超级难题的简单解法（九）

例1 已知函数f（x）=x^2·e^ax,x∈R,其中e为自然对数的底数,a∈R．若对于任意的a〉0,都有f（x）≤f＇（x）＋x^2＋ax＋a^2＋1/a·e^ax成立,求x的取值范围．     

正确使用微元法解决旋转体的侧面积问题

求旋转体的侧面积选取ds=2πf（x）1＋（f（x））^2dx为微分元素,而不选取ds=2πf（x）dx.本文证明了当Δx→0时,ΔS-2πf（x）dx不是比Δx高阶的无穷小,而ΔS-2πf（x）.（1＋（f（x））^2dx是比Δx更高阶的无穷小.     

幂指函数微积分的几种方法

利用f（x）^g（x）=e^g（x）lnf（x）（f（x）〉0）对幂指函数的微分和积分进行了探讨,获得了应用更广泛更灵活的几个结果：幂指函数求导的四种方法和一类幂指函数的积分定理。所得结果从理论上系统解决了幂指函数的微分和积分的求解问题。     

谈谈求积分中的“凑微分”法

积分法是微分法的逆运算，但掌握积分法却比微分法困难得多。在积分中，只有少数几类特殊函数的积分（即有理函数积分，三角函数有理式积分及简单无理函数积分）有积分途径可循，而大多数积分要靠灵活运用积分性质，解析式的恒等变形以及换元法和分部法，将所求积分逐步化为熟悉的积分。可见换元法和分部法乃是积分法的重点，而换元和分部的关键则是“凑微分”。对换元法来说，就是将被积表达式g（x）dx中除一个复合函数因子f（φ（x））外的剩余部分φ'（x）dx凑成中间变量φ（x）的微分dφ（x），即：g（x）dx＝f（φ（x））φ'（x）dx＝f…     

一类广义积分的计算方法

对于广义积分∫0^∞d^m/dx^m（1/1＋x^2）d^n/dx^n（1/1＋x^2）dx和∫0^∞d^m/dx^m（sin x/x）d^n/dx^n（sinx/x）dx（m,n为非负整数，采用Fourier变换及级数计算出它们的值，并指出在区间（-∞，＋∞）上可积的函数f（x），亦可仿此计算广义积分∫0^∞f^（m）（x）f（n）xdx。     

关于一个求和算子的逼近阶

设f（x）∈c2π,Un（f,x）是f（x）的基于结点x（kn）=（2kπ/2n＋1）（k=0,1,2…n）的求和算子。研究用Un（f,x）逼近f（x）的问题,得到了阶的估计。     

以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展

用切线法证明不等式已有过不少研究，例如文[1]、[2]．其操作过程是：设f（x）是一个函数，用待定系数法决定不等式f（x）≤αx＋β（或f（x）≥αx＋β）中的常数α和β，     

微分中值定理有关极限的一个问题

该文讨论了微分中值定理有关f（ξ）与f（x）极限的关系。     

一道填空题引起的反思

前不久，考了这么一道填空题：已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，有f（x1）-f（x2）/x1-x2＜0,设a=λ/1＋λ,β=1/1＋λ（λ≠±1）,若有｜f（a）-f（β）｜＞｜f（1）-f（0）｜,则λ的取值范围是___     

含多个p-Laplacian算子Duffing型方程周期解的存在唯一性

利用Mawhin连续定理,研究一类含多个p-Laplacian算子的非线性微分方程（φ）p1（x＇（t））＇＋β（φ）p2（x＇（t））＇＋f（t,x＇（t））＋g（t,x（t））=e（t）.获得其周期解存在性和唯一性新的充分条件.结果是新的,且推广和改进了已有文献中的相关结论.     

用算符法求解物理学非线性微分方程

引入特征算符和相应的算符定理，用算符法把物理学中的非线性微分方程的叠代解表示成展开的幂级数，结合辅助函数，得出所要求的级数解，提供一种用算符法求解物理学非线性微分方程的技巧．     

用算符法求解物理学非线性微分方程

引入特征算符和相应的算符定理,用算符法把物理学中的非线性微分方程的叠代解表示成展开的幂级数,结合辅助函数,得出所要求的级数解,提供一种用算符法求解物理学非线性微分方程的技巧.     

一类分数阶微分方程的振动性定理

利用广义Riccati变换和不等式技巧,给出了一类分数阶微分方程解的振动性的两个准则．     

高阶奇异对称微分算子亏指数与一类方程适定性的关系

建立了偶数阶奇异对称正则微分算子亏指数与一类带边值条件方程解的适定性之间的等价关系，从方程适定性的角度解决了一类微分算子亏指数的判定问题，并将原有的关于极限点型亏指数的判定作为一种特例包含在内。     

某些线性微分方程的算子解法

给出了某结基本类型的线性微分方程的算子算法。     

Existence of Periodic Solution for Nonlinear Neutral Delay Differential Equation

利用抽象连续定理,研究了一类非线性多时滞中立型泛函微分方程周期解问题,并在滞量的不同范围内分别得到了周期解存在的充分条件,推广了相关研究的主要结论。     

二阶椭圆型算子及其正交变换的性质

先介绍二个微分算子,再讨论二阶椭圆算子在坐标的正交变换下的相关变换性质.     

关于两类算子的研究

本文给出了用算子Dλf(z)=z(1-z)λ+1*f(z)判别函数为单叶函数的两条判别法则,其中f(z)=z+∑∞k=2akzk,实数λ>-1,符号*为Hadamard卷积,并讨论了两类算子Dλ与Dn间的关系,这里算子Dn定义为D0f(z)=f(z),D1f(z)=Df(z)=zf′(z),Dnf(z)=D(Dn-1f(z)),n∈N.     

某类解析函数的星形性

文章讨论了积分算子F(z)=γ 1zγZ∫0f(t)tγ-1dt,γ≥0,证明了当f(z)∈Tα时F(z)∈Tα,并得到了F(z)是星形函数的充分条件。     

某类微分算子谱的带权估计

考虑一类微分算子谱的带权上界估计,利用分部积分、Rayleigh定理和Schwartz不等式等方法,获得了用前n个谱来估计第n 1个谱的上界的不等式,其估计系数与区间的几何度量无关,其结果包含了[2]和[3]的结论。