ,6 ,8,10 }=.2 {x| 12x ∈ Z}=.3{负数 }=.4 {既是 2的倍数 ,又是 3的倍数的数 }=.3.集合 A ={x| x =2 k,k∈ Z},B ={x| x =2 k+ 1,k∈ Z},C ={x| x =4 k + 1},又 a∈ A,b∈ B,则a + b∈ .4 .已知集合 A ={x∈ R| ax2 + x + 2 =0 ,a∈R},若 A中元素至多只有一个 ,则 a的取值范围是.5.集合 B ={x| x2 - ax + ( 2 a - 4) =0 ,a≠ 4…     

整数四则运算

我们对整数有了一定的认识之后,现在来研究整数的四则运算。整数的四则运算是最简单、最基本的算术运算,是小学数学中最重要的基础知识。一、整数四则运算的定义自然数的加法运算是建立在数数原则的基础上的。如果数 a 和数 b 都是自然数,在自然数列中的数     

“0”作为自然数的两个基本问题

目前，我国所有数学出版物，包括各类数学新教材，都把自然数集记为N={0，1，2，3，…}非零自然数集记为N (或N。)={1，2，3，…}。这就是说，今后要把数…0’作为自然数，第一个自然数是0而不是1。由此看来，这就不仅仅是一个数学符号的改变，而是对自然数及其相关理论要进行一次重新认识。故此有两个基本问题需要澄清：     

2004年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）

一、选择题 :每小题 5分 ,共 40分 .1.设全集是实数集R ,M ={x| -2≤x≤ 2 },N ={x|x <1},则M∩N ,等于 (　　 ) .(A) {x|x <-2 }　　 (B) {x| -2 相似文献   

对《不能说它们“互为逆运算”》一文的商榷

《教师之友》今年第5期刊登的文章《不能说它们“互为逆运算”》一文认为:虽然加法只有一种逆运算减法,但减法却有加法和减法两种逆运算,所以不能说加法与减法“互为逆运算”;同样,虽然乘法只有一种逆运算除法,但除法却有乘法和除法两种逆运算,所以不能说乘法与除法“互为逆运算”。我认为说“减法有加法和减法两种逆运算,除法有乘法和除法两种逆运算”是不对的。事实上,减法没有逆运算,除法没有逆运算。数的运算和逆运算,通常总是在给定的数集上定义的。我们知道,普通加法“ ”和减法“-”都是非负有理数集Q(下同)的一种运算,并且加法“ ”的逆运算是减法“-”;普通乘法“×”和除法“÷”都是正有理数集Q”(下同)的一种运算,并且乘法“×”的逆运算是除法“÷”。     

最小非元素问题引发的一个美妙数阵

以mex{S}(mex由minimum -exclude(最小 -排除 )而来 )表示不属于 (非负整数有限集 )S的数中最小的非负整数 ,即mex{S}={a|a∈Z- ,a S ,a≤x S}.现构造如下数阵[1]A ={aij}=mex{Sij},其中Sij是由A中第i行aij左边和第 j列aij上面的元素的集合 :A =a11　a12 　…　a1,j- 1　a1j　…a2 1　a2 2 　…　a2 ,j- 1　a2 j　……　…　…　…　…　…ai1　ai2 　…　ai,j- 1　aij　……　…　…　…　…　…S0 0 = ,Sij={ai0 ,… ,ai,j- 1;a0 j,… ,ai- 1,j}　i,j=1 ,2 ,…问题[2 ] :第 777行的第 1 0 0 1个元素a777,10 0 1=?可归纳地证明 :每…     

一类集合相等的判别法

1987年全国高中理科试验班选拔考试中,有这样一题:“若A={x|x=kπ/2+arctg4/3 k∈Z} B={x|x=kπ-arctg2 k∈Z} C={x|x=kπ+arctg1/2 k∈Z}则A=BUC。试判断命题是否正确。”又如1984年全国高考一道选择题:“数集x={(2n+1)π,n是整数}与数集y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是:     

什么叫逆运算

小学数学课本谈到四则运算的关系时,指出“减法是加法的逆运算”、“除法是乘法的逆运算”;但课本没有说“加法是减法的逆运算”,也没有说“乘法是除法的逆运算”。现在要问:究竟什么叫做逆运算?为什么减法是加法的道运算、除法是乘法的道运算?课本为什么不说“加法是减法的逆运算”,也不说“乘法是除法的逆运算”?本文试就这些问题谈点肤浅的认识和体会,以供参考。数的运算,通常总是在给定的数集上定义的。设A是一个给定的数集,而(?)是一个给定的法则,如果根据法则(?),对于从集A中按先后顺序取出来的任何两个数a与b,都能得到集A中的一个数C,即有     

二阶半线性迟滞差分方程的振动准则

利用文献[1]中构造序列的方法,研究了二阶半线性迟滞差分方程△(rn|△un|α-1△un)+Pn|un-1|α-1un-1=0,n=0,1,2…的振动性,得到了该方程的一些新的振动准则;其中实数α≥1,l为非负整数,序列{rn}∞n=0为正实数序列,序列{pn}∞n=0为非负实数序列且存在一正子序列,并且Rn=n-1∑i=0 ri-1/α→∞(n→∞).     

高斯整数环的剩余类加群

本文首先在高斯整数环H={a bi|a,b∈Z}中给出同余概念,讨论了它的一些性质,通过同余定义了H的以n为模的剩余类C_(st)={x yi∈H|x yi=n(a bi) s ti},0≤s相似文献   

一些正弦函数级数的敛散性

本文给出任意项级数收敛判定方法:如果级数∑_(n=1)^∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)^∞sinπ/2(a_0n∞sinπ/2(a_0n^k+a_1nk+a_1n^(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s)/n发散,其中s∈N.     

|x-a|的几何意义(初一、初二)

|x-a|的几何意义是:数轴上两数x和a对应的点A和B之间的距离(如图1),即线段AB的长.记为|AB|. 从这个几何意义出发,能很好地解决一些含有绝对值符号的问题,比用代数法简单. 例1 适合关系式|3x-4|十|3x+2|=6的整数x的值的个数是( ) (A)0.(B)1.(C)2.(D)大于2的自然数.     

二、数的计算

[知识导序 ]运算定理、性质加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律减法运算性质商不变性质四则混合运算顺序没有括号的 同级运算两级运算有括号的[知识导练 ](一 )四则运算的意义和相互关系运算意义各部分名称 关系 各部分之间的关系加法把两个数合并成一个数的运算。 加数 +加数 =和减法已知两个数的和与其中一个加数 ,求另一个加数的运算。被减数 -减数 =差乘法一个数 (整、小、分数 )乘以整数 ,是求几个数。因数×因数 =积除法已知两个因素的积与其中一个因素 ,求另一个因素的运算。被除数÷除数 =商互为逆运算一个加数 =…     

关于集论的一个存在性定理

1.设X为任意集合,A_1,…,A_n为X的一族子集。我们用|M|表示有限集M中所含元素的个数,并令 |Ai_1∩…∩Ai_m|=ai_1…i_m (1)于是我们得到由2-1个非负整数组成的数组 {ai_1…i_m:1≤i_1<…相似文献   

第六讲 四则运算中的混合运算顺序

在数的运算中,加法、减法、乘法和除法的运算,总称为四则运算。其中加法和减法是最基本的运算方法,而乘法是从同数连加的情况发展起来的,除法是从同数连减(即从一个数里连续减去几个相同的数)的情况发展起来的,所以通常把加法和它的逆运算减法叫做第一级运算,把乘法和它的逆运算除法叫做第二级运算。第二级运算是第一级运算的高级运算,第一级运算是第二级运算的低级运算。在一个算式里,如果含有两种或两种以上的运算,通常就叫做混合运算。加、减、乘、除的混合运算,也叫做四则混合运算。     

从图象角度透视“二次”问题

一、利用图象解二次函数问题例1已知集合A={y|y~2-(a~2 a 1)y a(a~2 1)>0),B= {y|y=1/2x~2-x-3/2,0≤x≤5},且A∩B=(?),求实数n的取值范围.