例析解析几何中常见的解题失误

我们知道,解析几何在高考中占有重要的位置。在解决解析几何问题的过程中,同学们容易产生这样或那样的失误。本文就解题中一些常见失误类型作一些梳理,供同学们复习时参考。一、概念疏于理解在解析几何中,有些概念如斜率、截距、椭圆（双曲线、抛物线）等有较丰富的内涵。如果对它们疏于理解,那么在解题中出现疏漏就在所难免。例1已知圆C:χ²+y²=4。直线l过点P（1,2）,且与圆C交于A、B两点,若|AB|=23^1/2,求直线l的方程。     

解析几何简化运算的几种方法

<正>高考往往将解析几何题作为压轴题考查学生.这些题目有一定的计算量,许多学生望而生畏,理不清头绪,乃至中途弃笔.下面介绍几种简化运算的方法.一、定义优先例1(2017年山东高考题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x²=2py(p>0)交于A、B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,     

2013年高考数学安徽理科卷第18题的拓广探究

题目（2013年高考安徽卷·理18）已知椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（Ⅱ）设F₁,F₂分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F₂P交y轴于点Q,并且F₁P⊥F₁Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.该题立意朴实,耐人寻味,着重考查学生解决解析几何问题的基本思维方法.通过仔细研究,我们发现该题有"潜力可挖",为了能更清楚地理解问题     

一个圆锥曲线性质的探究

笔者在研究2021年北京燕博园考试的解析几何题时,发现蕴藏其中的角平分线的若干性质,通过与八省市适应性考试解析几何题的对比,发现二者同源,下面给读者展示完整的探究过程.1试题呈现(2021年北京燕博园CAT考试21题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右顶点为B,直线m:x-y-1=0过椭圆C的右焦点F,点B到直线m的距离为22.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C的左顶点为A,M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点,以点F为圆心,过点M的圆与x轴的右交点为T,过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N,过点F作直线FE⊥MT,交直线l于点E.求BE EN的值.     

简化解析几何繁难运算的有效策略

<正>根据每年高考统计的结果,解几题的得分都偏低.学生对解几题普遍有"恐惧心理",主要是恐惧它的繁难冗长的运算过程.解析几何真的有那么难吗?本文结合自己的教学体会,谈谈化简解析几何繁难运算的有效策略.一、转换视角,避难趋易在做解几题时,我们要善于转换解题的     

例析解析几何题的几种特殊方法

解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会遇到思路正确,但因运算过程繁杂,而半途而废的现象．因此,在解答解析几何问题的过程中如何减少计算则成为能否迅速、正确解题的关键．本文介绍一下解析几何中的几种特殊方法．     

极坐标的妙用

<正>圆锥曲线是高中解析几何的灵魂,也是高考的热点,常以压轴题的形式出现.但因综合类大题运算量过大,致使诸多考生费时费力,却半途而废.事实上,只要我们研读题目,认真分析,利用极坐标知识常可化繁为简,事半功倍.现举几例,与各位共享.例1已知抛物线y²=4x的焦点为F,过     

论解析几何运算中的简化策略

<正>平面解析几何中的许多问题,若解题方法不当,就会使解题过程繁杂而冗长,从而直接影响到解题速度和结果的正确性.如何避免不必要的运算,从而简化解题过程呢?本文结合典型例题,谈谈解析几何解题中的避繁就简的解题策略,供大家参考.策略1利用定义,简化运算根据题目涉及到曲线上的点与焦点的距离时,借助于圆锥曲线的定义,常能化繁为简,缩短解题过程.例1若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,求使     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

求解高考解析几何问题的几种方法

<正>解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会遇到思路正确,但因运算过程繁杂而半途而废的现象.因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.下面介绍一下求解高考解析几何问题的几种方法.     

对一道数学高考题的研究

2010年全国高考安徽卷文科第17题（理科第19题）是:椭圆E经过点A（2,3）,对称轴为坐标轴,焦点F₁、F₂在x轴上,离心率e=1/2.（1）求椭圆E的方程;（2）求∠F₁AF₂的平分线所在直线的方程（以下简称问题）.该问题是以椭圆焦点三角形内心为背景进行命制的,笔者认为它是一个很好的研究性学习问题.1.问题的推广定理1设点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）上除去四个顶点外的一点,点E、F分     

圆锥曲线问题中常见错误分析

一、圆锥曲线中常见问题1.不能灵活掌握圆锥曲线定义例1已知有一双曲线与x²/25+y²/16=1,且其虚轴长为4,有一点P₀,距左焦点为6,求该点距右焦点为多少.错解:用待定系数法设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.易知椭圆焦点为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=2,得a=23^1/3.因|PF₁-PF₂|=2a,得|8-PF₁i=43^1/2,得出PF₂=8-43^1/2或PF₂6+42^1/2剖析:解题过程中仅仅考虑到了取绝对值,但是因题目中给出了条件"P₀距离左焦点为6",因此可进一步判断结果有几个.正解:设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,根据椭圆x²/25+y²/16=1可得焦点坐标为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=23^1/2,假设P₀位于右曲线,取右曲线距离左焦点最小距离为23^1/2+3>6.因此可判断出P₀并不在右曲线上,只可能在左曲线上.求得结果为6+23^1/2.     

揭高考题面纱 看“高观点”本质

<正>一、引言19世纪末20世纪初,德国数学教育家克莱茵将高等数学和初等数学联结在一起,用高观点的眼光去看初等数学问题,具有立意高远、解答完善、过程简洁等优点.^([1])目前,我国大学招生多以"高考"分数为录取标准,高考题起着至关重要的选拔作用.纵观近年来我国各地区数学高考试题,频繁出现"高观点试题",注重高等数学的思想、方法、知识在高考试题中的运用.因此,本文以历年部分高考试题为例,从数学分析、高等代数、空间解析几何等高等数学角度去剖析此类试题的命题背景和解题方法,从而发现其数学本质和思想方法.([1])目前,我国大学招生多以"高考"分数为录取标准,高考题起着至关重要的选拔作用.纵观近年来我国各地区数学高考试题,频繁出现"高观点试题",注重高等数学的思想、方法、知识在高考试题中的运用.因此,本文以历年部分高考试题为例,从数学分析、高等代数、空间解析几何等高等数学角度去剖析此类试题的命题背景和解题方法,从而发现其数学本质和思想方法.^([2])     

一道浙江省高三联考试题的别解与拓展

浙江省名校高考研究联盟2011届高三第二次联考理科卷的试题卷中出现了这样一道解析几何试题,原题如下:如图1,设F₁、F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,A、B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/2的正三角形.     

探究解析几何解题思维方法

一、求解范围问题向量的夹角公式、向量的各种运算的坐标表示都可以产生范围.根据题目的不同条件,灵活地用向量求解解析几何中的范围问题,可以使我们从原始的、复杂的传统解析几何运算中解放出来,我们的解题状态才可能达到"既钻到题内,又站在题外".例1椭圆x²/9+y²/4=1的左、右焦点为F₁、F₁,P为其上一点,当∠F₁PF₂为钝角时,点P横坐标的取值范围是     

探析弦长公式在“共线‘弦长’比”问题中的“另类”应用——兼谈弦长公式中弦长的本质和误区

我们知道,公式|AB|=1+k²（1/1+k²）|x₂-x₁|（或|AB|=1+1/k²（1/1+k²/1）|y₂-y₁|（k≠0））是是解析几何中,当斜率为k的直线与圆锥曲线相交时,用来求弦长的公式（其中x₁,x₂（或y₁,y₂）分别是两交点的横（纵）坐标）.然而,弦长公式只能用来求弦长吗?笔者在高三复习教学中发现,大多数学生只有在求直     

圆锥曲线中直角梯形的应用

圆锥曲线的"焦点弦"是高考的热点,配合准线构成一个直角梯形称为"焦准梯形",灵活运用这个梯形的性质在一些问题的解题过程中,可以大大简化运算过程,同时可以激发学生的学习兴趣,提高创造性思维能力,例1在椭圆x~2/4+y2/3=1中,F为右焦点,AB是过F的弦,若AF=BF/2,求直线AB的方程.分析通常方法是方程组方法,解题过程运算量大,这个学生当然要掌握,在此不作详解.     

2018年全国Ⅰ卷理第19题的探究

<正>2018年高考全国Ⅰ卷理科第19题设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A、B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.本题围绕直线与椭圆的位置关系这一重点内容,加强了对解析几何基本概念、基本思想方法和关键能力的考查,着重考查了直线方程的求法,椭圆的简单     

平面解析几何运算策略探究

一、活用定义圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征,用定义解题是减少运算量的一种基本方法.如在解决与焦半径有关问题时,或题目中出现准线、离心率等条件时,都可联系到定义.例1已知F是椭圆x²/16+y²/12=1的右焦点,A(-2,3^1/2)是椭圆内的一点,试在椭圆上求一点M,使|MA|+2|MF|.的最小.     

暴露思维过程 提升解题能力

<正>解题教学不能仅仅讲解参考答案,要从学生的角度思考问题;要通过学生的自主探究、合作交流、踊跃展示来暴露思维,达到提升学生分析问题、解决问题能力的目的.在一次县教研室举行的高三数学组备课活动中,笔者有机会听取了一节题为"解析几何与向量联袂"的观摩课,现就其中的一道例题谈谈自己的想法.问题1已知点P(1,3)和⊙O:x²+y2+y²