不等式错解分析

一、要注意不等式成立的条件例1已知x,y缀R+,且1x+4y=1,求x+y的最小值.错解∵x,y∈R+,∴0<1x·4y≤眼12穴1x+4y雪演2=14,即xy≥16.∴x+y≥2xy姨≥216姨=8,∴x+y的最小值是8.分析上面解法中,连续进行了两次不等式变形:x+y≥2xy姨与2xy姨≥216姨,且这两个不等式中的等号不能同时成立.因为第一个不等式当且仅当x=y时等号成立,第二个不等式当且仅当1x=4y时等号成立,即只有x=2且y=8时等号成立.因此,x+y不可能等于8.正解∵1x+4y=1,∴x+y=(x+y)·穴1x+4y雪=yx+4xy+5≥2×yx·4xy姨+5=9.上式当且仅当yx=4xy,即y=2x时等号成立.将1x+4y=1与y=2x联立,…     

如何用重要不等式求最值

高中《数学》第二册（上）第9页例1给出了用不等式x＋y≥2√xy（x〉0，y〉0）求最值的一般方法：当xy为常数P时，x＋y有最小值2√p；当x＋y为常数S时，xy有最大值s^2/4.     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

＂变式＂与赛题

已知x,y都是正数,则在不等式x＋y≥2√xy两边同乘以√xy,得（x＋y）√xy≥2xy,对此式两边再同除以2（x＋y）,即得到一个不等式xy/x＋y≤√xy/2,     

两类最值问题的探究

在学习了均值不等式(x+y/2)≥xy~(1/2),x>0,y>0之后,我们有下面的结论:(1)若x>0,y>0,xy=p(p为大于0的常数),则x+y有最小值2 p,当且仅当x=y=p时取得.(2)若x>0,y>0,x+y=s(s为大于0的常数),则xy有最大值14s2,当且仅当x=y=12s时取得.这两个结论依均值不等式,易于证明.下面我们进一步讨论如下两个问题:问题1若x>0,y>0,xy=p(p为大于0的常数)问xk+yl(k>0,l>0)有最小值吗?问题2若x>0,y>0,x+y=s(s为大于0的常数)问xkyl(k>0,l>0)有最大值吗?我们有如下结论:结论1若x>0,y>0,xy=p(p为大于0的常数),xk+yl(k>0,l>0)有最小值,即(xk+yl)min=(k+l)kpkklllk+11,当且仅当x=lkk1+lpkl+l取到最小值.结论2若x>0,y>0,x+y=s(s为大于0的常数),xkyl(k>0,l>0)有最大值,即(xkyl)max=sk+lkkll(k+l)k+l,当且仅当x=kk+sl取到最大值.下面我们以导数为工具证明这两个结论.引理[1](极值的第一充分条件)设f...     

高考复习中典型问题问与答(一)

1.问:若x>0,y>0,且1x 9y=1,则x y的最小值是A.8B.12C.16D.20解:∵1=1x 9y≥2x9y",∴xy≥36。又x y≥2"x y≥2"36=12,∴x y的最小值是12。上述解法对吗?(湖南省祁东县育贤中学王同学)高sir:上述解法在第一次运用均值不等式时取等号的条件是“1x=9y”,第二次运用均值不等式时取等     

活用均值不等式巧解数学题

平均值不等式是高中数学的重要内容 ,熟练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用 ,可以巧妙地解决许多数学题 .1　证明不等式这是最为大家常见问题 ,问题解决的关键是怎样根据题目提供的隐含条件去构造二元或三元均值不等式 .例 1　已知 x,y,z∈ R+且满足 xyz(x +y + z) =1 ,求证 :(x + y) (y + z)≥ 2 .证明 :(x + y) (y + z) =xy + xz + y2 + yz =y(x + y + z) + xz =y . 1xyz+ xz =1xz+ xz≥ 2 1xz. xz =2 .证毕 .此题从“2”这个数字 ,提示我们构造二元均值不等式 .2　求最值高中数学很多地方涉及求最值 ,利用均值不等式中等号成立的条…     

一个不等式的下界估计

文 [1]提出了如下猜想 :设 x,y,z∈R ,则xx y yy z zz x≤ 322 .1文 [2 ]中运用均值不等式和导数知识证明了 1式 .笔者将给出 1的左式的下界估计 :设 x,y,z∈R ,则xx y yy z zz x>1. 2证明　记 M=max{ x y,y z,z x} ,则有xx y yy z zz x>xM yM zM=(x y z ) 2M=(x y z) 2 (xy yz zx)M>x y zM >1.另证　 xx y yy z zz x>xx y z yx y z zx y z=(x y z ) 2x y z=1 2 xy 2 yz 2 zxx y z >1.当 x→ 0 ,y→ 0时 ,2的左式→ 1.这说明常数 1是不等式 2的最佳下界一个不等式的下界估计@安振平$陕西省永寿县中学!7134001　刘保乾.试谈发现三…     

用基本不等式求最值时正数的变形策略

由基本不等式x＋y≥2√xy（x,y∈R^＋）可得到如下最值定理： （1）设x,y∈R^＋,若x＋y=s（定值）,则当x=y时,xy有最大值s^2/4（即和定积最大）     

哥西不等式推广及应用

设ai和bi(i=1,2,…,n)都是实数,则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)(1)当且仅当ai=kbi(i=1,2,…n)时成立等号,这就是通常所说的哥西不等式.由该不等式很容易得到一个推,实际上,在不等式(1)中,令ai=xiyi,bi=yi(i=1,2…n)得:x12y1 xy222 … yx2nn(y1 y2 … yn)≥(x1 x2 … xn)2xy121 yx222 … yx2nn≥(x1 x2 … xn)2y1 y2 … yn(2)我们把不等式(2)称为哥西不等式推广即:设xi∈R,yj∈R (i=1,2,…,n),则yx121 yx222 … yx2nn≥(xy11 xy22 …… xynn)2,当且仅当xy11=yx22=…=yxnn时成立等号.哥西不等式推广在处理…     

问疑答难

问题 1.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2]及y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围. 解:由于x∈[1,2],y∈[2,3],不等式xy≤ax2+2y2两边同除以xy,可得1≤ax/y+2y/x.分离参数a,可得a≥y/x-2·(y/x),即a≥y/x-2·(y/x).在x∈[2,3]时恒成立.     

联想 创新 求变——由一道习题想到的

问题:如何证明周长相同的正方形和长方形中正方形的面积较大。分析:此题结论是比较正方形和长方形的面积,这两种图形的面积都与边长有关,此题的条件是周长相同,若设长方形的长为x,宽为y,则由条件可得正方形的边长为x+y2,下面需要证明的是(x2+y)2≥xy,而此结论只要用完全平方公式和非负数的性质就可迎刃而解了。证明:设长方形的长为x,宽为y,则由条件可得正方形的边长为x+y2∵(x-y)2=x2+y2-2xy≥0,∴x2+y2≥2xy,x2+y2+2xy≥4xy,即(x+y)2≥4xy,∴(x+y2)2≥xy(以上各不等式当且仅当x=y时等号才成立)此题得证。证完此题后我陷入了深思,世界上的万…     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

从均值不等式等号成立的条件寻找解题突破口

1．均值不等式 均值不等式a＋b≥2√ab（a、b〉0）指出：若两正数和为定值，那么当且仅当两正数相等时，乘积取最大值．换言之，若两正数和为定值，当两正数之差为零时，它们的乘积最大．由此得到，若把一个正整数拆分成两个正整数之和，那么这两个整数之差越小（大的减小的），它们的乘积越大．如x、y是非负整数，z＋y=c，x—y=d（x≥y）,xy=c＋d/2·c-d/2=1/4（c^2-d^2）.     

求参数的取值范围

已知不等式xy≤ax~2+2y~2对于x∈[1,2]、y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围.解:由于x>0,y>0,故不等式两边同除以xy,可得1≤(ax)/y+(2y)/x.     

基本不等式的别证及其它

基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S²/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P.     

精心联想 巧证不等式

联想是以观察为基础,对研究的对象或问题,联想已有的知识和经验进行形象思维的方法.通过联想,构造相应的条件,从而解决问题.【例】　设x、y∈R+,且x+y=1,求证:(x+2)2+(y+2)2≥252.联想一:巧用“a2+b2≥2ab”法1:直接法由x+y=1,得(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4x+4y+8=(x+y)2+4(x+y)+8-2xy=13-2xy又∵x、y∈R+,由均值不等式,∴x+y≥2xy,即xy≤14,则-2xy≥-12.故(x+2)2+(y+2)2=13-2xy≥13-12=252.证毕.法2:间接法令a=x+2,b=y+2,则a+b=(x+2)+(y+2)=x+y+4=5(定值)∵a2+b2≥2ab,两边同时加上a2+b2得a2+b2≥(a+b)22即(x+2)2+(y+2)2≥[(x+2)+(y+2)]22=252.…     

巧用均值不等式,妙解数学高考题

均值不等式是高中数学不等式的重要分支,是历年高考的命题热点和重点考查内容之一,题型以选择题、填空题为主,有时候也会出现解答题,新课标高考加大了考查数学思想和方法的力度,使问题的求解有了一定的灵活度和难度,并且经常会推陈出新,给考生留下深刻印象。为此,本文就均值不等式搭桥,妙解数学高考题例谈如下,以飨读者。一、直接套用,简化过程例1（2010年浙江文）若正实数x,y满足2x＋y＋6=xy,则xy的最小值是____。     

利用x+y≥2√xy证明一类分式不等式

若x,y∈R+,则 x+y≥2√xy(*),这是众所周知的基本不等式.本文利用不等式(*)给出一类难度较大的分式不等式的简洁证明,相信能够引起同学们的浓厚兴趣.     

一个最值定理结论的加强及应用

现行高二 (上 )《数学》课本 (试验修订本必修 ) (人教版 ,2 0 0 0年第 2版 )第 1 0页例 1给出 :定理 1　已知x ,y都是正数 ,1 )如果积xy是定值P ,那么当且仅当x =y时 ,和x y有最小值 2p ;2 )如果和x y是定值S ,那么当且仅当x =y时 ,积xy有最大值 14 S2 .实际上 ,可把此最值定理推广为以下适用结论 .定理 2　设x ,y>01 )若xy =定值P ,则当且仅当 |x -y|取最小值时 ,x y取最小值 ;|x-y|取最大值时 ,x y最大值 ;2 )若x y=定值S ,则当且仅当 |x -y|取最小值时 ,xy取最大值 ;|x-y|取最大值时 ,xy取最小值 .证明 :1 )由x y =|x -y| 2 4…