圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究

通过对问题“以椭圆上的定点为直角顶点作椭圆的内接直角三角形,则三角形的斜边必经过某定点”的研究,找到解决它的有效方法,形成规律性的结论.再将结论推广到双曲线和抛物线中,并进一步将两弦垂直(即斜率乘积等于-1)推广到斜率乘积为其他定值,或斜率和为某定值等一系列问题中,从而找到解决此类问题的一般性方法.     

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

本文简单证明了椭圆内接三角形的性质：若椭圆的内接三角形的重心与椭圆中心重合．则内接三角形的面积为定值．另给出并证明的椭圆外切三角形的性质：若椭圆的外切三角形的重心与椭圆中心重合．则外切三角形的面积为定值．     

直线与椭圆相交的三角形面积问题探究

<正>直线与椭圆相交所产生的三角形面积问题是高中解析几何中的常见问题.它不仅能充分体现数形结合、分类讨论及转化与化归等重要数学思想,更重要的是对于提升学生的整体数学素养具有很大的作用.本文从直线与椭圆相交所构成三角形的基本特点出发,就定直线与定点构成三角形、定直线与动点构成三角形以及动直线与定点构成三角形这三类问题对椭圆内三角形面积的问题求法进行探究.一、定直线与定点构成的三角形面积     

关于圆锥曲线内接三角形的几个结论

关于圆锥曲线内接三角形的几个结论施开明（江苏省响水县中学２２４６００）本文将介绍与圆锥曲线内接三角形三边斜率有关的几个结论．结论１设△ＰＡＢ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的内接三角形，Ｐ（ｘ０，ｙ０）为定点（ｙ０≠０），则ＰＡ、ＰＢ倾斜角互补的充要条件...     

椭圆内接三角形中的一组等价命题

本文介绍椭圆内接三角形中与斜率有关的一组等价命题。 性质 设D,E,F分别是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)内接三角形ABC的三边中点,直线AB,BC,CA,OD,OE,OF,OA及     

圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值

定值定点问题是直线与圆锥曲线位置关系中的常见问题,也是高考考查的重点问题.本文研究了圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值问题,得出了几个重要的结论.一、两个引理引理1设O为坐标原点,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆C上的任一点.     

一个优美结论的几何本质——椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的再探讨

《数学通报》2013年第2期刊登了《一个优美的结论——椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的探讨》[1]一文,笔者读后觉得意犹未尽.首先这个问题的几何本质是什么,其次这个问题还可以再拓展,即椭圆内接三角形两边斜率之积为非零常数(不等于b2/a2),则第三边恒过定点.文[1]给出定理:"已知Rt△MAN的三个顶点均在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上,其中直角顶点A(x0,y0),则斜边MN所在直线恒过定点     

椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造

椭圆中有关内接三角形和内接平行四边形面积的最值问题,近年在专业杂志上有过一些同行们各具匠心的研究和结论.笔者在研究2010年上海市数学高考的压轴试题时,结合过去的一些解题经验,发现了椭圆中几类相交弦斜率之积的有趣的共性结论,并由此深入,探究了有关面积最大的椭圆内接三角形和内接平行四边形的一般构造方法.本文特将笔者的探究...     

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y).     

圆锥曲线中一类定点定值问题

<正>圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的重、难点,知识综合性强,对学生逻辑思维能力与计算能力等要求都较高,此类问题的解决过程渗透了函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想方法.笔者最近遇到一类与斜率相关的定点、定值问题,得到了一般性结论,与诸位共赏.性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过点P(m,n)分别作斜率为k1、k2的动直线AB、CD与椭圆依次交于A、B、C、D四点,若     

圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质

本文证明两类性质,从圆锥曲线中一定点P引两条直线与该圆锥曲线分别交于点A、B,一是若直线PA和P B的斜率之和为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,定点G的轨迹是一条与圆锥曲线相切的直线,且切点是点P关于圆锥曲线长轴的对称点.二是若直线PA和P B的斜率之积为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,椭圆和双曲线背景下的定点G的轨迹是一条过原点的直线,而抛物线背景下的定点G的轨迹是一条平行于对称轴的直线.     

椭圆,双曲线的再定义(高二)

大家知道,椭圆和双曲线已经有两个定义,第一个定义是用平面内的动点与两个定点的距离的和或差为常数来描述的;第二个定义是用平面内的动点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离的比为常数来描述的. 下面用平面内的动点与两个定点的连线的斜率的乘积为定值给出椭圆和双曲线的又一个定义(如图).     

坐标变换在椭圆问题中的应用

本文用坐标变换的方法来重新探讨椭圆与直线的位置关系和椭圆内接三角形问题．     

圆锥曲线的动弦过定点或有定向问题的再探

文[1]论述了圆锥曲线的动弦的两端与曲线上定点连线的斜率之积为定值时动弦过定点的性质，本文将探讨斜率之和为定值时动弦过定点与有定向的性质．定理1椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2上定点P（x0，y0）与椭圆上两点A、A'连线的斜率存在，则：（i）动弦AA’所在直线必过定点M（x0＋a/bk·y0,b/ak·x0－y0为）（k≠0）的充要条件是PA、PA’的斜率之和为为定值－2k·b/a；（ii）动弦AA'必有定向（kAA'＝b2/a2·x0/y0)的充要条件是PA、PA'的斜率之和为0．比较（l)、（2）两式可知：直线AA’过定点（定值）所以动弦AA’有定向．推论（i）满足定…     

趣谈解几中定点定值问题的设计方法

<正>一、从特殊到一般动曲线是否过定点、动三角形的面积是不是定值等问题,处理时可以先从特例出发,得到肯定的结论后,再进行一般性的论证.例1若A是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点.过椭圆右焦点F且斜率不为0的     

一道高考题的探究

问题,（2009年辽宁卷第20题）已知,椭圆C过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）．（1）求椭圆C的方程;（2）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值．     

巧用“齐次化”解决圆锥曲线中的定点定值问题

定值与定点问题是圆锥曲线中典型的问题,其中圆锥曲线C上的一定点M和两动点P,Q(异于点M),则动直线PQ过定点与直线MP,MQ的斜率之积(和)为定值密切相关.     

由一道高考试题引发的思考

<正>1.问题提出题目(2009年辽宁高考理科数学试题)已知椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆上的两个动点,如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.本题第(1)问椭圆的标准方程为x²4+y24+y²3=1,第(2)问主要考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推     

利用曲线系求解圆锥曲线中斜率和、积为定值的问题

文章利用曲线系的方法解决了过圆锥曲线上一定点P作两条斜率之和、之积为定值的直线PA、PB,证明直线AB过定点或斜率为定值的问题,并推导了一般情形.     

对圆锥曲线的一类定值问题的再思考

文[1]研究了圆锥曲线的一类定值问题,得到了几个重要的结论,读后深受启发.笔者曾想,能否把圆锥曲线上的一个定点变为两个定点,即如果圆锥曲线E上有两个定点P,Q过P,Q作倾斜角互补的两条直线PA,QB(PA,QB的斜率存在),分别与圆锥曲线E交于异于P,Q的点A和B,那么直线AB的斜率是否为定