知其然更要知其所以然--对一道试题的解法剖析

题 已知a＞0,函数f(x)=ax-bx2. (Ⅰ)当b＞0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2b; (Ⅱ)当b＞1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b;     

2002年高考题求解通法剖析

<正> 2002年全国高考数学试卷第22题为:已知a>0,函数.f(x)=ax-bx2(1)当b>0时,若对任意r∈R都有f(x)≤1,证明以≤2;(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],f(x)≤1的充要     

对一道高考压轴题的解法探究

20 0 2年全国高考广东、河南卷第 2 2题 (压轴题 ) :已知a>0 ,函数 f(x) =ax-bx2 .(Ⅰ )当b >0时 ,若对任意x∈R都有 f(x) ≤1,证明 :a≤ 2b ;(Ⅱ )当b >1时 ,证明 :对任意x ∈ [0 ,1],｜f(x) ｜ ≤ 1的充要条件是b- 1≤a≤ 2 b ;(Ⅲ )当 0 1,…     

不等式恒成立问题的几种求解策略

不等式恒成立问题 ,把不等式、函数、数列、几何等内容有机地结合起来 ,覆盖知识点多 ,方法多种多样 ,是近几年数学高考、竞赛中考查的热点 .但同学们对解决此类问题往往感到无从下手 ,得分率偏低 .为此本文就这类问题的几种解题策略作一探讨 ,供读者参考 .一、数形结合思想例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )已知a>0 ,函数 f(x) =ax -bx2 .( 1)当b>0时 ,若对任意x∈R ,都有f(x)≤ 1,证明 :a≤ 2 b ;( 2 )当b >1时 ,证明 :对任意x∈ [0 ,1] ,｜f(x) ｜≤ 1的充要条件是b-1≤a≤ 2 b ;( 3 )当 0 相似文献   

用分离参数法解高考数学压轴题

20 0 2年的高考数学压轴题是 :已知 a>0 ,函数 f( x) =ax- bx2 .( )当 b>0时 ,若对任意 x∈ R都有f ( x)≤ 1 ,证明 a≤ 2 b ;( )当 b>1时 ,证明 :对任意 x∈ [0 ,1 ],| f ( x) |≤ 1的充要条件是 b- 1≤ a≤ 2b ;( )当 0 相似文献   

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数f(x)满足f(x a)=1/2 √f(x)-(f(x))2,求证:f(x)是周期函数. 证明由f(x a)≥1/2在x∈R时恒成立,得f(x)≥1/2在x∈R时恒成立.     

函数奇偶性与周期性的一种关系

函数的奇偶性与周期性有如下一种关系:定理1设函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,且f(a-x)=f(a x)(a≠0),则函数y=f(x)必是周期函数,且2a是它的一个周期.证明:由f(x)是偶函数知,对任意x∈R,有f(-x)=f(x).又因为     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D,当x1相似文献   

浅谈高中数学的最值问题

一、函数最值 1.定义:对于函数f(X).假定其定义域为A,则(1)若存在x0,使得对于任意x∈A,恒有f(x) ≤ f(x0),则称f(X0)是函数的最大值;(2)若存在x0,使得对于任意X∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立,则称f(x0)是f(x)的最小值.     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.     

浅谈周期函数

一、周期函数 设函数f(x)的定义域为数集A 定义1,若存在T>0,对任意x∈A且x±T∈有: f(x±T)=f(x)则称函数f(x)为周期函数,T称为函数f(x)的周期。 定义2,对于周期函数y=f(x),如果存在一个最小正数Z,能使x取定义域中的任意值时,等式f(x±Z)=f(x)恒成立,那么这个最小的正周期Z称为函数f(x)的周期,亦称基本周期。 充分理解这两个定义的实质,必须弄清以下几个问题: (1)若要证明一个函数y=f(x)是周期函数,必须严格证明它符合定义的条件,即找到非零常数T,使f(x=T)=f(x)。     

函数方程与函数性质

本文通过几道函数方程题的剖析,掌握常见题型的处理方法,进一步加深对函数性质的理解。 1.线性函数型例1 已知函数f(x)对任意x、y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y);又当x<0时,     

基本初等函数与双曲函数的特征方程

在[※]中讨论了双曲正弦与双曲余弦的特征方程本文将用更简捷的方法给出基本初等函数与双曲函数的特征方程及其证明。 1.若实函数f(x)在x=0点可导且对任意x,y∈R满足 f(x y)=f (x) f(y)则f(x)为线性函数。 证明:在(※)式中令y=0得 f(x)=f(x) f(0)(?)f(0)=0     

导数用于根的问题(高一、高二、高三)

本文例析导数的一个应用:研究方程根的问题,这可以提高学生对高考新题型的适应能力.例1证明2x=sinx只有一个根x=0.证明设f(x)=2x-sinx,x∈R.因为f'(x)=2-cosx>0,所以f(x)在R上递增.而当x=0时,f(x)=0,由单调函数自变量与函数值一一对应知原方程有唯一根x=0.     

第四届中国东南地区数学奥林匹克 第二天

(2007年7月28日,8:00-12:00,浙江镇海)五、设函数f(x)满足:f(x 1)?f(x)=2x 1(x∈R),且当x∈[0,1]时有f(x)≤1.证明当x∈R时,有f(x)≤2 x2(金蒙伟供题)证:令g(x)=f(x)?x2,则g(x 1)?g(x)=f(x 1)?f(x)?(x 1)2 x2=0,所以g(x)是R上以1为周期的周期函数;又由条件当x∈[0,1]时有f(x)≤     

苏教版《数学》必修1第2章中两道习题结论的推广

题1对于任意的x~1,x~2∈R,若函数f(x)=2~x试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小关系.结论f(x_1) f(x_2)/2≥f(x_1 x_2/2)(当且仅当x_1=x_2时取"=");题2对于任意的x_1,x_2∈(0, ∞),若函数f(x)=lgx,试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小.     

利用分割区间进行解题的讨论

高考题1（20LO·福建·理·15）已知定义域为（0,＋∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0,＋∞）,恒有f（2x）=2f（x）成立;（2）当x∈（1,2]时,f（x）=2-x．给出如下结论：     

解两道保送生考试题

2011年大学保送生考试已结束.本文例举清华大学、北京大学保送生考试的两个题目并给出解答,以飨读者.题1已知f(x)是定义在[0,1]上的非负函数,且f(1)=1,对任意的x、y、x+y,∈[0,1]都有f(x+y)≥f(x)+f(y).证明:f(x)≤2x(x∈[0,1]).(2011,清华大学保送生考试)证明对任意x、△x、x+△x∈[0,1],有f(x+△x)-f(x)≥f(△x)≥0.所以,f(x)是不减函数.对任意的x∈[0,1],必存在n∈N_+,使得x∈[1/2~n,1/2~(n-1)).