一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

关于3-γ-临界图的Hamilton性

设ap→b是无终点的3－γ－临界图G的一条Hamiltonian路,文［3］证明了当d（a,b）＝3时,G是Hamiltonian图．本文进一步研究3－γ－临界图的Hamilton性,得到如下结果：如果d（a,b）＝2且｜T｜＝1或T＝N（a）∩N＋（b）,则G是Hamiltonian图．这里,T＝V（G）－［N（a）∪N（b）∪｛a,b｝］．     

一个改进不等式的推广

安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成…     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

中学生课外基本练习题

初中部分1.1如图，已知CO⊥AE，BO⊥DO，O为垂足，则分别与∠BOC互余和互补的角的个数是（）（A）l，0；（B）2，0；（C）1，l；（D）2，1．l.2已知：z＝ct，(x2＋y2＋z2）（a2＋b2＋c2)＝（ax＋by＋cz）2．求：a/x和b/y的值（用t表示）．2．2如图，已知正方形ABCD的边长为a，DF＝b，EB＝c，EF＝DF＋EB，设正方形面积为S，求证：S＝ab＋bc＋ca．3.1已知a、b、c分别是△ABC的三条边长，方程4x2－4a2x＋b4＋c4－b2c2＝0有相等的实数根，且sin2A（bcosB－ccosC）＝acosA（sin2B－Sin2C），试判断△ABC的形状．3.2如图，已知…     

勾股定理逆定理在解题中的应用

勾股定理的逆定理是证明两条线段垂直的重要理论依据之一,现举例说明它在解题中的应用．例1三角形的三边a、b、c适合a’＋b‘＋c’＋338＝10a＋24b＋26c,则此三角形为（）（A）锐角三角形;（B）等腰三角形;（C）直角三角形;（D）钝角三角形．解由已知得,（a－5）‘＋（b－12）‘＋（c．13尸一0,…。－5,b－12,c－13．aZ干bZ－cZ此三角形为直角三角形．故选C．例2如图1,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上一点,且AF一十AD．”“’“’“““““‘“‘”“‘一4“——”求证：EF上EC．证明设正方形边长为4a,则AE…     

含括号的多项式的因式分解

对于某些含括号的多项式的因式分解，利用一定的方法，常可避免去括号的繁琐，收培的效果．一、对括号内的多项式进行变号处理例1分解因式：a（a－b）2－b（b－a）2解原式＝a（a－b）2－b［－（a－b）］2＝a（a－b）2－b（a－b）2＝（a－b）3例2分解因式：x（y－z）（z－x）－y（z－y）（－z）．解　原式＝x（y－z）（z－x）－y［－（y－z）］·［－（z－x）］＝x（y－z）（z－x）－y（y－z）（z－x）＝（x－y）（y－z）（z－x）．二、对括号内的多项式进行整体处理倒3分解因式：（x2＋4）2－16x2.解原式＝（x2＋4）2－（4x）2＝（x2＋4＋4x…     

解析几何中的“五心”

一、内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心．因为内心到三条边的距离相等，所以存在以内心为圆心的一个圆，它与三角形的三条边都相切．这个圆称为三角形的内切圆，圆的半径r称为内切圆的半径．例１如图１所示，在直角坐标系中，以A（x１，y１）、B（x２，y２）、C（x３，y３）为顶点的三角形的三条边分别是a、b、c．求△ABC的内心M的坐标．解析设角平分线AD、BE交于点M．∵｜BD｜｜DC｜＝｜AB｜｜AC｜＝cb，∴由定比分点公式得xD＝xB＋cbxC１＋cb＝bx２＋cx３b＋c，yD＝by２＋cy３b＋c 又∵｜AM｜…     

应用运算定律进行有理数混合运算

应用如下运算定律可简化有理数的混合运算过程．1．加法交换律a＋b＝b＋a．加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）3．乘法交换律ab＝ba．4．乘法结合律（ab）c＝a（bc）．5．分配律a（b＋c）＝ab＋ac现以九年制义务教材《代数》第一册（上）的部分习题为例说明如下．一、应用加法交换律、结合律解1．将正负数分别结合相加解原式＝（5＋3＋9）＋［（－6）＋（－4）＋（－7）］＝17＋（－17）＝0．2．将相加得零的数（尤其是互为相反数的两个数）结合起来相加3．将相加能得到整数的加数先行相加例3计算：4．将同分母先加减5．将带分数拆开相加6…     

对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

一些新的三角形不等式

在本刊文〔1〕中，笔者给出并讨论了有关三角形边长的一个加权不等式；设△ABC的边BC、CA'、AB分别为a、b、c，半周长为s，则对任意正数x，y，z有等号当且仅当x＝y＝z时成立．本文拟以不等式（l）为线索，继续推证有关三角形的一些新不等式．为节省篇幅，我们将省略所有不等式取等号时条件成立的确定过程．定理1各符号的意义同上，则等号当且仅当x＝y＝z时成立．证于（1）式中作置换：x→yz，y→zx，z→xy，得由Cauchy不等式知即有yza＋zxb＋xyc≥于是由（3）知再次利用Cauchy不等式有据此由（4）就知不等式（2）成立．这里指出，不等…     

因式分解的其他方法

因式分解的方法较多，灵活性大，对部分题目，只限于用课本上介绍的四种方法显然不够，为此，本文介绍几种技巧和方法如下，供初二同学学习时参考．一、拆项法例1　分解因式：x3－9x＋8.（1993年华罗庚数学学校初一训练题）解∵－9x＝－x－8s，∴原式＝（x3－x）－（8x－8）＝x（x＋1）（x－1）－8（x－1）＝（x－1）（x2＋x－8）．注　本题还可拆常数项（8＝9－1）或拆三次项（x3＝－8x3＋9x3）进行分解．例2分解因式：bc（b＋c）＋ca（c－a）－ab（a＋b）．（1993年华罗庚数学学校初一训练题）解∵b＋c＝（a＋b）＋（c－a），∴原式＝bc［…     

一道全国联赛题的多种解法

题目已知（b－c）‘＝（a－b）卜一a）,””—”－4”—－”一”—－”””一”’。。。,b＋c且a一0,则——一这是99年全国初中数学联赛中的一道填空题．解答该题的关键在于将已知等式变形,找到b＋c与a之间的关系．下面介绍它的几种解法．一、因式分解法解已知等式化为4［a‘－（b＋c）a＋be〕＋（b－c）’＝0．4a‘－4（b＋c）a＋（b＋c）‘＝O．（2－b－c）’＝0ZC·b·C＝0,ZC＝b＋C．故i：u一达一2aa二、换元转化法解设a－b＝x,c－a＝yju三、积化和差法四、巧设比值法解已知等式化为两式相加,得五、添项拼凑法解不难发现b一一…     

海伦公式又一初等证法

三角形面积的海伦公式其中k是边长为a、b、c的△ABC的面积，s＝（a＋b＋c）／2（如图1）通常证法是代数证法和三角证法．本文给出它的一个简捷几何证法．如图2，三角形ABC的内切圆圆心是I，半径是r，一个旁切圆圆心是r，半径是r’．由△IAB、△IBC和△IAC面积的和得k＝rs（1）AG和AH是过圆I’外A点的圆的两条切线，AG＝AH.同理，BG＝BJ，CH＝CJ．因为AG＋AH＝（AD＋DB＋BG）＋（AF＋FC＋CH）＝（AD＋DB＋BJ）＋（AF＋FC＋CJ）＝（AD＋DB）十（BJ＋CJ）十（AF＋FC）＝c＋a＋b＝2S所以AG＝AH＝s．又因为AD＝…     

《整式乘除》训练题

1．计算下列各式①x“－b·xb－C·xc－a．＠（abc）“”’”“,（a“”,·b’”“·c“”x）;③（x’－l）（x’＋x－,l）（x’－x＋l）;④（a－b）（a’＋a’b＋ah’＋b’）2．设。’专（。‘＋。＋l）的商式为A,金式为B,贝uA＋B＝3．设a’＋b’＝c’,求证（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋c）（－a＋b＋c）＝4a’b’．4确定m的值,使x3＋x＋m能被x＋3整除．5长方形的长为a,宽为b,若长增加b,觉增加a,那么面积增加多少？xto斤n回1则恰4工人H人2h．DThX＋＝j,刁Kx十一7wI目．xx＿Ch十回1叫o八h2＿＿巨人、3回J．匕抽x－—…     

Klamkin 不等式的改进

文[1]给出了关于三角形三边的Klamkin不等式：a/b＋b/c＋c/a≥1/3（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）（1）的如下一个逆向形式：a/b＋b/c＋c/a≤1/3（a＋b＋c）（1/b＋c-a＋1/c＋a-b＋1/a＋b-c）（2）     

你会解答吗?

初一年级1．若a、b、c都是有理数，且，则的值为2.若a＝x－4和b＝2x－5都是有理数，且数轴上表示a、b两数的点到原点的距离相等，则x的值是3．若｜a｜＝5，｜b｜＝2，且a、b异号，则｜a＋b｜＝4．一个有理数的相反数与这个有理数的绝对值的和（）（A）可能是负数；（B）必为正数；（C）为正数或零；（D）必为零．初二年级1．分解因式：2．已知x＋y＝2，求x3＋6xy＋y3的值．3．已知a＋b＝7，a3＋b3＝133，求ab的值．4已知a、b、c是凸ABC三边的长．求证：a’＋bZ－c’＋Zab＞0你会解答吗?@边冼…     

你会解答吗?

初一年级1.已知方程（2a＋1）x＝1995无解，则a＝2．已知|a|＝2，|b|＝5，则a＋b＝（A）7；（B）－3；（C）3；（D）±7或±3；3．如果单项式－1995a2b2n＋1和1996am＋1b7是同类项，则（2m－n）1997＝4．求证：3＋32＋33＋…＋31996．初二年级1．已知2a－3b－12c＝0，a—2b－4c＝0（c≠0），则2．若x2－3x＝－9，则x3＝3已知a为整数，试求的最大整数值和最小整数值．4．三个人单独做某一件工作分别需a、b、c天，如果他们一起做，则完成工作所需要的天数是初一年级1.当2a＋1＝0,即时原方程无解2．因为|a|＝2，|b|＝5，故a＝±2，b＝±5，选…     

两个优美的三角形不等式

本文介绍两个非常有趣的三角形不等式： 命题一 设a、b、c是△ABC的三边，则： 6≤∑（b＋c/a＋b＋a＋b/b＋c）〈7，其中“∑”表示循环和，下同．     

三角形三边关系在解题中的应用

课本介绍了三角形的三边关系定理与推论．熟记结论的同时,关键还在于能灵活运用它解决实际问题．就此,本文就常见题型分类例析如下．一、判断三条线段能否构成三角形如果一个三角形的三边长分别为a＼b、c,则必有a。b＞C,b＋C＞a,c＋a＞b反之,三线段a、b、c只有同时满足a＋b＞C,b＋C＞a,c＋a＞b;或者满足la－b＜c＜la＋b］,才能构戍一个三角形另外,若已知C是三线段中最长线段,则只带满足a＋b＞c即可构成三角形（想一想为什么？）例1下列各组线段中,可以是三角形的三条边的一组是）（A）a,3,a3;（B）a,b,a＋b;（C）a,…