循序渐进 体现自然——探索四面体“余弦定理”教学案例及思考

<正>这是笔者在市优质课评比中的教学案例——平面与空间中的"余弦定理".它是承接普通高中课程标准试验教科书选修2-2第二章2.1节"合情推理和演绎推理"后阅读与思考的内容.它主要将三角形与四面体类比,由三角形余弦定理类比猜想得到四面体的"余弦定理",同时由证明三角形余弦定理的方法类比得到证明四面体的"余弦定理"的方法.     

探索四面体的余弦定理案例及思考

由三角形余弦定理类比猜想得到四面体的余弦定理,同时由证明三角形余弦定理的方法类比得到证明四面体的余弦定理的方法.关注探究式教学的自然性、合理性,引导学生数学思维的自然形成、发展和深化,是我们一线教师急需关注的.     

正弦定理的推广

类比推理是一种重要的推理方法。 [例1] 在ΔABC中,三边所对的角分别为A、B、C,则有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC.证明根据ΔABC的面积得1/2 bcsinA=1/2 casinB=1/2 absinC,同除以1/2 abc得将四面体与三角形加以类比。以三角形的边与四面体的面,三角形内角与四面体各面两两所成的二面角的平面角类比,可以得到揭示四面体中各面及棱与相应二面角的平面角的正弦问关系的结论,其数学表达式与正弦理极为相似,证明从四面体的体积入手。     

浅谈三角形性质的类比

平面图形中最简单的多边形是三角形，空间图形中最简单的多面体为四面体．将平面内许多与三角形有关的概念、公式与性质类比推广到空间四面体，可以得到许多优美的结论和性质．人教版选修2-2第82页的阅读与思考的内容为“平面与空间中的余弦定理”，介绍了由平面中的余弦定理猜想得到空间中的余弦定理，并给予证明．下面，我们一起回顾具体的类比过程：     

一个类比推理的实例探索

通过类比，将平面的余弦定理内容推广到立体的四面体，并将余弦定理的证明方法（运用三角形的射影公式）也推广到立体的四面体（运用类似的射影公式），进而，又将余弦定理的向量证明方法推广到立体的四面体。从探索中，可以深深体会到类比的重要：二维到三维的类比，结论的类比，证法的类比，实质更是思想的类比。     

余弦定理在空间四面体中的推广及应用

余弦定理是中学生必须掌握的数学基本知识之一,它揭示了三角形边与角的一种重要关系,运用它可解决三角形的一类边角问题.这里结合高中立体几何教学实践,将余弦定理的形式从平面推广到空间四面体,并用以指导学生解决异面直线间的距离和二面角等困难的问题,有助于提高学生解题思维的形成和扩展.     

余弦定理的一个三维推广

在《中等数学》1983年第2期《勾股定理的新探索》一文的基础上,我们来研究余弦定理在三维空间的推广。首先,观察一个三角形,它有不共线的三个顶点,每个顶点对应着三角形的一条边,每两边又相交成三角形的一个角。其次,比较一个四面体,它有不共面的四个顶点,每个顶点对应着四面体的一个面,每两个面又相交成一个二面角。再次,余弦定理是考虑三角形边长与夹角之间的关系式,在三维空间中,则应考虑四面体的面的面积和夹角之间的关系式。     

四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广 ,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去 .本文以向量为工具 ,把三角形的余弦定理、勾股定理以及“在直角三角形中 ,30°的角所对的边是斜边的一半”等 4个定理推广到四面体上 .定理 1　 (四面体的余弦定理 )四面体C-AOB中 ,若CO垂直于平面AOB ,平面AOC与平面BOC所成的二面角为α ,则四面体的四个面的面积之间有如下关系 :S2△ABC =S2△AOC S2△BOC S2△AOB -2S△AOC·S△BOCcosα证　以O为原点、OA为x轴 ,OC为z轴建立空间直角坐标系 ,设四个顶点的坐标分析为A(a ,0 ,0 ) ,B(b ,d ,0 )…     

三角形张角公式的类比

[1]根据[2]、[3]对三角形与四面体的类比性，把三角形的角平分线相关性质类比到了四面体二面角平分面上，得到两个结论。读后深受启发，既然三角形角平分线性质能类比到四面体，那么三角形张角公式能否类比到四面体呢？对此，笔进行了研究，得到如下两个结果。     

三角形外角平分线的一个性质的空间推广

三角形的外角平分线有下面的性质（应用Menelaus定理容易证明）： 定理0＾［1］ 三角形的外角平分线与对边相交,三个交点共线．本文拟将这个性质引申至三维空间,证明四面体中的外二面角平分面的一个性质,即有 定理1 经过四面体的一条棱的外二面角平分面与对棱相交,六个交点共面．     

等面四面体必为等腰四面体——兼论一错解题

贵刊1994年第3期《四面体二面角平分面的性质－文中例2的证明过程有误．该题为“如呆四面体的四个面的面积相等，求证这四个面全等．”它的结论虽不错，但是在原证明中，从四面体的等面性推出四个面皆为等边三角形,这就错了.     

四面体二面角平分面的性质

类似于三角形内角平分线的性质,四面体（也称三棱锥）二面角平分面也有如下性质: 性质1 四面体二面角平分面上任意一点到形成这个二面角的两个面的距离相等。 证明 如图、设平面ADS是四面体ABCS中二面角B—AS—C的平分面,P为平分面上任意一点。 过P作平面EFG⊥AS,分别交AS、BS、CS于E、F、G,则∠FEG为二面角B—AS—C的平面角,PE为面ADS和面EFG的交线,由二面角平分面定     

余弦定理教学实录与启示

1 基本情况 1.1 教学班级 教学班为四星级高中统招班,学生基础较好,思维活跃,有一定的思考、探究能力. 1.2 教材分析本节内容选自<普通高中课程标准实验教科书·数学>(苏教版)必修5第1章"解三角形"第2节"余弦定理",学生已经学习了必修4"三角函数"、"平面向量"、"三角恒等变换",并且学习了正弦定理的发现、证明和应用,具有初步的归纳、猜想和证明意识,因此在余弦定理教学中,把重点放在引导学生类比正弦定理的学习过程,运用向量方法和勾股定理发现和证明余弦定理,体会向量方法的作用,比较不同证法的区别与联系,体验余弦定理的不同结构、表现形式和含义,渗透类比的意识和基本方法,指导学生数学地发现问题、思考问题,发展学生的归纳、猜想、推理能力.     

直角四面体的几个性质

<正> 一个四面体P-ABC,若PA、PB、PC两两垂直,则这个四面体可称为直角四面体(如图1),这与平面几何中的直角三角形类似. 对直角四面体P-ABC,有 (1)S2PAB+S2PAC+S2PBC=S2ABC; (2)△ABC是锐角三角形. (3)设三个直角面PAB、PBC、PAC与面ABC所成的二面角的大小分别为α、β、γ,则     

从三角形到三棱锥(高二、高三)——类比与推广思维的一个尝试

学习了立体几何的基本知识后,我们不妨研究一下平面几何与立体几何之间的联系.其实平面几何中的很多性质都可以类比推广到立体几何中去.比如:平面几何中的三角形类比到立体几何中对应的几何体是四面体(或称三棱锥),三角形是平面(二维空间)图象中边数最少的多边形,而四面体则是空间(三维)中面数最少的多面体.我们来看一看三角形有哪些性质可以类比到     

四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去. 本文以向量为工具,把三角形的余弦定理、勾股定理以及"在直角三角形中,30°的角所对的边是斜边的一半"等4个定理推广到四面体上.     

利用《超级画板》探索四面体的余弦定理

《超级画板》是将平面几何问题推广到立体几何的有力工具,文章将余弦定理推广到四面体中,并利用《超级画板》猜测、证明四面体的余弦定理,使学生掌握四面体的余弦定理,并能够对四面体在多面体中的重要地位有所领会,培养学生的空间想象能力及提出问题、分析问题和解决问题等能力.     

从一个特殊的四面体所想到的

正如三角形是平面几何的基本图形一样，四面体也是立体几何的一个基本的几何体在空间的点与线间的关系。线与面的关系、面与面的关系，都可以在四面体上进行研究．特别是有关二面角问题用四面体为载体进行研究更为便捷．下面就来研究一个特殊的四面体即四个面都是直角三角形的四面体，与立体几何题的关系．     

一个合情合理的猜想

人类总是在已认识的基础上不断向未知前进,在这个认知过程中人类往往采用类比方法. 在平面上,两条直线不能围成一个有限的图形,而三条直线却有可能围成一个三角形.在三维空间,三个平面不能围成一个有限的图形,而四个平面却有可能围成一个四面体.因此,三角形可以与四面体类比,特殊的三角形可以与特殊的四面体类比(见图1和图2).     

构造三角形巧用余弦定理解题

余弦定理是高中数学的一个重要知识点,而且在立体几何题中,用它来求线线角、线面角、二面角等会显奇效.当然,余弦定理的载体是在三角形中,为此必须构造三角形.