错在哪里

文L,」中有如下的例题, 例设f(x)一a尹 bx,且1(f(一1)镇2,2毛f(1)簇4,求f(一2)的值域. 正确解法: 因f(一1)=a一b,f(1)二a b 即l(a一b镇2,① 2(a b镇4② 设f(一2)=mf(一1) nf(l), 则4a一Zb=m(a一b) n(a b) 即4a一Zb=(m n)a一(m一n)b,这两个变量是非独立的.这个解释对学生而言还不够清楚.下面我们用不等式表示的区域来探讨一下这个解法的错误在哪里:①拱a b镇4a b》2②.a一b镇2a一b》1 ①、②不等式组成的不等式组所表示的区域是如图1所示的矩形阴影部分. 口口 一一 翻3一2 一︸ 日 ‘.吕丫且..卜U、一圣于是!m一所以f(一2)二3(a一b) (a b)…     

竞赛中的整式求值问题

初中数学竞赛中,经常遇到与整式有关的求值问题,解答时.难度较大.下面举例介绍几种方法和技巧. 例1已知“+b+c一O,口+l,l十尸一1.刀肠么a(b十c)“十b(c+“)穷+c(“一十b)“一 (1996年“聪明杯”初一数学竞赛试题) 解由‘、十b+(·一O,得 b粉c-一“,c十~“一一b,“一卜b一一c. 原式一。(一。)3十拭一的3+‘、(一‘,)3 一一(“’朴bl一c“)-一1. 侈112若】。一bl+(l.二2)2一。,则。+乃一(). (A)一4(B)一2(C)O(D)注 (1998年成都市初一数学竞赛试题) 解在等式}。一川十(/,+2)2一。中, ,-’{。一b{妻三O,(b十2)2二)O, l。一b]一。,(b+2)“一0…     

题库(十七)

1.设函数f(力在(一二，+二)上满足f(2一川一f(2+川，‘f(7一力一j(7+ 川，且在闭区间〔O，7〕上，只有f(l)一f(3)一0. (l)试判断函数y一f(二)的奇偶性; (2)试求方程.f(二)一。在闭区间〔一2。。5.2 005〕上的根的个数，并证明你的 结论. 2.已知二次函数f(‘r)一尹+“二+b(a，b〔R). (1)若方程f(对一。有两实根，且两实根是格邻两整数，求证f(一a)- (aZ一1); (2)若方程f(二)一O有两非整数实根，且这两实根在相邻的两整数之间，试 证明:存在整数*，使得}f(*)}镇今. 任 3.已知j(二)一a尸+汽厂+。二+d是定义在R上的函数，其图象交，轴于A， B…     

巧定取值范围(高一、高二、高三)

题已知f(劝一二“一。,且一4毛f(l)毛一1,一1镇f(2)毛5,求f(3)的取值范围. 分析本题的关键是用f(1),f(2)来表示f(3),通常有如下两种解法:解法1依题意,得f(l)=a一ef(2)一4a一。解得a-音、(2卜音z、1),一音f(2卜音f(,),所以f(3)一ga一c一争(2卜普f(1卜专f(2卜夸f(l,一号f(2卜号f“,,因为一4毛f(1)毛一1,一1毛f(2)毛5,所以冬‘一粤f(1)毛馨,一导簇导f(2)(华, j j j 0 OJ 一1镇f(3)毛20. 解法2设f(3)一mj(l) 、f(2),因为f(3)=ga一。, 阴了(1) nf(2)=m(a一e) n(4a一e)=(m 4n)a一(m n)c,所以m 4n=m n-因为f(l)一a一。.f(2)一4a一:,所以一4蕊a一c(…     

利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…     

每期一题

题:设z〔R,:/(l+22)〔R。则12卜1。 证法一:利用复数的代数式。设之二a+b云(今今0,a,乙〔R),有z八1+‘2) 、_a+a乙“+as+吞(1一aZ一西2)玄 一_一「而卜--一 丫!1+:名I’>o,由已知得:b(l一a,一bZ)=O,又b斗O, .’.砂十b,二1,故}川=侧妥‘不丢三二1, ·证法二;利用复数的三角式。 设之二犷(coso+isino)·(了)o,‘ino钾0), 有:八1+:’)=下(。050+1 sino).=2,z:=1,故}:卜1。 汀法五:利用二共扼复数的积为一实数 48(1+,·“广。”20一下’sinZ。)小+“’[,由分子的虚部了(x一:“)sino=o,故,=1。 证法三:利用一个实数的共辘复数仍是这个数。 由…     

第34届IMO试题解答

1.解法一假设f(x)可分解为两个整系数多项式之积 f(x)=g(x)·h(x),(,)其中g(x)=x户+a,一:x,一‘+…+a,x+a。, h(x)~x.+b,一lxq一’+…+b:x+b0,且a,=l,bq=1,P,宁,a。,a;,…,a,一1,b。,b,,…,bq一:任2. 首先证明P和q均不小于2.若不然,不妨设P~1,有了(x)~(x+a。)h(x).由aob。~3,有a。~士l或士3,即f(x)有根士1或士3.但 f(1)=8, f(一1)=(一1)‘+5(一l)一’+3 ~(一1)一’·4+3转O, f(3)=3一+5·3‘一’+3笋0, f(一3)~(一3)’+5(一3)一’+3 ~(一3)一’·2十3笋0.所以,士1,士3不会是f(x)的根,即P,q均不小于2. 设2簇户镇q(n一2.由aob。一3,不妨设a…     

错在哪里

一、湖南省式冈二中钟介澎来稿 题已知:x、y〔R,且尸十犷蕊1,求之=!x+,}+}y+1}一卜12y一x一4}的最值。 解:由已知可得,一1‘x成1,一1(夕(1,所以万十1)O,2万一x一4<0,并且一2成x十y镇2。 :=l、+万!+万+1一(2夕一二一4) =lx+万卜x一y+弓当x十,)0时, 之二x十夕十x一y+弓二Zx十5镇7当x十对簇O时, 之二一(x+互)+x一y+5 =5一翔)3故z的最大值是7,最小值是3。 解答错了!错在哪里? 错误的原因是把正方形区城A二{(芜,,)l一l‘工毛1,且一1镇;簇1}看作与圆面区城‘B={(x,夕)1扩+犷(1,二、万〔R}是等价的,而实际上是姓。B。 正确的解法是:%+对)O尸+对…     

一次分式函数迭代循环的充要条件

设f:M~M.记f,(二)一f(二),fZ(二)~f(f(二)),…,人(二)一f(人、(l’)).若存在最小的整数,:>1,使得人(,)二r,则称f(x)为n阶循环函数. 方程。了+(d一a)二一b一O称为f(二)一a了十b‘一了+d(a,b,:,d任C,t’半O)的特征方程,a,尸为根,△~(d一a)2+4b。为判别式,记k-a—faa一,’月‘则有引理设f(x)~a工+b‘J十d(c半O,ad一be铸0).若△一O,则 (a十d)(x一a)人(二)一a+不决竺匕等一=千学.J·、-·一’2,。c(x一a)+a+d‘若△界O,则 (月k’一a)x一(k,一l)a月j.‘工夕一一.几下石一-万又一一下一万一-…不二下一一 戈尺一1夕了州卜尸一a况得证如存在g(x…     

一个不等式的证明及应用

定理设n任N,n)2,。r,t,s>0,a气+a头+…+a二=A,a互a蚕十a妥a匀+…+‘试~B.则 月下~,~r十,十‘D乙一共=二),兰一亩=工乃一“矛刀一l(1)等号成立的充要条件是al~a二证明令氏-a下+‘A一可,i一1,2,…,二,则b,簇热簇…簇b,.(用视差法可证)又a’l簇姚落…(试,由排序原理知云。:。‘)习。:。‘+,,j一:,2,…,,一1.(z) i=l矛,1(k>,时,约定b一b卜.).(2)中各式相加得 (。一1)e)习(,一。:),‘一万a:+1.(3) ‘,l亩.1其中C表(z)左边.因a互蕊a笼蕊…镇a二,a二镇a岌…簇心,故艺。户一艺。:.。渗‘姚+。诚+…+a二a悦=B.(4)(4)代入(3)得C)典n—1,此即(l)式.…     

每期一题

题:设f(x)二侧了不万百,若口、b〔刀,且a今b,求证:}f(a)一f(b)}(!a一b}。 证法一(分析法) {f(a)一f(西)!相似文献   

一道竞赛题的启示及推广

2n .2行了8一·J一 乃 第五届全俄中学生数学竟赛有这样一道题:求所有a、‘b,使}2:2卜a:+b!簇1对一切一1毛:廷1均能成立.为了便于以下讨论及推广,我们把上题改述为如下命题: 命题l对于任意a任(一co,。co),有 }2e082a+aeo。:+b!毛1,当且仅当ZeosZa+aeos“+b=eosZa. 证明当ZeosZa+aeosa+b二cosZa时,显然能使]ZeosZa+aeosa+bl镇1对于任意a任(一co,+co)都成立. 反之,设吞>一z,则Zcos’a+ac08a+b=Zeos“a一l+aeosa+b+1.由假设知b+l>0,若令eosZa二z且使aeosa=!aJ,则有!Zeos’a+aeosa+b}二i+la}+b+1>1,矛盾. 设乙<一z,若令eosa二o,则有{Zeos…     

判断函数奇偶性的常见错误例析

一、忽视定义域的对称性致错 例‘判断f(x卜(卜·儒的奇偶 错解:因为“一,=(‘一德 0时,定义域( 称,而且f(x) 一二,O)u(0, 2 一兰二生止=x,,f( 一工 co)关于原点对 一x)=(一:),= 性. =f(x),故此时f(x)是偶函数. =(l一x =(l x 叭份潇切 习澎沛毛万 二(1二保=:·), 垫--a 所以f(     

一题两巧证

例如图l,已知△ABC中,AC土BC,CD土AB于D,AB~‘,BC~a,AC一b,CD一h,求证:‘十h>a+b. 证法l(应用比例) ·:口b一‘h一25△ABc, ah、_..-.!--,-一一:.导一于,设此比值为k,则k<1. cb’~~卜。以ZJ‘、,乃切,一~二·:.a一kc,h~kb,:。a一h一k(c一b)<‘一b,即c斗一h>a一卜b.证法2(应用配方法)D图A …(c+h)“=hZ+Zhc+eZ=hZ+2口b十口2+bZ=hZ+(a十b)“,:.(c+h)2>(“十b)2.+h二>0,a+b),0,+h>a+b.(陕西省兴平市西郊中学张国瑞)一题两巧证@张国瑞$陕西省兴平市西郊中学~~…     

2006年7-8月号“数学创新与实践竞争”参考答案

题1叮·052x装满的牙膏瓶的体积叭二下·22 x 20=80叮(cI记).每次挤出才禽的体积F，二粉二。.257T((.rT，)，可用8()cr二32川次).扩大川圣后每次挤出牙膏的体积vZ二邮(). 25叮酬络二·o石2火l二0·36二(。nl，)·可用一呈9卫二222(次).可少用320一222二98(次). 036叮题2依题意，得动二l M=丝奸l巨妇卫少l) (a+l)(方+l)瓜二一卜1竺+1_二(‘，+I)(b+l、故M=人一，Z)+‘，+动+I) (‘什l)又乙+l) a+乙+2 (‘z+l)(b+l) Zab+a十b 2+a+b (a+l)(b+l)(a+l)(b+l)砂缪题3〔l)小明应朝下一站走.(2。小明的速度至少应为3oo 3!箫娜krn/h.衡任编嘱/穆…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

平面到其自身的一个映射与平面坐标变换的关系——从一道数学题的错解谈起

有这样一个集合与对应的练习题花“已知坐标平面上到其自身的两个映射 f:(二,,),(g,一‘),g:‘(x,沙)‘(x一4几,,+2户。(1》试求点(一2,5)经过映射f后,再进行映射g得的象;(2)直线,=二+1按(幻经过两次映射后的象,在何直线上?”有一本刊物给出的答案是:“(1)(1,4),(2)x+忍一=i。” 根据这个答案,不难推测其解答过程大致如下: fg(1)(一2,5),一(5,2)*卜(1,4) 声’了g (4),=万+l‘一x芍忿+‘1资x土,畏1 很显然,(1)的答案正攀,,(2)的答案不对,事实上,在直线万二「二七1上有点A(O,1)在映射f下的象A‘(1,O)并不在一x=百+1。乍看(1)和(2)的解法很类…     

错题探究——一个函数值的范围问题

) 令鲤叠已知函数f(劝=扩+bx+。,满足一3书f(1)‘2,1岌f(2)岌8,试 确定f(3)的范围. 解答:丫 一3感f(l)蛋2,1鉴f(2)妾8, 一3感1+b+e鉴2 1某4+Zb+e疾8, 即{ 一4蕊b+e蕊l, 一3共Zb+c共4. 又一4城b+c冬l‘二合一1蕊一b一c鉴4幸今一2成一Zb一Zc续& e感l +e疾4 等价于{ 一1簇一b一c感4, 一3‘Zb+c落4. 加性得一4蛋b疾8. 广“‘’汉等价于干 O十c巴二4 一2成一Zb一Zc燕8, 一3鉴Zb+c续4. 可加性得 一5共一e成12,即一12妾e续5. =9+3b+e续38. 上面的解答是否正确?若不正确,请指出错误的原因,并给出正确的 解答. 分析:上面的解答不正确.因为f(3)取…     

多项式函数值的一个组合恒等式

设多项式f(x)~aoxn+a:xn一’+……+a。一:x+‘,炳=b+(j一l)d,d笋。,j任N。那么n+z阶范得蒙行列式(以下总假定n)2): l bn+1 b盖+-lb3嘴1场嘴lbl日‘ 一一 Db全b呈b牙…b盆+1Dj D一(b厂bi)(b厂bZ)……(b厂b卜i)(bi+1一b:)(b:+:一bj)·,·…(饥+i一bJ) D(j一l)!(n+l一j)!d。 D_,一丁丁甲不“L节厂‘ n IU一从而1嘛嘛︸嵘粼1 11饥嘴 2,盆山bb 1工门‘11bbao .D=八Ua…试一laob全 lb晋一1aob呈 1b犷,aob呈依次给第i(i一1,2,……n)行元素乘以a。卜。,全部加到第n+1行的对应元素上去bn+1b若+:按第n十1行-一一展开一一艺(一1)·‘;+j .f(bj)·…