轨迹方程的求法

已知曲线求方程,是解析几何两大基本问题之一,是教学重点试题;如下图所示,过圆x~2 y~2=25(1)内的定点P(2.4)任意作弦AB,求AB中点M的轨迹方程。 解法一 当AB不垂直于x轴时,可设直线AB的斜率为k,则其方程为y=k(x-2) 4代入(1),整理,得     

奇妙的圆锥曲线——一道轨迹问题的探究

<正>从两个对立的圆锥上通过不同的截面截取之后,我们分别得到了三种圆锥曲线,这不能不让人联想到三种曲线存在着关系,果然在一道题目中我就发现了这种联系。例1已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2,求点M的轨迹方程。这道题母的解答如下:解:设直线AM.,BM的斜率分别为k AM和K BM     

“一题多解”在培养学生数学思维中的应用

<正>提高学生的数学学习能力之一就是逻辑思维能力。下面我就一道例题的一题多解来阐述笔者的体会。例:已知直线l:y=-3~(1/2)/6x+2,椭圆E:x~2/3+y~2/2=1,问椭圆上是否存在一点P,到直线l的距离最小?若存在,求出最小距离,并求出点P的坐标。1直接法设点p(x_0,y_0)为椭圆上一点,则点P到直线l的距离为     

圆锥曲线中的切点弦方程

<正>过平面上一点如果可以作出某圆锥曲线的两条切线,连接两个切点即为此圆锥曲线的切点弦(若为双曲线,需对其同一支作两条切线)。设点P(x0,y0),过点P作出的切线分别为PA、PB,设切点A(x1,y1)、B(x2,y2),则如何求出切点弦AB所在的直线的方程呢?下面作一简单的归纳和总结。     

点到直线的距离公式的两种新证法

本文主要介绍两种在不引进直线的法线式的情况下,证明由已知点p(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离公式d |Ax0+By0+C|/√A2+B2.     

浅析由曲线方程的解析式确定积分区间

对于某些封闭曲线所围成的面积,可直接用曲线方程的解析式ρ=ρ(θ)或F(x,y)=0与ρ=ρ(θ)相结合的形式确定积分区间。主要方法有:1.根据曲线的对称性简化积分区间;2.根据函数的周期性确定积分区间;3.根据曲线的渐进线确定封闭积分区间。     

导数在函数问题中的应用

导数内容的增加,为研究有关函数的问题开辟了一条新途径。利用导数求函数的单调区间,极大(小)值,利用函数解决一些实际应用题等成为高考命题的一个新热点。本文从以下几个方面来举例说明导数在函数问题中的应用。一、求函数的解析式例1设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式。解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴的交点为P,∴P的坐标为(0,d),又曲线在P处的切线方程为y=12x-4,P点坐标适合方程,从而d=-4,又切线斜率k=12,故在x=0处的导数y'｜x=0=12,而y'=3ax…     

浅谈椭圆的定义在解题中的应用

深刻理解和把握椭圆的两个定义是研究椭圆的几何性质,解决与椭圆有关的问题的基础.一、定义1.平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点。注意:①此定义突出了椭圆上任一点到两焦点距离之和为常数。②该常数必须大于|F1F2|,若等于|F1F2|则轨迹为线段F1F2,若小于|F1F2|则这样的点不存在,即无轨迹。     

浅议解析几何中的参数范围问题

解析几何中的参数范围问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目,因而也是解几中的一个难点问题。这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等,将问题转化为求函数的值域或最值等来解决。一、运用数形结合探求参数范围例1:m为何值时,直线=+与半椭圆220+25=1(y≥1)只有一个公共点?分析:因为椭圆220+25=1(y≥1)为半条曲线,若利用方程观点研究这类问题则需转化成根的分布问题,较麻烦且易出错,若用数形结合的思想来研究直观易解。如图1,1、2、3是直线系y=-x+m中的三条直线,这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线…     

毕达哥拉斯三角形的探讨

毕达哥拉斯定理又称勾股定理或商高定理,该定理称若x和y为一直角三角的两直角,z为其斜边,则x2 y2=z2三条边长均为正整数的直角三角形我们称为毕达哥拉斯三角形,对毕达哥拉斯三角形(以下简称三角形)的探讨就等同于求方程x2 y2=z2(A)的所有正整数解,下面我们就分步讨论:一、三角形的基本解首先,我们不妨假设x与y互,如若它们不互素,即(x,y)=d,则因x2 y2=z2得d z,故有并且我们还知道=1,这就说明,欲求方程(A)的任意解,只要先找出使它左端两项互素的一组解,然后再乘上一个适当的因子即可,于是,只要求出x2 y2=z2的满足(x.y)=的所有解,就能求出x2 y…     

柯西不等式的一个简单证明及应用

柯西不等式设　ai>0 ,bi>0 ,　i=1 ,2 ,… ,n。( ∑ni =1a2i) ( ∑ni =1b2i) ( ∑ni =1aibi) 21　证明设　A=∑ni =1a2i,　B=∑ni =1b2i,　C=∑ni =1aibi则　ABC 1 =∑ni =1a2i BC2 ∑ni =1b2i B　 =∑ni =1( a2i BC2 b2i B) ∑ni =12 aibi C=2所以　 ABC 1 2 ,即 AB C2。2　应用利用柯西不等式推导空间一点 p( x0 ,y0 ,z0 )到直线 L:　 Ax By Cz D=0的距离公式d=| Ax0 By0 Cz0 D|A2 B2 C2设 p1( x1,y1,z1)是直线 L:　 Ax By Cz D= 0上任一点则有Ax1 By1 Cz1 D=0则 | pp1| =( x0 - x1) 2 ( y…     

仿射平面与高次曲线方程的渐近线

以无穷远元素和齐次坐标为工具，给出高次曲线方程F（x，y）=0渐近线的结论及求法。     

用牛顿切线法求方程的近似解

在实际应用中,三次以上的方程的解很难用常规方法求出,而工作学习时又常常需要求这样的方程f（x）=0的解,如求函数f的极值,先要求方程f＇（x0）=0的解,即稳定点。     

数学竞赛中最值问题的构造法

最值问题在各级各类数学竞赛中经常出现 ,有些最值问题用常规方法处理有一定的难度 ,而采用构造法 s既巧妙、又简捷 ,能启发人的思维。本文通过实例浅谈一下具体应用。1　构造方程例 1 ,设两个实数 XY的平方和为 7,立方和为1 0 ,求 x+y的最大值。 (1 983年美国数学竞赛题 )解 :依题意 :x2 +y2 =7x3+y3=1 0令 :x+y=s,xy=t,即可构造如下方程s3- 2 1 s+2 0 =0　即 (s- 1 ) (s- 4) (s+5) =0因此　maxs=max(x+y) =4。2　构造图形例 2 ,求函数 f(x) =x4 - 5x2 +4x+1 3+x4 - 9x2 - 6x+34的最小值。解 :先将 f(x)变形为 :f(x) =(x- 2 ) 2 +(x2 - 3)…     

可微分的n元函数极值点判定

众所周知 :可微分函数 z=f( x,y)在 ( x0 ,y0 )处取得极值 ,则 ( x0 ,y0 )必是驻点 ,但驻点是否是极值点需用以下定理判定 :定理 :设函数 z=f( x,y)在点 P( x0 ,y0 )的某一邻域内具有一阶和二阶连续偏导数。又设 f′x( x0 ,y0 ) =0 ,f′y( x0 ,y0 ) =0 ,a11=f″xx( x0 ,y0 ) ,a12 =f″xy( x0 ,y0 ) ,a2 2 =f″yy( x0 ,y0 )。D=a11a2 2 - a12 2 ,则 :( i)若 D>0 ,则当 a11<0 (或 a2 2 <0时 ,函数 f( x、y)在点 P取得极大值 ,而当 a11>0 (或 a2 2 >0 )时 ,函数 f( x、y)在点 P取得极小值。( ii)若 D<0 ,则点 P不是 f( x,y)的极值点。( iii)…     

巧用定义解题

巧用定义解题实际上是把我们要解决的数学问题巧妙的和课本上的定义结起来 ,通过运用定义来建立数学模型 ,从而达到解决问题的目的。例 1　求以原点为一焦点 ,且过点 A( - 5 ,1 2 ) ,B( 9,1 2 )的椭圆的另一个焦点 F的轨迹。解 :∵ | OA| | FA| =| OB| | FB|∴ | FA| - | F     

点到直线的距离公式的两种新证法

本文主要介绍两种在不引进直线的法线式的情况下。证明由已知点P（x0，Y0）到直线L：Ax＋By＋C=0的距离公式d｜Ax0＋by0＋C｜/√（A^2＋B^2）。     

“求两异面直线间距离”的另解——体积桥法

“求两条异面直线间的距离”方法很多,一般有：1、作出异面直线公垂线段,并求其长度;2、将线线距离转化为线面距离;3、利用线面距离转化为锥体的高用体积公式求出;4、构造函数法,利用距离最短。原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解,先看下面的例子。     

考察极端元素寻求最简算法

1　试题解法引出一个问题在今年我市的直属中学初中毕业统一考试中 ,有一道数学试题 ,难住了 1/3强的学生。这一现象引起了我们毕业班许多数学教师的注意。这道试题是这样的 :在平面直角坐标系中 ,有两点 A( 2 ,8) ,( 4,4) ,已知直线y=kx与线段 AB相交 ,求 k的取值范围。这一试题有不止一种的解法 ,但以下面的解法最简捷。解 :若直线 y=kx经过点 A( 2 ,8)则　 8=2 K　从而 k=4则　 4=4K　从而 k=1注意到线段 AB上的点是连续的 ,∴ k取以 1至 4的全体实数即　 1≤ k≤ 4这种解法的特点是考虑了问题的两种极端情况 ,从而获解。2　例析在解…     

利用数形结合方法求函数的最值

数形结合是数学思想中最为重要的内容 ,贯穿于高中数学的始终。利用数形结合方法求函数最值 ,可开阔学生的思路 ,化难为易 ,提高学生的解题能力。例 1　求 y=x2 4 x2 - 4x 1 3的最小值。解 :y=x2 2 2 ( x- 2 ) 2 2 2上式可看做动点 P( x,o)点到交点 A( o,2 ) ,B( 2