第42届IMO第2题的推广

第42届IMO第2题是：对所有正实数a,b,c,证明：a/√（a^2＋8bc）＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1.（1）这是一个形式优美的不等式,文[1]介绍了基于反证法的证明,文[2]给出了一种很简洁的直接证法,笔者读后深受启发,受文[2]启发,本文将不等式（1）进行推广,可得如下：     

一个不等式的推广与引申

文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a     

对两个不等式的再探讨

文[1]给出如下一个不等式: 设a,b,c 是三角形的边长,则 a2b b2c c2a ≥ (a b c)(ab bc ca) . 1 ① 3并由此导出另一个“精制”不等式: 设 x, y,z∈R ,则 x 3z y 3x z 3y≥     

对一道韩国数学竞赛题的探索分析

2009年韩国奥林匹克竞赛中有下列一道试题：已知a,b,c是正数,求证：a3/c（a2＋bc）＋b3/a（b2＋ac）＋c3/b（c2＋ ab）≥3/2.一、结构分析此不等式结构特征明显是分式轮换不等式,且取等时满足“a=b=c”,由于结构形式复杂,将其适当变形后得到：     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

两个不等式的简捷证明

题目1（第20届伊朗数学奥林匹克赛题）设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋abc=4,证明：a＋b＋c≤3.文[1]、文[2]和文[3]分别通过构迼三角形、云用三角不等式和利用柯西不待式给予了证明,阅后受益非浅,可惜篇幅都较长。本文给出它的一个筒捷证明。     

代数变换体系f(ra,rb,rc)=f(x,y,z) 导出∑bc/h2a≥4的不等式链

文[1]介绍了涉及三角形高线的不等式: r(5R-r)/R2≤h2a/bc+h2b/ca+h2c/ab≤(R+r)2/R2① 文[2]在①的基础上,建立的如下不等式: bc/h2a+ca/h2b+ab/h2c≥4 ② 文[3]建立了比②更强的如下不等式: bc/t2a+ca/t2b+ab/t2c≥4 ③     

巧用因式分解，妙解三角形问题

例1已知a、b、c是12xABC的三边长，且满足a^2＋b^2＋c^2=ab＋bc＋ac．求证：△ABC为等边三角形．[第一段]     

一个无理不等式猜想的证明

陕西安振平老师在文[1][2]两次提出了如下一个颇有难度的无理不等式猜想,即已知a,b,c为正实数,则（a2/（a2+26bc））^1/3+（b2/（b2+26ac））^1/3+（c2/（c2+26ab））^1/3≥1.（1）笔者经过一年多研究发现这个猜想不等式是成立的,现给出证明.证明:设x=（bc）/（a²）,y=（ac）/（b²）,z=（ab）/（c²）,则不等式（1）等价于下面命题,即x,y,z为正实数且xyz=1.则     

Klamkin不等式的改进

文献[1]给出了关于三角形三边的Klamkin不等式:ab bc ac≥31(a b c)(1a 1b 1c)(1)(1)的如下一个逆向形式:ab bc ac≤31(a b c)(b 1c-a c a1-b 1a b-c)(2)文献[2]把(2)式加强为:ab bc ac≤32(a b c)(1a 1b 1c)-3(3)本文首先指出(1)式和(3)式是等价的.理由如下:由轮换对称性(1)$b     

一个不等式的简洁证明

文 [1]在引言中谈到 :在江苏省吴县市召开的 1999年全国不等式研究学术会议上 ,中科院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件 Bottema给出以下不等式的一个“机器证明”:设 a,b,c都是正数 ,则ab c bc a ca b>2 .文 [1]中通过构造长方体给出了一个证明 ,但证明还是较繁 .事实上 ,利用二元均值不等式就可以给出一个简洁的证明 .证明　　∵ a· b c≤a b c2 ,∴ ab c=aa· b c≥ aa b c2=2 aa b c,同理可得bc a≥ 2 ba b c,　 ca b≥ 2 ca b c.注意到以上三式等号不同时成立 ,故ab c bc a ca b>2一个不等式的简…     

一道征解题的简证与推广

文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证　在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa …     

Gordon不等式的推广

1966年，Gordon提出了关于三角形的一个不等式： ba＋ca＋ab≥4√3△， 其中a，b，c是某三角形的边，△是其面积．因为 a^2＋b^2＋c^2≥bc＋ca＋ab． 所以它是Weitzenbock不等式 a^2＋b^2＋c^2≥4√3△ 的一个加强，式（3）也被用作第3届IMO试题． 本文给出了式（1）的一个加权推广．     

两个新的不等式

文 [1 ]证明了如下不等式 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 :a2 b b2 c c2 a<18.(《数学通报》2 0 0 0年第 5期问题 1 2 52 )受文 [1 ]的启发 ,可得下面的不等式 :命题 1　设 a,b,c为满足 a b c=1的正数 ,则 ab( a 1 ) bc( b 1 ) ca( c 1 )≤49.证明　由算术平均 -几何平均不等式和恒等式 x3 y3 z3- 3xyz=12 ( x y z)[( x- y) 2 ( y- z) 2 ( z- x) 2 ],得a2 b b2 c c2 a≤ 12 7[( 2 a b) 3 ( 2 b c) 3 ( 2 c a) 3]=12 7{32 ( a b c) [( 2 a- b- c) 2 ( 2 b-c- a) 2 ( 2 c- a- b) 2 ] 3( 2 …     

一个优美不等式的又一简证及探究

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1） 文[1][2][3]给出了不同的证明方法,笔者对这个优美的不等式再给出一个简单的初等证明,并对不等式（1）做一些探究．     

两个不等式猜想的解决--兼擂题(58)解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以　 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。…     

一类分式不等式的证明不同解题策略的比较

对一类轮换对称分式不等式的证明,本刊曾先后发表文[1]、文[2]、文[3]和文[4].其中文[1]用a^2＋b^2≥2ab的变式（a^2）/b）≥2a-b（b〉0）（以下简称变式（1））;文[2]用a^2-ab＋（b^2）/4≥0的变式（a^2）/b≥a-b/4（b〉0）（以下简称变式（2））;文[3]和文[4]利用不等式等号成立的条件,配凑后使用均值不等式来证明.     

一道竞赛题的证明与思维拓展

第20届伊朗数学奥林匹克竞赛中有这样一道代数不等式题目： 问题1 设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3. 文[1]是通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明的．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上,回答是肯定的．     

一道加拿大奥赛题的简证

08年第40届加拿大数学奥林匹克有这样一道试题： 已知a＋b＋c=1,a,b,c∈R^＋． 求证：（a-bc）/（a＋bc）＋（b-ac）/（b＋ac）＋（c-ab）/（c＋ab）≤3/2．