两个有用的积分公式

学习高等数学时 ,常会遇到∫π20sin2 nxsinx dx和∫π20sin( 2 n 1 ) xsinx dx(其中 n是正整数 )形式的积分问题 ,对于这两类积分 ,可推导出如下结论 :结论 1 :　∫π20sin2 nxsinx dx=2 1 - 13 15 - 17 …… ( - 1 ) n- 12 n- 1 ( 1 )证明 :根据三角函数的积化和差公式 ,有sinnx- sin( n- 2 ) x=2 sinnxcos( n- 1 ) x即 sinnx=2 sinnxcos( n- 1 ) x sin( n- 2 ) x利用上式化简积分 ( 1 ) ,有∫π20sin2 nxsinx dx　 =2 ∫π20 cos( n- 1 ) xdx ∫π20sin( 2 n- 2 ) xsinx dx　 =2 ( - 1 ) n- 12 n- 1 ∫π20sin( 2 n- 2 ) xsinx dx将上述简化公式应用 n次 ,得∫π20sin2 nxsinx dx =2 ( - 1 ) n- 12 n- 1 ∫π20sin( 2 n- 2 ) xsinx dx=……=2 ( - 1 ) ...     

单摆周期公式的应用

在教学中单摆周期公式T=2π√L/g中L为等效摆长，g为等效重力加速度，由单摆所在的空间位置决定，由g=GM/R^2知,g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不尽相同，因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9．8m／s^2。     

单摆周期公式的应用

在教学中单摆周期公式T=2π√L/g中L为等效摆长,g为等效重力加速度,由单摆所在的空间位置决定,由g=GM/R2知,g随地球表面不同位置、不同高度而变化,在不同星球上也不尽相同,因此应求出单摆所在处的等效值g'代入公式,即g不一定等于9.8m/s2.     

尤拉公式eiθ=cosθ+isinθ的一种证法

尤拉公式 eiθ=cosθ+ isinθ深刻地揭示了指数函数与正弦函数、余弦函数间的密切联系 ,在数学分析、复变函数以及微分方程论中有着极其广泛的应用。为了使学生较早接触到尤拉公式 ,以便更好地加以利用 ,可用与一般教科书不同的方法来证明尤拉公式。1　几个极限1 .1　 limn→∞〔( 1 + αn) 2 + ( βn) 2〕n2 =eα( α,β为常数 )证 :令γ=2αn+ ( αn2 ) + ( βn2 ) ,则当 n→∞时 ,γ→ 0 ,且 n2 ·γ=α+ α2 n+ β2 n→α∴ limn→∞〔( 1 + αn) 2 + ( βn) 2 〕n2 =limn→∞〔1 +γ〕n2 =limγ→ 0 〔( 1 +γ) 1γ〕γn2 =eα1 .2　 l…     

引力实验和理论——在引力问题上的思考

(一)历史牛顿万有引力公式是人类从实验总结出来的第一条引力公式F=-GM0mr0/r2(1)这个公式解释了行星绕太阳的椭园运动.19世纪末,人类精确观察行星运动,发现行星运动的椭园轴本身并不是静止不动的,而是绕太阳作极缓慢地转动.以水星为例,轴的方向每百年改变43〞.这种现象称为行星近日点的移动,这是牛顿万有引力公式解释不了的.正因为这样,这一观察引起物理学家的高度重视.     

三角形面积公式的行列式形式及应用

从小学到中学,我们学习过好多个三角形面积公式,其中最主要的是和,但是当已知条件是三角形三个顶点的坐标时,使用上述两个公式就不很方便了,那么有没有更为简单的方法呢?笔者翻阅了许多参考书,找到了下面这个用行列式表示的三角形面积公式,但是始终没有找到这个公式的证明。鉴此,本文将应用向量的数量积公式和两直线的夹角公式等知识对该公式进行证明,并给出两个推论和应用实例。定理:在平面直角坐标系中,已知三角形三个顶点的坐标是A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则三角形ABC的面积公式是S=的绝对值。证明:由于三角形必有内角为锐角,不…     

如何改善山区移动通信网络质量

1扩大基站网络的覆盖面,减少弱信号区、盲区第一,可通过增大基站发射功率的办法来扩大网络覆盖范围。根据通用的无线传播公式:P=aP1r,S=πr2P1是小区控制信道发射功率,P是该小区内的手机接收功率,S和r分别表示该小区的覆盖面积和半径(假设该小区     

Burrell公式及修正式与广义Egghe公式的比较与评价

英国曼彻斯特大学伯勒尔 (Ｑ .Ｌ .Ｂｕｒｒｅｌｌ)先于埃格黑 (Ｌ .Ｅｇｇｈｅ)用定量解析的形式讨论了美国工程学教授特鲁斯威尔 (Ｒ .Ｗ .Ｔｒｕｅｓｗｅｌｌ)提出的“二八律” ,得到θ =β(αｌｎβ +1) (1)其中 ,　　α =1μｌｎ (1- 1μ)μ为给定的时间内馆藏文献的平均流通次数。公式 (1)的含义为 :β (% )的馆藏满足θ (% )的流通量 ,我们将表 1　Ｂｕｒｒｅｌｌ公式及修正式计算结果与实际统计结果比较1论文数2作者数3作者累积数4论文累积数5β实际统计值 %6θ实际统计值 %7θ 理论值 %8|θ -θ |9γ依表 2取值θ 计算值 %10|θ -…     

头脑奥林匹克2004年第4期答案

算玻璃板支架质量本题是大气压强知识在实际生活中的应用。当大气压对四个塑料吸盘的压力大于桌架的重力时,抬起桌面就能把桌架带起。设桌架质量为m,大气压强为p0。四个吸盘的总面积S=4πr2, 吸盘受大气总压力F=p0S=4πr2p0, 抬桌面刚好带起桌架时有mg=4πr2p0, 解出m=4πr2p0/g=51kg(四只塑料吸盘的吸附力)。实际上,由于塑料吸盘不是一个绝对平面,吸盘和玻璃台面也不会十分光洁,所以大气压强所作用的面积总要小于4个吸盘的总面积,实际能举起的桌架重力要大大小于计算的理论值。但是这对产品设计有很大的参考价值,是必不可少的。     

基于Taylor公式的正弦函数任意精度快速算法

随着科技的不断进步,在给定精度下,需要计算某个角度相应正弦函数值的近似值。由于不同行业所需精度不同,因而有必要对其任意精度算法进行研究。正弦函数的Taylor公式可以使计算结果达到任意精度,但需根据函数性质减少计算量。首先借助三角函数的恒等式,把计算角度的范围缩小到Eo,π／2],再利用倍角公式,把自变量的取值进一步缩小到0附近,这极大减少了Taylor公式的项数,降低了计算量。     

自然数幂和的两个新公式

利用级数∞↑∑↓n=0 x^n得到了级数∞↑∑↓n=0 n^kx^n关于x的有限表达式,由此获得了整数幂n^k的2个表示式,推出了等幂和的2个组合表示公式及其系数的性质、系数公式、系数递推关系式。     

点到直线的距离公式的两种新证法

本文主要介绍两种在不引进直线的法线式的情况下,证明由已知点p(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离公式d |Ax0+By0+C|/√A2+B2.     

祖冲之巧解球体公式

祖冲之是我国古代著名的数学家,他广为人知的贡献就是对圆周率π的精密计算。其实,他在数学上的成就不只此一项,早在公元5世纪,他就得出了球体的体积公式,这也是个了不起的成就。而他求得球体体积公式的方法,相当巧妙。     

π(N)的上下确界及其近似值——哥德巴赫猜想证明(上)

爱拉托斯筛法、乘法分配律=>π(N)[ π(N)表≤自然数N的质数个数]的上下确界及其近似值表计公式。     

函数x~ke~x的n阶导数公式及应用举例

我们已经知道(e~x)~(n)=e~x,并且通过直接求导计算还可以归纳出(xe~x)~(n)=(x n)e~x,(x~2e~x)~n=[x~2 2nx n(n-1)]e~x,等等,那么对于一般形式x~ke~x(k=0,1,2…)的n阶导数能否找到一个一般性公式呢?下面就给这个问题的一个肯定的回答,并举例说明它的应用。     

对精细结构常数α的意义探讨

1　前言1 91 3年 ,玻尔发表了“关于原子结构的氢原子理论”指出 :氢原子的核外电子在核的库仑场中绕核作高速圆周运动 ,其轨道半径和能量均为量子化 ,即 :rn=4πε0 n2 h24π2 me2 ,n=1 ,2 ,3 ,4…… (1 )En=- 2π2 me4(4πε0 ) 2 n2 m2 ,n=1 ,2 ,3 ,4…… (2 )1 91 5年 ,索米菲考虑到电子绕核高速运动时相对论效应的影响 ,提出了椭圆轨道理论 ,该理论将玻尔理论进一步向前推广 ,更加符合原子的实际情况。在索米菲理论中 ,氢原子的能量可表示成 :En=- 2π2 me4(4πε0 ) 2 n2 h2 - Rhca2n4(nn4- 34 ) +……(3 )其中 a为常数 ,且a=2πe24…     

从欧拉公式说起

复变函数论方法在流体力学、空气动力学、弹性理论等方面,都有重要应用。文中仅介绍了重要的欧拉公式,以欧拉公式为基础,通过复数运算、共轭运算、三角函数运算等运算方法,证明得到了数学界公认的最美公式,它把数学中常用的0、1、i、π、e5个数用一个式子联系在了一起;证明得到了基本三角函数等指数表示式,并由此指出复变函数中正弦函数、余弦函数的无界性,指数函数的周期性;把迪莫夫公式、欧拉公式、共轭运算有关知识结合起来,解决了两个重要级数的求和问题。并在此过程中引导学生发现,在实变量函数中,重要极限■和一些用洛必达法则所能处理的问题在复数域将出现危机,以这些问题来提高学生对复变函数的兴趣。     

一道课本习题的变式与运用

高中《代数》上册 (必修 ) P2 62的第八题 :1 .已知 :A B=π4,求证 :( 1 tg A) ( 1 tg B)= 2。2 .已知 :A、B都是锐角 ,且 ( 1 tg A) ( 1 tg B)= 2 ,求证 :A B=π4。把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的变式与相应结论的应用。变式 1 :已知 :A B=3π4     

齐普夫定律的相关问题研究--贡东公式探由

本文通过数学方法求证了贡东公式log(nr·rβ) =logK (设tgα=β)成立的原由 ,在此基础上 ,进一步推导出Κ值的大小     

从相对论看物质波的频率

在De Broglie假设中，对于能量—频率表达式E=hv代表粒子的总能还是动能，人们一直存在不同看法。本文提出了一个使物质波的波长和频率既满足波速公式v=vλ，又满足相对论能量—动量公式（mc^2）^2=c^2p^2＋（m0c^2）^2的能量—频率表达式；在此基础上，将定态Schroedinger方程和Klein-Gordon方程统一为一个新方程。