解析几何三大"弦案"及破解策略

有关弦的问题在是解析几何中是十分常见的，也是高考命题的常用素材，这类问题主要有三种情况：中点弦、焦点弦及直角弦．下面分述之．     

构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题

解析几何中,很多问题常涉及到以二次曲线的弦为直径的圆的方程.若用圆心和半径的方法求解,一般较麻烦,这里介绍两种简捷的方法.第一种方法第一种方法引理:已知二次曲线C:f(x,y)=Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0,直线L:lx my n=0.则L与C交于P,Q两点且弦PQ对原点张直角弦的充要条件为:(A C)n2-(Dl Em)m F(l2 m2)=0(*).证明:若曲线C过原点且P,Q在坐标轴上,则F=0,且P(-ln,0),Q(0,-mn)满足f(x,y)=0,代入相加便得(*).若P,Q不在坐标轴上,L不过原点.∴n≠0,由lx my n=0,得1=lx -nmy.代入f(x,y)=0中得Ax2 Bxy Cy2 (Dx Ey)(lx- nmy) F(lx -nmy)2=…     

圆锥曲线的一个性质及应用

定理:过圆锥曲线Φ:Φ(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A+C≠0)上的一定点P0(x0,y0)引两条互相垂直的弦P0P1、P0P2,则直角弦过定点N(xo-ΦA+C,y0-ΦA+C),分别以P0P1与P0P2为直径的两圆交点的轨迹方程是:[x-x0+Φ2(A+C)]2+[y-yo+Φ22(A+C)]2=Φ21+Φ224(A+C)2.其中Φ1=Φ1x=2Axo+Byo+D,Φ2=Φ1y=Bxo+2Cyo+E.证明:作平移变换x=x'+x0,y=y'+y0,因P0(x0,y0)在曲线上,所以Ax20+Bx0y0+F=0,曲线Φ的方程变为:Ax'2+Bx'y'+Cy'2+(2Axo+Byo+D)x'+(Bxo+2Cyo+E)y'〕=0(1)设角弦P1P2的方程为Px'+qy'=1(2)由(1)、(2)式构造齐次方程,得Ax'2…     

圆锥曲线切点弦方程的简易求法

F(x.y)=a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33)=0 (1)设点P_0(x_0,y_0)为不在曲线(1)的焦点所在区域内的点,因而过P_0可向曲线(1)作二条切线,两个切点分别为P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),称联P_1P_2的直线l为曲线(1)关于P_0的切点弦。本文给出l的一种简易求法。 命题:若P_0(x_0,y_0)为平面上不在曲线(1)的焦点区域内的任一点,则曲线(1)关于P_0的切点弦方程为:     

一个二次曲线平行弦中点的轨迹定理及应用

一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)     

圆锥曲线弦的中点

解析几何中,涉及圆锥曲线弦的中点问题很多。传统的解答方法是:将弦所在的直线方程,代入圆锥曲线方程,再应用韦达定理。但这样解常常导致冗长的运算,也没有体现弦中点的本质特征。那么,圆锥曲线弦中点究竟有哪些本质含义呢?现试阐述如下。一、弦中点决定所在弦的斜率由于现行教材中,把含交叉项xy的二次曲线:Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0,作为选学内容,所以本文着重研究B=0的情况。定理一:设P_1P_2为圆锥曲线C_1:Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦,M_0(x_0,y_0)为弦P_1P_2中点,k为弦斜率,若k存在,     

抛物线焦点弦的若干性质

二次曲线是高中解析几何的核心内容,抛物线是常见的二次曲线之一.在与抛物线有关的问题中,过抛物线的焦点的弦的问题是十分常见的,本文介绍若干有关抛物线的焦点弦的性质.性质1:已知抛物线y~2=2px,焦点弦P_1P_2⊥x轴,则:|P_1P_2|=2p     

圆锥曲线的直角弦的一个性质的推广

本文将圆锥曲线的直角弦的一个性质推广到了一般情形.     

平面上点到直线的距离公式的几种求法

1.问题的提出: 已知平面上的点P_0(x_0,y_0)及直线l:Ax By C=0,如何求出点P_0到直线l的距离d呢?     

青蛙跳步问题的另一深究

1985年“五四青年智力竞赛”有一个青蛙跳步问题:地面上有A、B、C三点,一只青蛙位于地面上距C为0.27米的P点处,青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P_1,第二步从P_1跳到关于B点的对称点P_2,第三步从P_2跳到关于C点的对称点P_3,第四步从P_3跳到关于A的对称点P_4,……,按这种方式一直跳下去,若青蛙在第1985步跳到了P_(1985),问P与P_(1985)相距多少厘米?     

有关二次曲线弦中点的题目解法再探

本文提供一种有关二次曲线弦中点的题目的解法,此法应用面较宽,且思路清楚,规律性强,计算简单,便于掌握。此法是以下面定理为基础的。定理若直线l与二次曲线C:f(x,y)=0交于P_1、P_2两点,P(x_0,y_0)是线段P_1P_2的中点,那么直线l的方程是     

直线分线段所成比的性质定理及其应用

本文给出一个关于直线分线段所成比的性质定理。并举例说明它的广泛应用.定理设直线 l:Ax By C=0与过P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)的不同两点的连线相交于点 P(不同于 P_1、P_2,且 P_1、P_2不在 l上),则     

圆锥曲线中一类性质的研究

与圆类似,若点A,P,B均在圆锥曲线C上,则称∠APB为曲线C的周角,弦AB为周角∠APB所对的弦. 在文[1]中,已有结论:"圆锥曲线中,当kPA·kPB 1,则直周角所对的弦恒经过定点,且该定点恰在经过直周角顶点的法线上"成立.     

圆锥曲线的一个重要性质及其应用

若圆锥曲线Γ的一个顶点为Ａ ,与Ａ不同的两动点Ｍ、Ｎ在曲线上 ,且∠ＭＡＮ是直角 ,我们把线段ＭＮ叫做顶点Ａ上的直角∠ＭＡＮ所对的弦 ,即“顶点直角弦” ,笔者经探究发现二次曲线的顶点直角弦有一个耐人寻味的性质 ,这一性质揭示了二次曲线的一个共同的几何特征。命题 1　若Ｍ、Ｎ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )上的图 1两动点 ,且满足ＯＭ⊥ＯＮ ,(Ｏ为坐标原点 ) ,求证 :直线ＭＮ过定点Ｈ (2 ｐ ,0 )。(证略 )该命题的结论 ,启发笔者不断思考 :若把命题 1中的抛物线 ,改为椭圆、双曲线等圆锥曲线 ,是否有类似的性质呢 ?即圆锥曲线的一…     

定比关系的对称化及其应用

二次曲线的弦问题中,常涉及到定比关系,如何将这一关系转化为便于应用韦达定理的对称形式,是解决这类问题的关键,本文通过实例谈谈这类问题的几种转化方法.设 P_1P_2为二次曲线的弦,P_1、P_2的坐标分别为(x_1,     

一般二次曲线弦中点轨迹的最简求法

一组平行直线族被二次曲线截得的线段,叫二次曲线的一组平行弦;一组过定点P_0(x_0,y_0)的直线族被二次曲线截得的线段,叫二次曲线的一组共点P_0(x_0,y_0)的弦。如图。     

与圆锥曲线弦中点有关的问题的三大求解策略

关于直线和圆锥曲线相交所得弦的中点的有关问题 ,在高考试题中频繁出现 ,诸如平行弦的中点问题 ,过定点的弦的中点问题 ,弦中点的性质问题等等 .由此还可以派生出一系列相关问题 ,如轨迹、曲线方程、弦长、定点坐标、最值、取值范围等等 .关于这些问题的求解 ,题型不同 ,方法也不尽相同 .本文将探讨处理圆锥曲线弦的中点问题的三种行之有效的方法 ,并分类解析这些方法在各类问题中的应用 .一、韦达定理法设直线 l与某圆锥曲线 C相交所得之弦为 P1P2 ,联立直线 l的方程与圆锥曲线 C的方程 ,消去 x(或 y) ,则得到一个一元二次方程 ,根据韦…     

一道高考题探究与思考

题目（2013年高考浙江卷理科第7题）设△ABC,P_0是边AB上一定点,满足P_0B=1/4AB,对于边AB上任一点P,恒有PB·PC≥P_0B·P_0C,则……………………………（）（A）∠ABC=90°;（B）∠BAC=90°;（C）AB=AC;（D）AC=BC.     

第八章 气体的性质

一、单项选择题 1.一气缸竖直放置如图1所示,气缸内活塞可无摩擦滑动.活塞质量为M,横截面积为S,大气压强为P_0.当气缸向上匀速运动时,缸内气体压强为:( ) A.P_0. B.Mg/S. C.P_0 (Mg/s). D.P_0-(Mg/s). 2.图2中U形管一端封闭,用水银封入部分空气后竖直向下放置,已知大气压强为P_0,则管内封闭空气的压强是:( ) A.P_0-(h_1-h_2). B.P_0 (h_1-h_2). C.P_0-(h_1 h_2). D.P_0 (h_1 h_2).     

一道排列组合题的推广

问题一:甲乙丙丁四人,分坐四车,一车只能坐一人,其中甲不能坐A车,乙不能坐B车,丙不能坐C车,丁不能坐D车,问共有多少种不同的坐法? 我们先把这个问题简单化:如果有两个车和两个人的话,答案应是M_2=P_2~2-C_2~1P_1~1+C_2~2P_0~0=1,这里我们规定P_0~0=1,P_2~2是不考虑任何情况的全排列,然后减去甲在A车与乙在B车的情况,这便减去了“甲在A车且乙在B车”的情况,即C_2~2P_0~0;如果是三人三车的话,M_3=P_3~3-C_3~1·P_2~2 +C_3~2P_1~1-C_3~3P_0~0=2;同样道理,本文开头问题1关于四人四车的答案就是M_4=P_4~4-C_4~1·P_3~3+C_4~2P_2~2-C_4~3P_1~1+C_4~4P_0~0=9,共有9种