圆锥曲线内接直角三角形斜边恒过定点问题的探究

文［1］对椭圆内接直角三角形斜边恒过定点问题进行了探究,得到如下定理：已知RtΔMA N的三个顶点均在椭圆x2a2＋ y2b2＝1（a＞ b＞0）上,其中直角顶点 A（x0,y0）,则斜边 MN 所在的直线恒过定点（ c2 x0a2＋ b2,- a2c2＋y0b2）。     

一个优美结论的推广

正在文[1],达延俊老师发现椭圆内接直角三角形(顶点均在椭圆上)的斜边与直角顶点间存在恒定不变的统一规律,并且把这一规律用如下定理进行表述:定理1已知RtΔMAN的三个顶点均在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上,其中直角顶点A(x0,y0),则斜边MN所在直线恒过定点(c2x0a2+b2,-c2y0a2+b2).笔者进一步通过几何画板直观演示,发现顶点均在双曲线上的直角三角形也有类似结论,用如下定理表述:     

《一个优美的结论》的再探究

正文[1]中,达延俊老师对2007年全国高等学校统一招生考试山东卷理科第21题进行了推广,形成椭圆内接直角三角形(顶点均在椭圆上)的一个优美结论:定理已知RtΔMAN的三个顶点均在椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)上,其中直角顶点A(x0,y0),则斜边MN所在直线过定     

从轨迹的角度审视圆锥曲线中的一类隐性定点

圆锥曲线中的定点问题是教学中多次遇到的问题,也是高考中经常涉及的题型,蕴含着动静依存的辩证关系,反映了变量在变化过程中的特定状态.文[1][2]相继给出了椭圆、抛物线中内接直角三角形斜边恒过定点的性质: 性质1 已知点G(x1,y1)为椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上一定点,M、N是椭圆上异于点G的两不同动点,且满足GM⊥GN,则直线MN恒过定点(c2x1/a2+b2,-c2y1/a2+b2).     

圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质

最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的:定理1设直线l交椭圆xa22+by22=1(a>b>0)于A,B两点,点M(x0,y0)是椭圆上不同于A,B两点的一个定点,则MA⊥MB的充要条件是直线l过定点Nx0(a2-b2)a2+b2,y0(ab22+-ba22).证明先证必要性:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入方程x2a2…     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…     

双曲线定点弦的一个结论

文[1]介绍了椭圆定点弦的一个结论:命题设P是椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点,M(-λ,0),M2(λ,0),(其中λ∈R,λ≠0,λ≠±a)是x轴上的两个定点,直线PM1,PM2分别与椭圆相交于P1,P2,过P1,P2的切线交于P′点,则点P′的轨迹     

对一个错误结论的分析

2012年《数学教学》第2期19页有这样一个结论(结论3):已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),过直线x=a2/t(0＜t＜a)上的点P的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D,则弦AD、BC都过定点N(t,0). 分析:实际上在这篇文章中,结论3是结论2(已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),弦AB、 CD都过定点N(t,0),则AC、BD的交点都在直线x=a2/t)上的逆命题.     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0,y0)是椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)上一点,求作过Q点的切线,文[1]给出了一种尺规作法,若Q在非顶点处,文[1]作法的实质是:取点P(x0,(ay0)/(b)),作PN⊥OP(O为坐标系原点),交x轴于N,则直线NQ为所求的切线.     

有心圆锥曲线一个有趣性质的引申

文[1]给出了椭圆与双曲线如下一个有趣的性质.性质1给定椭圆C:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0),A(?a,0)(或A(a,0))是长轴的左(或右)顶点,M(?a,m)(或M(a,m))(m≠0)是定直线L:x=?a(或x=a)上的一定点,过M引直线交C于点P、Q两点,则k AP kAQ为定值2b2/(am)(或?2b2/(am)).性质2给定双曲线C:x2/a     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0 ,y0 )是椭圆x2a2 y2b2 =1 (a>b>0 )上一点 ,求作过Q点的切线 ,文 [1 ]给出了一种尺规作法 ,若Q在非顶点处 ,文[1 ]作法的实质是 :取点P(x0 ,ay0b) ,作PN⊥OP(O为坐标系原点 ) ,交x轴于N ,则直线NQ为所求的切线 .我们指出 ,当b>a>0时 ,这种作法同样正确 ,过双曲线上一点作双曲线的切线也有类似的作法 .已知双曲线 x2a2 - y2b2 =± 1上一点Q(x0 ,y0 ) ,过Q点的切线方程是x0 xa2 - y0 yb2=± 1 ,当Q不是顶点时 ,该切线的斜率为b2 x0a2 y0.下面给也切线作法 :作法 :( 1 )若Q为双曲线顶点 ,则切线垂直于Q点所在的轴 .( 2 )或Q…     

圆锥曲线的动弦过定点或有定向问题的再探

文[1]论述了圆锥曲线的动弦的两端与曲线上定点连线的斜率之积为定值时动弦过定点的性质，本文将探讨斜率之和为定值时动弦过定点与有定向的性质．定理1椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2上定点P（x0，y0）与椭圆上两点A、A'连线的斜率存在，则：（i）动弦AA’所在直线必过定点M（x0＋a/bk·y0,b/ak·x0－y0为）（k≠0）的充要条件是PA、PA’的斜率之和为为定值－2k·b/a；（ii）动弦AA'必有定向（kAA'＝b2/a2·x0/y0)的充要条件是PA、PA'的斜率之和为0．比较（l)、（2）两式可知：直线AA’过定点（定值）所以动弦AA’有定向．推论（i）满足定…     

一道联考题的解法探究

题目:(湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考理第20题)知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的右焦点F,右顶点A,右准线x=4且|AF|=1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与右准线相交于点Q,试探究在平面直角坐标系内是否存在点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点肘?若存在,求出点肘坐标;若不存在,说明理由.     

椭圆一个性质的再探究

文[1]研究了椭圆的一个性质,受文[1]启发,笔者通过探究发现,将文[1]定理1,定理2条件中椭圆的右顶点和上顶点A,B分别换成椭圆共轭直径的两个端点,结论仍然成立. 性质1 设A,B是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上的两点,O是坐标原点,射线OA,OB的斜率的乘积为-b2/a2,点M是线段AB的中点,直线OM交椭圆于C,D两点,ΔABC,△ABD的面积分别记为S1,S2,则S1/S2=(√2-1)2.     

有心圆锥曲线切线的又一个有趣性质

正文[1]、文[2]分别介绍了椭圆、双曲线的如下性质:命题1设点P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a0,b0)上的任一点,     

圆锥曲线的弦对顶点张直角的一组性质

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件:设直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,则OA⊥OB(O是坐标原点)的充要条件是直线l过定点(2p,0).文[1]还对有心圆锥曲线的弦对对称中心张直角进行了研究并获得了一组结论.本文给出关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件.定理1设椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A,上、下顶点分别为B、B1,直线l与椭圆交于C、D两点,则(1)AC⊥AD的充要条件是直线l过定点M1(a(aa22+-bb22),0);(2)A1C⊥A1D的充要条件是直线l过定点M2(-a(aa22+-b b22),0);(3)BC⊥BD的充要条件是…     

圆锥曲线中又一优美性质的再探究

文[1]介绍了圆锥曲线中的一个优美性质,本文将文[1]中的相关结论进行推广.性质1如图1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),A,B分别是椭圆的左、     

直线与圆锥曲线相切的充要条件

《数学通报》2004(5)文[1]的性质7给出了椭圆焦点三角形的一个性质,本文把它作为命题1在以椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点F1、F2及椭圆上任一点P(除长轴两端点外)为顶点的△F1PF2中,∠F1PF2的外角平分线为l,过焦点F2(或F1)作l的垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程为x2+y2=a2(y≠0),(如下左图)本文先把命题1推广引申到双曲线、抛物的情形,再作进一步引申.命题2在以双曲线x2/a2?y2/b2=1(a>0,b>0)的两个焦点F1、F2及双曲线上任一点P(除实轴两端点外)为顶点的△F1PF2中,∠F1PF2的平分线为l,过焦点F2(或F1)作l的垂线,垂足为D,则点D的…     

椭圆内接三角形与离心率的探讨

椭圆内接三角形本文是指以短轴为顶点的内接等腰三角形或等腰直角三角形 ,其余的显然由文[1]可再作研究 ,下面针对一道习题作一探讨。题　设椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )的两焦点为F1、F2 ,长轴两端点为A1,A2 ,若椭圆上存在一点Q ,使∠A1QA2 =12 0° ,求椭圆离心率e的范围解　设点Q(x ,y)则kA1Q =yx+a,kA2 Q =yx -a,因为点Q在椭圆上 ,所以kA1Q ·kA2 Q =y2x2 -a2 =- b2a2 ,由夹角分式 ,得tan∠A1QA2 =kA2 Q -kA1Q1+kA1Q ·kA2 Q=- 5”b2a2 · 1kA1Q-kA1Q1- b2a2=-b2a2 · 1kA1Q+kA1Q1- b2a2≤- 2bac2a2=- 2abc2当且仅当kA1…     

椭圆的内接平行四边形的最大周长

正[数学问题393]试求椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的内接平行四边形的最大周长.注:数学通报数学问题2104(2013年第二期)证明了,椭圆内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合,并且求得了椭圆的内接平行四边形面积的最大值.