构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…     

一道不等式例题的深入剖析

新教材(数学)高二上册第22页例3是:已在|a|<1,|b|<1,求证:1a abb<1.(1)1.巧证设三点P1(-1)、P1a abb、P2(1),P分P1P2的比为λ,则λ=PP1PP2=a b1 ab 11-1a abb=((aa- 11))((bb -11)),由于|a|<1,|b|<1,显然λ>0,所以点P内分P1P2,即点P在线段P1P2上,故-1<1a abb<1,从而1a abb<1.2.变形已知|a|<1,|b|<1,且a≠b,求证:1a--abb>1.(2)证明:1a--abb>1(1-ab)2>(a-b)2a2 b2-a2b2-1<0(1-a2)(b2-1)<0,由条件|a|<1,|b|<1,知1-a2>0,b2-1<0,所以(1-a2)(b2-1)<0,从而知原不等式成立.3.推广用上述证明方法很容易把不等式(1)和(2)分别推广为如下两…     

平面向量四种创新型问题

<正>创新意识是理性思维的高层次表现.对创新型问题的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中备受命题人的青睐,创新点的设置也常考常新.下面结合具体例子谈谈平面向量创新型问题的一般解法.题型1.信息迁移问题例1若两个向量a与b的夹角为θ,则称向量"a×b"为向量的"外积",其长度为|a×b|=|a||b|sinθ.若已知|a|=1,|b|=5,a·b=-4,则|a×b|=.分析:领会题目中的新信息是解决此类题目的关键,要求|a×b|,依据定义,只需求sinθ.     

一道高考数学试题的推广

1993全国高考数学试题(理科)第(29)题是: 已知关于x的实系数二次方程x~2 ax b=0有两个实数根α、β。证明: (Ⅰ)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4 b且|b|<4; (Ⅱ)如果2|a|<4 b且|b|<4,那么|a|<2,|β|<2。 现把此问题推广如下:     

解决《平面向量的数量积》的方法例析

<正>一、知识梳理1.平面向量的数量积。(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.平面向量数量积的运算律。(1)a·b=b·a(交换律)。     

一道例题的几何证法

高中代数甲种本第二册有一道不等式例题:已知:|a|<1,|b|<1, 求证:|a b/1 ab|<1 不少刊物给出了多种美妙解法.本文绘出一种新颖的几何证法。     

关于一道不等式的简证

前两文均涉及到条件不等式 |a|<1,|b|<1■|a b/1 ab|<1.可简证如下。当ab≥0时,由(1-|a|)(1-|b|)>0,有1 |ab|>|a| |b|,即|1 ab|<|a b|故|a b/1 ab|<1。     

数学奥林匹克初中训练题(15)

第一试一、选择题(每小题6分,共48分)1.若实数a,b,c满足|a| a=0,|ab|=ab,|c|     

平面向量的数量积热点题型展示

题型1:求数量积、求模、求夹角 例1 (2011年高考江西理11)已知|a|=|b| =2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为______. 解析:根据已知条件(a+2b)·(a-b)=-2,去括号得|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2(→)cosθ=1/2,故θ=60°.     

一个绝对值恒等式的运用

命题　已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明　若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1　解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解　由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得　　 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x…     

模式联想证明不等式

不等式的证明是高中数学的一个难点,如果能仔细观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得到解决.一、根据命题条件所提供的模式展开联想例1已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证明:因为|a|≤1,|b|≤1,所以可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π],则ab (1-a2)(1-b2)=cosαcosβ sinαsinβ=cos(α-β).又cos(α-β)≤1,22例2已知实数a、b、c满足a b c=0,abc=1,求证:a、b、c中必有…     

焦半径与焦半径夹角的一个关系及应用

本文探索了椭圆、双曲线焦半径与焦半径夹角的关系,得到如下两个结论. 定义圆锥曲线上一点与其焦点的连线段叫做焦半径. 定理1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)是左右焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,则 2b2/1 cosθ=r1r2,且tanθ/2=c|y0|/b2. 证:如图,在△F1PF2中有     

关于群中元素的阶的几个结论

《离散数学》中给出了关于群中元素的阶的一个结论:设G为群,a,b=G,且ab=ba,如果|a|:n,|b|=m,且n与m互质,证明|ab|=nm。对这个结论很容易想到能不能推广为更一般的情况:设G为群,a,b∈G,且ab=ba,如果|a|=n,|b|=m,(a,b)=d则|ab|=[a,b]。文章将给出结论,并对群中元素的阶的性质做出一些补充。     

数学解题中的转移

在解数学题时,我们经常遇到“卡壳”,也就是通常所说的解题困难,那么怎样才能破解“卡壳”现象呢?“数学转移”是破解的妙招. 一、构造转移 根据条件和结论的结构特征,构造一定的数学模型,从而使问题得以顺利解决,极大地培养了学生的创新意识. 例1 若|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,a、b、c∈R,求证:ab+bc+ca＞-1 分析:此题乍看不好入手,但构造一次函数,效果就很明显.     

析1993年高考试题中的若干数学方法

在《数学科考试说明》中曾把考查数学思想方法作为基本要求之一,也是近几年来高考命题的方向。对于数学思想方法的应用已越来越引起大家的重视。数形结合的思想,函数与方程的思想,逻辑划分与等价转化的思想等等对于发展智力、提高能力有着不可估量的影响。从今年高考试题可以看到数学思想方法教育的迫切性。 1993年全国试题的压阵题(29),已知关于x的实系数方程x~2 ax b=0的两实根α、β,证明(1)如果|α|<2,|β|<2,则2|a|<4 b且|b|<4;(2)如果2|a|<4 b且|b|<4,则|α|<2,|β|<2。此题有多种解法,但如     

向量模长公式的八种应用

b²=|b|²=（2n-3m）²=9m²-12m·n+4n²=9-12×1/2+4=7,∴|a|=7^1/2,|b|=7^1/2.又∵a·b（2m+n）·（2n-3m）=-6m²+m·n+2n²=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=（a·b）/（|a||b|）=（-31/2）/(7^1/2×7^1/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°.     

巧用函数的单调性证明不等式

在证明不等式中,通过联想构造函数,将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的单调区间内,利用其单调性证明一些不等式十分便捷,以下举例说明.例1已知a、b、c∈R,|a|<1,|6|<1,|c<1.     

向量数量积的两个简单性质及其应用

<正>向量的数量积有两个简单而又有趣的性质,利用它们可以轻松地解决某些问题,下面就此作一些介绍.性质1(数量积不等式)|a·b|≤|a||b|.证明设向量a,b的夹角为θ,则|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.由于0°≤θ≤180°,故当且仅当θ=0或θ=180时,取"=".当θ=0°时,a·b=|a     

合理构建函数在不等式问题中的应用

函数思想在不等式问题中有广泛用途,尤其是通过合理构建函数,将不等式问题转化为函数问题,从而拓宽解题思路,降低问题难度·现从以下五个方面探讨一下构建函数在不等式问题中的应用·一、构建一次函数模型利用一次函数自身的单调性解决问题·例1已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:ab     

一类问题解的一种通法

先看一例 :已知二次函数 f(x)满足条件 :| f(0 ) |≤1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1.试证 :对于 x∈[- 1,1]时必有 | f(x) |≤ 54.证　设 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则由f(0 ) =c,f(1) =a b c,f (- 1) =a- b c,可得 a =f (1) f (- 1) - 2 f (0 )2 ,b =f (1) - f (- 1)2 ,c=f(0 ) .又∵ | f(0 ) |≤ 1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1及 x∈ [- 1,1],∴| f (x ) | =| f(1) f(- 1) - 2 f(0 )2 x2 f (1) - f(- 1)2 x f (0 ) | =| f(1)2 (x2 x) f (- 1)2 (x2 - x) f(0 ) (1- x2 ) |≤ 12 | x2 x| 12 | x2 - x| | 1- x2 | …