(√a)2与√a2的异同

1.字母a的取值范围不同 (√a)2=a中a≥0,即a是非负数.而√a2=| a|中a可取一切实数.例如:等式(√x-y)2=x-y成立的前提条件是x-y≥0,即x≥y.而等式√(x-y)2=| x-y |,不论x-y＞0,x-y=0或x-y＜0都成立,并且根据绝对值的定义有:√(x-y)2=| x-y |={ x-y(x＞y) 0 (x=y) y-x (x＜y)     

陈题新做 举一反三

常见这样的问题:已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证x-y=y-z.文[1]中介绍了该题的多种解法,读后颇受启发.本短文即在于介绍这一问题的最简便证法以及由此引发的一系列的思考.其实,证明x-y=y-z是很容易的:∵(z-x)2=[(x-y) (y-z)]2≥4(x-y)(y-z),当且仅当x-y=y-z时取“=”号,∴(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0x-y=y-z.作为解题回顾,有以下三点说明(1)纵观证明过程,显然“若x-y=y-z,则(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0.”即逆命题是真命题.(2)受变形z-x=-(x-y y-z)的启发,考察[2]、[3]中提到的同一例题:“已知a>c,b>c,c>0,求证(a-c)c (b-c)c≤ab.”便有下面的优良解法:ab…     

巧用绝对值概念及性质解题

含有绝对值的问题是初一数学《有理数》这一章中较难的问题,同学们在学习中灵活地运用绝对值的概念、性质来解题,能起到事半功倍的作用,现举例如下:一、巧用概念例1若|x-y|=x-y,计算|y-x|.分析:把x-y看成一个整体,由绝对值概念知x-y是正数或零,而y-x与x-y互为相反数,故可得|y-x|=x-y.解:∵|x-y|=x-y,∴x-y≥0又∵y-x=-(x-y)≤0,∴|y-x|=-(y-x)=x-y.例2计算:|xx|-|xx|.解:由题目的隐含条件知x≠0,故当x>0时,|x|=x,∴|xx|-|xx|=xx-xx=0,当x<0时,|x|=-x,∴|xx|-|xx|=-xx--xx=0综上所述,∴|xx|-|xx|=0.二、巧用数轴例3求绝对值不大于3的整数。解…     

对策六招代数式求值方法

正在近年来的中考和竞赛中,求代数式的值仍不时现身,现将代数式求值的一些技巧和方法,做如下表述,供学习和教学参考.一、巧用和为零或积为零的性质例1(2013年湖南永州)已知(x-y+3)2+2槡x+y=0,则x+y的值为A.0 B.-1 C.1 D.5解析因为2x+y≥0,(x-y+3)2≥0,而(x-y+3)2+2槡x+y=0,所以x-y+3=0,2x+y=0,解得x=-1,y=2,所以x+y=1.选C.评注此类试题根据"若干个非负数的和为零,则每一个非负数均为零"的性质,求出已知式中各字母的值,再求代数     

巧用与x~2/y~2≥2x-y证明不等式

定理若x∈R,y∈R ,则x2/y≥2x-y,当且仅当x=y时等号成立. 证构造等式x2/y=2x-y (x-y)2/y,立得x2/y≥2x-y, 当且仅当x=y时等号成立. 其实,x2/y≥2x-y是(x-y)2≥0的一个变形.关于x2/y≥2x—y的应用,多数期刊大半停留在几个我们熟悉的不等式上,能否进一步深挖定理的证题潜能呢?谨作     

例说和差代换求值

对于任意两个实数x和y,总有:x=x+y2+x-y2,y=x+y2-x-y2.若令a=x+y2,b=x-y2.则有x=a+b,y=a-b.这种代换称之为和差代换.下面谈谈这种代换在求值中的应用.一、求分式值例1已知a2+b2=6ab且a>b>0,则a+ba-b=.(2001年北京市初二数学竞赛复赛题)解设a=x+y,b=x-y,同时代入a2+b2=6ab中,得(x+y)2+(x-y)2=6(x+y)(x-y),化简整理,得x2=2y2,而a>b>0,所以x>y>0,故x2y2=2,xy=2.又知a+b=2x,a-b=2y,∴a+ba-b=2x2y=xy=2.二、求根式值例2计算14+65-14-65的值是()(A)1(B)5(C)25(D)5(2000年全国数学联赛题)解设14+65=a+b,①14-65=a-b.②①×②,得a2-b2=4.③①2+②2…     

排列组合题解法举例

一、在应用公式Pmn =n !(n-m) !或Cmn =n !m !(n -m) !时 ,必须使n、m满足关系式n m >0 .【例 1】　已知13 Cyx+2 =15Cy+2x+2 ,求x和y的值 .分析 :已知条件实质是一个方程组 ,反映的是组合数的问题 ,因此x、y必须满足x +2 y+2且y >0的整数 .由组合数公式将原方程组化为 :13 · (x+2 ) !y !(x -2 -y) !　 =15· (x+2 ) !(y+1 ) !(x-y +1 ) !　 =15· (x +2 ) !(y+2 ) !(x -y) !∵ (x-y+2 ) !=(x -y+2 ) (x-y+1 ) !(y +1 ) !=(y+1 ) ·y !(x-y +1 ) !=(x-y+1 )· (x-y) !(y+2 ) !=(y +2 ) · (y+1 ) !∴等式可变形为5(y+1 ) =3 (x-y+2 )x-…     

行列式的一些应用

(一) 利用行列式证明条件等式当条件等式的条件或结论形如AB=CD(或A/C=D/B)时,可以考虑用二阶行列式证之。此外,有些条件等式可用三阶行列式证之。例1 若(z-x)~2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列。(79年理工农医类高考题) 证明由(2-x)~2-4(x-y)(y-z)=0有∴ z x-2y=0,z x=2y 所以x,y,z成等差数列。     

思考问题的角度不同，产生不同的解题方法

问题 已知集合A={x，y}|x^2 mx-y 2=0|，B={x，y}|x-y 1=0|，且0≤x≤2，如果A∩B≠Ф，求实数m的取值范围？     

错在哪里

<正>问题(2013年第9期问题征解147)设正数x、y满足x³+y3+y³=x-y,求使x3=x-y,求使x²+λy2+λy²≤1恒成立的实数λ的最大值.错解因为正数x、y满足x2≤1恒成立的实数λ的最大值.错解因为正数x、y满足x³+y3+y³=x-y,所以x-x3=x-y,所以x-x³=y+y3=y+y³=y (1+y3=y (1+y²)≥2y2)≥2y².即得y2.即得y²x-x2x-x³≤,且x-x3≤,且x-x³>0,结合x>20,得00,结合x>20,得02+λy2+λy²≤1恒成立,分离     

直线和圆的方程典例解析

例1已知三条直线l_1:2x-y a=0(a>0),l_2:4x-2y-1=0和l_3:x y-1=0,且l_1与l_2的距离是7/(10)5~(1/2) (1)求a的值;     

联想与解题

在解答数学问题时,若能从已知条件或结论所给定的图形、数或式中联想到与它相似的、有因果关系的图形、数、式或结论,就能使问题得到快速解决.举例说明如下.例1(2011年天津中考题)若实数x、y、z满足(x-z)~2-4(x-y)(y-z)=0,则下列式子一定成立的是().A.x+y+z=0B.x+y-2z=0C.y+z-2x=0D.x+z-2y=0分析:由式子(x-z)~2-4(x-y)(y-z)=0,容易联想到与它相似的一个表达式b~2-4ac=0,于是考虑构造一元二次方程来解决问题.     

一道“希望杯”试题的错解·正解·妙解

题目 记 F（x,y）=（x-y）2＋（x/2＋2/y）2（y≠0）,     

一道课本直线方程习题的解题策略

<正>习题 经过点A(1,0)的直线l被直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰好被点A平分,求直线l的方程.这是北师大版高中数学选择性必修第一册第26页习题1-1B组第6题.本题相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程.以下几种解题策略,对于二次曲线的“中点弦”问题同样适用.一、待定斜率法解法1 易知直线x=1与直线2x-y=0和x+y+2=0的交点分别为B(1,2)和C(1,-3),     

一九七九年全国高等学校统一招生考试试题解答 数学（理工农医类）

1.若(z-x)~2-4(x-y)(y-z)=0, 求证:x,y,z成等差数列。 [证一] (z-x)~2-4(x-y)(y-z) =z~2-2zx+x~2+4zx-4xy-4yz+4y~2 =(x+z)~2-2·2y(z+x)+4y =(z+x-2y)~2 =0,     

关于倾斜角为α=kπ/4的直线对称的曲线方程

倾斜角为a=(kπ)/4的直线有四条l_1:x=a,l_2:y=b,l_3:x y-b=0,l_4:x-y b=0. 设(x_0,y_0)关于直线Ax By C=0的对称点为(x′,y′).应用对称点坐标公式可分别求得关于l_1-l_4的对称点坐标:     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

圆中几类常见问题探析

正"圆"是苏教版必修二中重要的一块内容,是几何与代数的交汇点,也是高考的热点之一.以下主要研究其常见的几类问题.一、求圆的标准方程例1已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为.(2010天津文数)解析:本题主要考查圆的方程的求法,属于容易题.令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为(-1,0).因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r=-1+0+3姨2=姨2,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.     

因式分解十八法

[方法一]提取公因式法 例1 分解因式:5(x-y)~3—45(y-x)~2-20(y-x) 解:原式=5(x-y)~3-45(x-y)~2+20(x-y) =5(x-y)[(x-y)~2-9(x-y)+20] =5(x-y)(x-y-4)(x-y-5) [方法二]公式分解法 例2 分解因式:(a-b)~3+(b-c)~3+(c-d)~3 解:原式=(a-b)~3+(b-c)~3+[(c-b)+(b-a)]~3 =(a-b)~3+(b-c)~3-[(b-c)+(d-b)]~3 =(a-b)~3+(b-c)~3-(b-c)~3-3(b-c)~2(a-b)-3(b-c)(a-b)~2-(a-b)~3 =-3(b-c)~2(a-b)-3(b-c)(a-b)~2 =-3(a-b)(b-c)[(b-c)+(a-b)] =-3(a-b)(b-c)(c-a) =3(a-b)(b-c)(c-a)。     

代数式的变形在解题中的应用

代数式的变形是中学数学中一类常用的解题技巧,其方法灵活多变,我们在化简、求值、证明恒等式(不等式)和解方程(不等式)的过程中,常需将代数式变形,现结合实例,对代数式变形中一些常用方法和技巧作一介绍。一、变化已知条件或所求式例1 若1/x-1/y=3,则2x+3xy-2y/x-2y-y=___。解:由若1/x-1/y=3可知x-y=3xy,所以 2x+3xy-2y/x-2y-y =2(x-y)+3xy/(x-y)-2xy =2(-3xy)+3xy/-3xy-2xy=3/5。例2 如果a是x~2-3x+1=0的根,试