平面封闭曲边图形的面积计算

引言平面上的封闭图形,尽管形状多种多样,但就其边界而言,无非直线段或曲线段两种。一个封闭的平面图形,其边界可以是若干条直线段,也可以是若干条曲线段,还可以是由若干直线段和若干曲线段构成。边界全部由直线段封闭的最简单图形是三边形(三角形),此外还有四边形、五边形,等等,我们统称之为多边形。一个由n条直线段封闭的n边形,不论其形状怎样,总可以分划成(n－2)个三角形。若每个三角形的面积分别为△1,△2,…,△N－2,则N边形的面积Sn=△1＋△2＋…＋△n－…     

初中数学基本平面图形中线段的计算

<正>初中数学学习中,线段是一个基本的几何概念,同学们需要学会计算线段的长度、斜率和位置关系等．本文介绍几种计算线段的方法与技巧,这些计算技巧对于解决几何问题和应用数学问题具有重要意义．一、使用转化法进行线段的计算进行与线段计算有关问题时,同学们要认真查找图形中线段的关系,然后转化为线段的“和差倍分”关系,以此降低线段计算问题的难度．     

几个平面图形的方程

本文就几个常见的平面图形,从另一种角度展开讨论,即用方程的形式描述.方程可以表示曲线,而某些由单纯线段或曲段构成的图形,却鲜有提及所谓的方程.本文将给出如下的菱形、对角线垂直的四边形(四段弧线)、矩形、等腰梯形、平行四边形、正六边形以及它们之间的联系,希望取得抛砖引玉的作用.     

“长方形和正方形的认识”教学实录与评析

师：同学们,今天老师给大家请来了两位朋友,你们想不想知道它俩是谁呀？（出示长方形、正方形图片。）师：生活中,你见到哪些物体的面是长方形或正方形的呢？（根据学生举例,电脑演示图形：黑板、课本、手帕、方桌等实物图和这些物体的面的平面图。）师：观察长方形和正方形,它们都是由几条线段围成的图形？生：长方形、正方形都是由四条线段围成的图形。师：我们把围成图形的线段叫做图形的边。数一数,长方形有几条边？正方形呢？师：（接学生的回答）由四条线段围成的图形,通常把它们叫做四边形。请再数一数,长方形、正方形各有几…     

极坐标系下求平面图形面积的技巧

求平面图形的面积是定积分在几何中的一个最基本的应用,当某些平面图形的边界曲线以极坐标方程给出时,我们可以考虑直接用极坐标来计算这些平面图形的面积。本文就从具体的几个例子出发,探讨了如何在极坐标下求平面图形的面积问题。     

从剪拼实验到泡沫实验——周长一定的图形面积(3)

1696年瑞士数学家贝努利通过泡沫实验获得一个数学猜想:在周长相同的一切封闭曲线中,以圆所围的面积为最大.19世纪一位德国几何学家施泰纳曾对此猜想提出一种构思十分巧妙的证明方法,大意如下:设图形φ是所有周长等于l 的图形中那个面积最大的图形,现在要证明图形φ一定是圆.证明分为三步:第一步,图形φ一定是凸图形.所谓凸图形,是指封闭曲线上任意两点所连的线段必定在曲线的内部.假设φ不是凸图形,那么在它上面就有两点 A, B,联接线段AB必落在图形的外部(如图1).以 AB为轴,作曲线 AmB的轴对称图形,得曲线 Am′B,那么图形 AmBKA和图…     

平面封闭曲边图形的面积计算

平面上的封闭图形，尽管形状多种多样，但就其边界而言，无非直直线段或曲线段两种。一个封闭的平面图形，其边界可以是若干条直线段，也可以是若干条曲线段，还可以是由若干直线段和若干曲线段构成。边界全部由直线段封闭的最简单图形是三边形（三角形），此外还有四边形、五边形，等等，我们统称这为多形边。一个由n条直线段封闭的n.边形，不论其形状怎样，总可以分划成(n-2)个三角形。若每个三角形的面积分另为△1，△2，…，△N－2，则N边形的面积Sn＝△1＋△2＋…＋△n－2＝i=1∑^n-2△i，所以有关三角形的性质、有关三角形的计算（角、边、形、心、圆心、面积等）就显得非常重要了。于是，《三角学》单独作为一门教学课程出现了。     

换个角度思考

印刷厂的制版工人,要用蘸水笔把下面的由36个三角形组成的金字塔图案画到绘图纸上。根据经验,每蘸一次墨水,只能画出由4个小三角形组成的图形,那么,要画完这个金字塔图案,需蘸几次墨水?这道题,如果直接从形状考虑,看金字塔图案是由几个组成的,显得相当困难。如果不考虑形状,根据由9条小线段组成得到,蘸一次墨水可以画9条小线段,那么只要看金字塔图案中有几个9条小线段,就知道要蘸几次墨水了。数一数可以知道,金字塔图案由63条小线段组成,所以画完这个金字塔图案要蘸63÷9=7(次)墨水。!换个角度思考@刘子辉     

参数方程表示的曲线所围成图形面积计算

本文指出许多数学分析讲义在计算由参数方程表示的曲线所围成图形面积所发生的错误,并给出正确的计算方法。     

MATLAB在平面图形边界信息提取中的应用

从平面图形中提取边界信息,是一项重要的数据处理技术,也是计算平面图形边界长度的基础.利用MATLAB进行平面图形边界信息提取的方法,处理过程依次为:保存为图像文件;调入MATLAB;确定边界像素坐标;边界像素坐标转为极坐标,把极角值安升序进行排列后再转换为直角坐标;最后把边界像素坐标实行线性变换转换为实际坐标.这里只对图像边界是简单闭曲线的情况进行了论述,对复杂的边界情况可以进行图像分割转换为几个边界为简单闭曲线的情况分别进行处理.     

第十章 “图形的相似”学习指导

【本章概述】 本章是在小学学习了比和比例、初中学习了全等三角形的基础上,来研究形状相同的图形．通过学习,要了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割;通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应边成比例、     

参数方程表示的曲线所围成的图形面积计算

本文指出许多数学分析讲义在计算由参数方程表示的曲线所围成图形面积所发生的错误，并给出正确的计算方法。     

曲线(线段)扫过的图形的面积问题

<正>数学教学中经常会碰到一类求线段或曲线扫过的面积的问题,本文就这类问题作一较系统的分析与讨论.本文对线段和曲线按级命名,是基于它们所扫过的图形面积的计算中的难易程度来决定的.1线段的旋转一级线段一条线段,绕着这条线段上的一个点旋转时,这条线段就是一级线段.当旋转中心就是线段的一个端点时,它所扫过的就是一个     

第十章 “图形的相似”学习指导

【本章概述】本章是在小学学习了比和比例、初中学习了全等三角形的基础上,来研究形状相同的图形．通过学习,要了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割;通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应边成比例、面积比等于对应边比的平方;了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件;了解图形的位似,     

分类探析运用比例线段解题

<正>我们知道,如果四条线段a,b,c,d满足a/b=c/d(即ad=bc),那么这四条线段是成比例线段,简称比例线段,此时也称这四条线段成比例.在解题时,如能发现图形中的比例线段,或根据图形适时构造出比例线段,就会顿生思路,使问题迎刃而解,现举例如下:一、求一条线段的长     

如何识别复杂图形——谈谈比例线段中的两个基本图形

复杂的图形都是由一些简单的基本图形构成的,在平行线分线段成比例定理中有两个基本图形,如图1和图2,它们都是由DE(DE∥BC)截;;△ABC两边(或两边的延长线)所得,图中线段比例     

介绍三种网络拓扑对称电路的分析方法

我们知道复杂电路种类繁多,形式多样,功能各异,在电路理论中占据着重要的地位.网络拓扑对称电路,在线性电路分析中,应用较为广泛.什么是网络拓扑对称电路呢?任何一个复杂网络,不管它是由什么元件组成,都可以把它抽象成由线段和节点所组成的几何图形,它表示了网络联接的特点,具有拓扑性质,由有限个线段和节点连接成的图形就叫做拓扑图.如果线段和节点对图形的中心点或中心轴位置对称,而且有效值相等或成比例,我们称它为网络拓扑结构中的对称电路.     

如何求阴影部分的面积

计算阴影部分的面积在中考题及各类竞赛中经常出现,其解法灵活多样,技巧性较强．解决这类问题需掌握相关的三角形、正方形、圆、扇形等面积的计算公式,并能结合运用方程及方程组的有关知识等．常见类型有线段与圆弧、圆弧与圆弧围成的阴影部分的面积,要善于把不规则的图形面积的计算转化为有规则的图形面积的计算、化归,     

有趣的相似曲线

我们学过相似三角形、相似多边形等概念,这些图形的边界总是直的,但某些图形的边界是曲线,如两个圆,边界是曲线,显然它们是相似的.还有离心率相等的椭圆、双曲线相似,任意抛物线都相似.看了文[1]、文[2]、文[3]后,笔者在初等函数图像中也发现了其他的相似曲线.将曲线对称变换、旋转变换、平移变换后,不改变曲线形状.所以下面要讨论的问题和定义的概念都不考虑曲线对称、旋转变换等因素.     

体现PISA理念问题中的函数思想——以宁波市中考选择题为例

<正>自2011年以来，宁波市中考数学选择压轴题除了体现PISA理念^[1]外，还具有以下共性:图形中存在动点，假设已知(或要求)图形中的某些线段长(或周长)、某些面积或其和差，问能求出(或需要知道)图形中的哪些线段长(或周长)、面积或其和差．其通用的解题方法一般有代数推理法和几何变换法^[2][3]．由于题图中存在动点，答案的选项都是代数式(不一定直接给出)，