一复数题的应用

题目如果复数z_1、z_2、z_3满足|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,且z_1 z_2 z_3=0。证明z_1、z2、z3所对应的点是内接于单位圆的一个正三角形的三个顶点。分析:由|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,知复数z_1、z_2、z_3所对应的点都在单位圆周上。因此关键是证明z_1、z_2、z_3所对应的点构成正三角形。证明:利用复数的代数形式来证明。     

正三角形一个充要条件及其应用

一、充要条件设逆时针方向的三点Z_1,Z_2,Z_3分别与复数z_1,z_2,z_3对应,则Z_1,Z_2,Z_3是正三角形的顶点的充要条件是z_1+wz_2+w~2z_3=0。(其中w=cos(2π)/3+isin(2π)/3)。证:如图1所示,     

求解复数模和辐角的一个重要公式

若设两个非零复数为该公式简单易证，下面谈一谈该公式的一些应用：一、求解复数的辐角问题公式（·）可变形为，用上述两种变形形式求解辐角问题异常方便．的辐角主解设由公式（1）例2若虚数z_1，z_2满足解设例3若复数Z_1,Z_2满足此时显然成立例4已知复数Z满足辐角为o，求证：(k为整数)．由于Z的辐角为O．则1/z的辐角为亦即为整数）例5已知在复平面上三个不共线的点所对应的复数为z_1、z_2、z_3其中z_1的辐角主值为0；z_2、z_3的辐角主值是α、β，且z_1 z_2 z_3=0，为何值时，cos（β—α）有最大值？解由题知当m=2时，2m（4-m)取得最大…     

复平面上三点共线的一组等价命题

设Z_1,Z_2,Z_3为有限复平面上的任意三点,则有 命题1 Z_1,Z_2,Z_3三点共线的充要条件是三点中任意一点都在过其余两点所作的直线上。 命题2 Z_1,Z_2,Z_3三点共线的充要条件是（z_2-z_1）/（z_3-z_1）=λ,其中λ为不等于0的实数。 命题3 z_1,Z_2,Z_3三点共线的充要条件是存在三个不全为零的实数λ_1,λ_2,λ_3,满足关系 λ_1 λ_2 λ_3=0 ①     

四点共圆的一个复数形式的条件

设复平面上点P_1对应复数z_1,i=1,2,3,4。若z=((z_1-z-2)(z_3-z_4))/((z_1-z_4)(z_3-z_2)为实数,则P_1,P_2,P_3,P_4共圆。若z为实数,则arg(1/z)=π或0。若arg(1/z)=π,即     

实数集上成立的恒等式在复数集上仍能成立吗?

<正> 实数集R上成立的恒等式,在复数集C上是否仍能成立?例如,当Z∈R,常数Z_0∈R时,恒有 sing~2z+cos~2z=1;(A) sin2z=2sinzcosz;(B) (z+z_0)~2=z~2+2z_0z+z_0~2;(C) 等等。现在要问:当Z∈C,常数Z_0∈C时,以上诸式是否还能成立呢?这里     

关于一道复数练习题的教学

“求证三个复数z_1,z_2,z_3组成一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式Z_1~2+z_2~2+z_3~2=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3”。这是一道涉及知识面较广的综合题,由于现行高中数学教材和这道题之间尚存在一定的知识差距,所以学生接受起来感到困难。为了突破难点,我在教学中安排了二课时把向量的有关概念,表示法,夹角等内容作了系统的必要的补充,以此充实学生的学习内容。围绕此题,我作了如下工作。     

关于复数的一道竞赛

成都市1963年中学数学竞赛高三第二试中的第1题为“设三个复数z_1、z_2、z_3满足关系式:|z_1|=|z_2|=|z_3|与z_1+z_2+z_3=0,试证这三个复数在复平面上所表示的点是正三角形的顶点。”我们认为这是一道比较好的题。特别是结合现在的全国统编教材,对复数知识将是一次综合应用。在学生练习的基础上,我们总结了以下三种解法: 方法一: 设这三个复数在复平面上所表示的点     

余弦定理在复数中的应用

复数集中有关|z_1 z_2|与|z_1-z_2|的问题,学生解题时往往不善于用其几何意义,颇感困惑。若能用其几何意义并与余弦定理联系起来,解题就能明快简捷多了。 设z_1、z_2∈C,z_1、z_2在复平面内对应点为A、B,Z_1 Z_2对应点为C(图一),z_1、z_2辐角主值分别为α、β,则∠AOB=|α-β|或2π-|α-β|,∠OAC=π-|α-β|或|α-     

一道复数例题的新解

题 z∈C,z/(z-1)是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹. 这是贵刊编写的(高三数学教学与测试)(上册)第133例1,我们若注意到“非零复数z_1、z_2对应点为Z_1、Z_2,则z_1/z_2为纯虚数ki(k∈R,k≠0)便可给出更简捷的新解:     

用复数证几何题

在《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中,要求“理解复数运算的几何意义”。利用复数运算证明几何题,不仅有助于数学知识的综合运用,而且有助于加深理解复数的几何意义。本文就平面几何中常见的几种类型,给出复数证法。一、预备知识 1、平面上两点之间的距离设z_1=x_1+iy,z_2=x_2+iy_2是平面上任意两点,则z_1、z_2的距离 d=|z_2-z_1|=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2) 或d=(|z_2-z_1|~2)~(1/2)=((z_2-z_1)(z_2-z_1))~(1/2) 2、复数有理运算的几何意义。①加减法——平移变换     

巧用|z|=1=(1/2)解题举

我们知道在复数中,|z|=1(?)z=1/z(z∈C),此式对有些复数题解法化较简便现举例说明如下: 例1 如果三个复数名z_1、z_2、z_3适合|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,求证:|z_1 z_2 z_3|=|(1/z_1) (1/z_2) (1/z_3)|.     

利用|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|求函数的最小值应注意条件

从中学教材中得知,对于任意复数z_1,z_2,…,z_n都有|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|.运用这个不等式,求复杂函数的最小值,方法简捷,但是z_1,z_2,…,z_n满足什么条件,|z_1| |z_2| … |z_n|才取得最小值呢?下面用代数形式给出这个条件.     

构造复数巧解题

有些数学题.如果直接从条件到结论用定势思维去探求解题途径比较困难时,可以根据题设及其特点,构造出复数,从而得到独特的解题方法,使问题化难为易.例1 求函数 f(x)=(9 x~2)~(1/2) ((4 (5-x~2)))~(1/2)的值域.分析:可将根式的问题,通过构造复数化成模的有关问题.解:构造复数 z_1=3 xi,z_2=2 (5-x)i则 f(x)=(?)|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|3 xi 2 (5-x)i|     

实系数齐二次方程与三角形形状的关系

在《复数与几何》中,有一例题,求证三个复数Z_1,Z_2,Z_3组成正三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式: Z_1~2+Z_2~2+Z_3~2=Z_1Z_2+Z_2_3+Z_3Z_1     

例谈应用复变量代换解题

复数的应用相当广泛,有些平面几何、代数、三角、解析几何的一些问题如果采用复变量代换方法往往比常规方法简捷。下面通过一些具体问题作一例说。 一、应用复变量代换解某些平面几何问题 例1 已知,正三角形ABC边长为a,且BD=AE=1/3a,AD、CE交于F点,求证BF⊥CE. 分析:设CE的对应复数z_1,BF的对应复数z_2,只要证明z_1,z_2,满足即得证.     

复数模不等式的一些应用

不等式:|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|在全日制十年制学校高中课本第三册中已经出现。我们把这个不等式加以推广就可得到一个复数模的不等式:|z_1|+|z_2|+……+|z_n|≥|z_1+z_2+……+z_n|,式中z_n为复数,等号当且仅当所有复数的幅角主值:     

利用复数知识证明线段的平方或积的和差问题

证明线段的平方或积的和差问题,历来是平面几何中一类较难的问题。近年来不少从事数学教学的同志,对这类问题作了一些有益的探讨。本文就这类问题试图利用复数知识给予证明。 中学数学课本中明确指出复平面内的点、位置向最（起点为原点的向量）、复数三者之间两两建立了一一对应关系,基于这种一 一对应关系,本文把三者等同起来,不加区分地记为x yi=点P=OP。 根据复数z的模|z|表示复平面上点Z到原点的距离,向量Z_1Z_2可以用复数Z_2-Z_1来表示,而向量Z_1Z_2的长度就是|Z_2-Z_1|.这样,我们就得到了复平面内计算任何两点Z_1、Z_2之间的距离公式     

一道复数题的剖析

在复数中有一道典型习题:如果|Z_1|=|Z_2|=|Z_3|=1,且Z_1+Z_2+Z_3=0,求证:Z_1、Z_2、Z_3是一个内接于单位圆的正三角形的顶点.如图1.     

解某些复数题可以两边同时取模吗?

题:在复平面上,复数α在两点1+i与1-i连线的线段上运动,复数β在以原点为圆心,半径为1的圆周上运动,求(1)复数α+β的对应点的轨迹?(2)复数α~2β的对应点的轨迹?(3)复数α~2的对应点的轨迹?