二次曲线的主轴、焦点和准线研讨

在探讨射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线时,用射影几何的概念法可以分别得到抛物线、椭圆与双曲线的主轴、焦点和准线.由研讨得知在射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线与解析几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线是一致的.     

二次曲线定垂轴弦的一个性质

我们把垂直于二次曲线对称轴的弦称为它的垂轴弦.二次曲线的垂轴弦有许多性质,以下分椭圆或双曲线、圆、抛物线几种情形给出它们的垂轴弦的一个性质.     

二次曲线垂直于对称轴的弦的一组性质

如果曲线L的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线L的垂轴弦．文【1】给出了二次曲线垂轴弦的若干性质，经笔者进一步探究，发现二次曲线垂轴弦的又一组性质，这一组性质深刻地展示了二次曲线的又一几何属性．     

从一道高考题的结论的推广谈起——例谈椭圆、双曲线的几个对偶性质

2001年广东省的一道高考题: 已知椭圆22/21xy =的右准线l与x轴相交于A、B两点,点C在右准线上,且//BC x轴,求证直线AC经过线段EF的中点. 此题的证明并不难,其结论极易推广至一般二次曲线(双曲线、抛物线). 命题1 设F、l分别为二次曲线的焦点及相应准线,l与二次曲线的一条对称轴'l相交于点,E过F作直线与二次曲线相交于A、B两点,点C在l上,且//'BCl,则AC经过线段EF的中点. 证明 不失一般性, 设二次曲线为椭圆,焦点 在x轴上(如图),离心率 为e,记直线AC与x轴 交点为N,过A作ADl^, D为垂足,因//BCx轴,故BCl^,故有: ||||||||AFBFeADB…     

一元二次方程实根分布的探讨

一、一元二次方程实根分布情况利用二次曲线的开口方向、对称轴和顶点的位置,判断二次曲线与X轴交点的位置可以揭示二次方程实根的分布情况。     

用中心坐标对中心二次曲线的讨论

抛开计算量较大的不变量,利用中心二次曲线的中心坐标及特征根确定了中心二次曲线的主直径及标准方程.确立了“中心”关于中心二次曲线的重要地位.同时得出非常便捷的作图法.     

二次曲线一组性质的统一证法及推广

文[1]用解析方法,给出有心二次曲线的一组性质.今利用二次曲线来理论,统一给出这些性质,并作以推广.性质1对于中心为M(x0,y0)的有心二次曲线Г:(x?x0)2/a2±(y?y0)2/b2=1,过坐标原点O(0,0)作Г的两弦AD、BC,若直线对AB、CD交于x轴分别于两点N1(n1,0)、N2(n2,0),则12001111n n=x     

二次曲线主轴方程的解析法建模研讨

根据既是共轭又互相垂直的直径对有心二次曲线(双曲线椭圆)进行建模研究,建立了有心二次曲线和类似建立了无心二次曲线(抛物线)主轴方程的模型,推证得知,任意无穷远点关于二次曲线的极线都是直径。而且它们都通过中心,有心二次曲线有一对主轴,无心二次曲线仅一个主轴。     

二次曲线的一种化简方法

二次曲线的化简通常采用两种方法.一种是利用转轴和移轴对方程化简,此法的缺点是计算量较大.另一种是利用不变量对方程化简,此法的缺点是不能给出坐标变换公式.本文试图改进常用的转轴和移轴方法结合运用不变量,用方程的系数直接对各种类型二次曲线进行化简且给出坐标变换公式.     

参数法化简二次曲线方程

在常见的二次曲线方程化简方法中,利用不变量化简,无法画出其图形;利用主直径法化简,所需掌握的高等数学知识较多.这里介绍的参数法化简二次曲线方程,只需利用初等数学知识,易于理解掌握.中心二次曲线方程的化简,实质上就是将二次曲线两条互相垂直的对称轴作为新坐标系的两坐标轴,从而得到标准方程;非中心二次曲线化简,是将它的一条对称轴及与它垂直的另一直线作为新坐标系的坐标轴而达到化简目的.参数法化简二次曲线方程正是根据这一性质,将坐标变换和主直径法有机地结合起来,用初等数学形式表示出来,达到化简二次曲线方程的目的.     

二次曲线中点弦方程

二次曲线上任意两点连线叫做弦,以P(x_0,y_0)为中点的弦称为二次曲线关于P的中点弦.我们知道,若P不为有心二次曲线的中心,则P的中点弦是唯一的. 定理设P(x_0,y_0)为二次曲线Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0内部一点(异于中心),则P的中点弦所在的直线方程为     

关于二次曲线一般理论教学的思考

二次曲线一般理论是解析几何的一个重要内容,在教学过程中,由于课时的原因,往往需要压缩该部分的教学内容。文章讨论了在教学过程中如何压缩二次曲线一般理论的教学内容。在课时不足的情况下,我们提出了删除二次曲线切线及主直径内容的构想,并且,为了保证内容的连贯性和系统性,给出了如何利用移轴、转轴和配方的方法对教材中的简化方程定理进行证明。     

二次曲线性质的若干注记

给出了二次曲线的主方向所适合的一个新方程及其应用;探讨求二次曲线族的中心轨迹方程时,消去参数应注意的有关问题.     

两条特殊直线的用途

在解析几何中,利用导数求曲线的切线、法线、极值及研究曲线的形状是十分方便而有效的方法。本文试从导数入手,通过探讨两条直线的几何性质,研究二次曲线的中心位置及弦的中点轨迹方程(本文所指二次曲线均为非退化型)。设给定二次曲线方程为: f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=D……(1) 若把y看为常数,方程两边对x求导数,得到一条直线方程为: L_1:f_x=ZAx+By+D=0     

中心对称在二次曲线中的一个巧妙应用

<正>中心对称广泛存在于解析几何问题中巧妙利用好中心对称原理,可使我们在解决二次曲线中点弦问题时多一条有效途径,常能起到化繁为简,出奇制胜的效果.本文就中心对称性原理在求二次曲线中点弦所在直线     

二次曲线的垂轴弦的一组新性质

文[1]和文[2]分别探讨了二次曲线垂轴弦的一些性质．受其启发,本文另一组优美性质．     

中心实二次曲线的一个统一定义

通过对高中《平面解析几何》的两个求轨迹问题，总结出中心实二次曲线的一个统一的定义，对定义的充分必要性进行了严格的论证，又通过方程的系数讨论对中心实二次曲线进行了分析。     

综合直角坐标变换对二次曲线方程的作用规律

本文进一步总结、探究直角坐标系的移轴和转轴,特别是综合变换对二次曲线方程的作用规律,为利用综合变换一次性化简曲线方程及作图做好必要的准备．     

蒙日圆的一组推广结论

有心二次曲线中,任意两条相互垂直的切线交点都在同一个圆上,它的圆心是有心二次曲线的中心,半径由有心二次曲线的二次项系数决定,这个圆称为蒙日圆.关于该结论,文[1]中给出了它的一组证明.     

中心对称在二次曲线中的一个巧妙应用

中心对称广泛存在于解析几何问题中,巧妙利用好中心对称原理,可使我们在解决二次曲线中点弦问题时多一条有效途径,常能起到化繁为简,出奇制胜的效果．本文就中心对称性原理在求二次曲线中点弦所在直线方程问题上作一些介绍,让读者感受中心对称应用之巧妙．