一个结论的巧证及活用

已知:如图1,在凹四边形ABCD中,求证;∠BDC=∠A+∠B+∠C. 分析;利用三角形外角性质和平行线的性质可探索出多种添辅助线的方法: 方法1:连接AD并延长(如图2)由外角性质易证方法2:连接BC(如图3)由三角形内角和的定理易证     

凹四边形一个结论的多种证法及灵活运用

结论如图1所示,在凹四边形ABCD中,∠BDC=∠A+∠B+∠C·图1图2图3分析对于上述结论,利用三角形外角的性质和平行线的性质可以探索出多种添加辅助线的方法予以证明·证法1连接AD并延长到E,如图2所示,由三角形的外角性质很容易证明·     

凹四边形的一个性质及其应用

本文介绍凹四边形的一个性质的四种证法及应用,供初一或初二学生学习时参考.一、凹四边形性质如图1,试说明∠BOC=∠A+∠B+∠C.解1如图2,延长BO交AC于D,则由三角形外角性质得∠BOC=∠C+∠ODC,∠ODC=∠A+∠B.所以∠BOC=∠A+∠B+∠C.     

凹四边形的一个性质及其应用

如图1,在凹四边形ABCD中,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C.同学们可利用三角形外角性质或平行线的性质,探索出以下添辅助线的方法:     

重视一题多解教学,培养创新精神

一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２…     

联想与解题

我们拿到一个数学题后,一般都是结合审题,联想有关的定义和公理,联想定理,公式和法则去寻求解题的方法。例1 如图:求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°分析:这是一个图形性质的证明题。要证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,可以联想表示180°的图形只有平角和三角形的内角和。再看已知条件,显然利用平角困难,只有考虑三角形的内角和,那么就要有一个角代替两个角和的问题,很自然地联想到三角形的外角定理,由此问题得证。     

重过程 析方法 挖本质——道中考题的教学启示

<正>一、试题呈现(2016年南京中考题)用两种方法证明"三角形的外角和等于360°.如图1,∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.证法1∵___,∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.     

多角形中内角和的求法(初二、初三)

1.基本知识(1)三角形内角和等于180°.(2)n边形内角和等于 (n-2)·180°.2.基本事实(1)在图1中,易证图1∠A+∠B=∠C+∠D.(2)在图2中,易证∠A+∠B+∠C =∠D+∠E+∠F. 按照以上知识,通过添加辅助线,就可以较容易地求出某些一笔画图形中的多角和.     

凹四边形的一个性质及其应用

1．凹四边形的性质如图1,在凹四边形ABOC中,有∠BOC=∠A ∠B ∠C．证明如图2,连结AO并延长,则由三角形外角性质得∠1=∠3 ∠B, ∠2=∠4 ∠C,     

利用相似三角形证线段成比例

相似三角形的判定定理1,是判断两个三角形相似中最常用的定理,通过两个三角形相似,可得到线段成比例,解决有关线段成比例问题,现举例如下:例1如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:AQ·RB=QR2.分析:因为△PQR是等边三角形,所以要证AQ·RB=QR2,即证AQ∶QR=QR∶RB,故证AQ∶PR=QP∶RB,因此需证△AQP∽PRB,但∠AQP与∠PRB都是等边三角形的外角,又由外角定理和已知条件∠APB=120°,可证明∠APQ=∠B,由此得到△AQP和△PRB相似。证明:∵△PQR是等边三角形,∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°∵∠B+∠BPR=∠PR…     

巧变形,快求解

"三角形的内角和等于180°","三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和",掌握三角形外角及内角和公式是解决有关三角形问题的关键,而要快捷且正确地解答三角形中有关角的求解与证明,就必须熟练地进行有关变形.现举例如下.例1△ABC中,若∠A-2∠B+∠C=0°.则∠B的度数是().A.30°B.45°C.60°D.75°解在△ABC中,有∠A+∠B+∠C=180°,可适当变形为∠A+∠C=180°-∠B.而条件∠A-2∠B+∠C=0°,也可变形为∠A+∠C=2∠B,所以可知180°-∠B=2∠B,解此     

一道习题的证明及应用

习题如图1,设∠BOC=α,求证:α=∠A+∠B+∠C.证明延长 BO交 AC 于点 D.∵α是△COD 的外角,∴α=∠1+∠C.∵∠1是△ABD 的外角,∴∠1=∠A+∠B.∴α=∠A+∠B+∠C.巧用这道习题的结论,可迅速地解答一些与角有关的计算题.     

三角形的外角应用例析

三角形的外角是三角形一边的延长线与另一边所构成的角,它与相邻的内角互为邻补角,由此可推得三角形外角的两个重要性质:1.三角形的一     

“三角形的外角”的教学设计与反思

<正>一、教学内容和内容解析1.内容三角形外角的概念,三角形外角的性质.2.内容解析与三角形内角和定理一样,三角形的外角也是研究三角形时重点研究的一类角.三角形的外角的性质揭示了一个三角形的三个外角、外角与内角之间的数量关系,它为解决与三角形有关的角的计算和证明等问题提供了一种十分便捷的方法和思路.三角形的外角性质的探索与证明,体现了从特殊到一般,从具体到抽象的研究过程和方法.使学生学会发现,并逐步培养他们运     

巧用三角形的内角和外角解题

一、知识透视1.三角形内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°.证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法:(1)如图1,过点A作DE∥BC;(2)如图2,过BC上任意一点D,作DE∥AC,DF∥AB;(3)如图3,过点C作射线CD∥AB.2.外角及其性质:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.     

转化——解决梯形问题的基本方法

解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线 ,将梯形问题转化为三角形或平行四边形来研究 ,然后利用这些图形的性质解决问题。常用的添加辅助线进行转化的方法有 :1 .连结对角线或延长两腰交于一点 ,或连结顶点与一腰中点 ,并延长交底边于一点 ,或平移一对角线交底边的延长线于一点等 ,把梯形转化为三角形来处理 (如图 1— 4)。2 .作高线 ,把梯形转化为直角三角形及矩形来处理 (如图 5— 6)。3.平移对角线或平移一腰线 ,把梯形转化为三角形或平行四边形来处理 (如图 7— 1 0 )。4.作梯形中位线 ,把一个梯形转化为两个等高的梯形 ,或两个全等的…     

“对顶三角形”性质的妙用

<正>如图1,在△AOB和△COD中,两个角∠AOB和∠COD是对顶角,此时称这两个三角形△AOB和△COD为对顶三角形.由三角形的内角和定理很容易得到对顶三角形具有下面的性质:∠A+∠B=∠C+∠D.许多几何问题中都存在着对顶三角形,或添加适当的辅助线后可以构成对顶三角形.此时若能巧妙利用对顶三角形的性质,往     

巧用基本图形解题

在几何中,基本图形是较复杂图形的基础,抓住一些基本图形的特性,许多几何问题常可迎刃而解,现举一例说明.如图1,线段AB、CD相交于点P,则∠A+∠D=∠B+∠C.这是一个很有用的基本图形,由于这两个三角形有一个角是对顶角,因此我们常称它为对顶三角形.其性质(图1中∠A+∠D=∠B+∠C)很容易得到.应用这一基本图形及其性质可以巧解许多问题.一、寻找基本图形解题例1如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解:显然∠A+∠B=∠2+∠3,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠1+∠3,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.二、构…     

凹四边形的一个性质及其应用

<正>把四边形的某条边向两方延长,其它各边不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形.凹四边形有如下性质:如图1,在凹四边形ABCD中,则有:∠ADC=∠A+∠B+∠C.一、凹四边形性质的证明证明如图2,延长AD交BC于P.∵∠ADC=∠1+∠C,∠1=∠A+∠B,∴∠ADC=∠A+∠B+∠C.此性质证明方法较多,这里就不一一列     

三角形外角性质的应用

三角形的外角有两条性质: 1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; 2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．这两条性质都表明了三角形的外角与内角之间的一种关系．第1条性质常常用于在几何图形中寻找角与角之间的相等关系;第2条性质常常用于证明角与角之间的不等关系(大小关系)．可以用三角形外角性质解答的题目通常都存在共同的特征,下面通过两个具体的例子来总结其中的规律．