一个平面定值问题在空间的拓广

文[1]证明了矩形外接圆周上点的有趣性质:“定理:矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。 文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性,在二维空间(平面)上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法;把矩形和等对棱四     

矩形外接圆周上点的有趣性质在三维空间中的拓展

文[1]证明了矩形外接国周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性，在二维空间（平面）上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法：把矩形和等对棱四面体（或长方体）类比，把圆周和球面类比，将这一性质拓展到三维空间中而获得颇为有趣的结论：定理等对校四面体外接球面上任一点到该四面体的各面三角形重心的距离的平方和为定值。何谓等对棱四面体，我们称三组对核分别相等的四面体为等对校四面体，过四面体每条校可作唯一平面平行于对棱，六个面围成…     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

1989年第2期问题

181.求证:梯形两条对角线的平方和小于它的四条边的平方和。(安徽黄全福供题) 182.三角形外接圆上任一点到三个顶点的距离平方和为常量,求证此三角形是正三角形。(山东汤永臣供题) 183.设两锐角x、y适合sin~(10/7)x sin~(13/3)y=sin~3(x y),求证x y为锐角。 (江西漆效群供题)     

正多边形外接圆性质的推广

命题1 正n边形的各顶点到其外接圆 任一切线的距离平方之和为一定值,且等于圆半径平方的[(3/2)π]倍。 可建立如图所示的坐标系用解析法证之(略)。 命题2 正四面体各顶点到其外接球上的任意一点的距离的平方和为一定值,     

矩形的一个性质及其推广

命题平面内的任意一点,到该平面内一矩形的两个相对顶点的距离的平方和,与它到另外两个相对顶点的距离的平方和相等.     

矩形的一个性质及其推广

命题平面内的任意一点,到该平面内一矩形的两个相对顶点的距离的平方和,与它到另外两个相对顶点的距离的平方和相等.     

正多边形与其同心圆有关的几个性质

[1]中获得的主要结果是： 1°正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各边（或各项点）的距离平方之和为定值． 2°以正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点为始点,各顶点为终点的向量之和的模为定值．     

正多边形与其同心圆有关的两个性质的指数推广

[1]中获得的主要结果是：正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各顶点的距离平方之和为定值;正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各条边的距离平方之和为定值．     

正三角形的一个性质

定理 正三角形各顶点到其外接圆上任一点的切线的距离之和为定值。 证明 如图,过正△ABC各顶点作其外接圆切线构成正△A′B′C′。设P为外     

正多边形的一个有趣的性质

P为正n边形外接圆上任意一点,那么点P与正n边形各个顶点连线的线段的平方和为2nR~2(R为正n边形外接圆的半径) 为了证明这个性质,首先证明两个三角恒等式     

正三角形外接圆周上点的一个性质的应用

正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离，其最长必等于较短二之和.(图1)(证明略)     

对一类定值问题的探讨

设P为正n边形A_1A_2…A_n外接圆上任意一点,R为这正n边形外接圆半径,则P到各顶点距离平方和为定值2nR~2,即 sum from i=1 to n PA_i~2=2nR~2 (1) 本文试对这一有趣的定值问题作适当引伸,得到一些更一般的结论。定理1 设正n边形A_1A_2…A_n的中心为O,半径为R,P是以O为圆心以r为半径的圆     

正多边形的一个性质的别证及推广

命题1 若P为正△ABC的外接圆劣弧(?)上任一点,则有PA+PC=PB. 这一有趣结论现已推广到正(2n+1)边形之中,即有 命题2 若P为正(2n+1)边形A_2A_2…A_(2n+1)的外接圆劣弧     

正多边形的一个有趣性质

本文应用Ptolemy定理,讨论正多边形外接圆周上任意一点到各顶点距离之间的关系。 Ptolemy定     

一个几何命题的应用与推广

命题等边三角形外接圆上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线的和此命题的诸多证法中,以用托勒定理的证明为最简洁.已知△ABC 是等边的,P 是它外接圆上任一点(如图1),求证:PA=PB PC.证明在圆内接四边形 ABPC 中,由托勒     

辛姆生(Simson)定理的解析证明

辛姆生(Simson)定理三角形外接圆上任一点向三边(或其延长线)作垂线,三个垂足共线.     

例析双曲线的定义在解题中的应用

<正>双曲线有两种定义:双曲线的第一定义是指双曲线上任一点到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<|F1F2|);双曲线的第二定义是指双曲线上任一点到焦点F的距离和到与F相对应的准线的距离之比为常数e(e>1)。灵活应用双曲线的两种定义,对于解决双曲线上的点与焦点的距离有关的问题,往往会收到事半功倍的效果。现举例说明,供同学们参考。     

关于矩形的两个定理及其应用举例

在数学竞赛中多次出现“已知平面内一点到矩形三个顶点之距求它到第四顶点之距”的问题。如: 矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5,求PD的长(1982年上海市初中数学竞赛试题)。我们提出如下命题矩形内任一点到两双相对顶点的距离的平方和相等。证明1:如图1,设P为矩形ABCD内任一点,过P作EF⊥AD,则EF⊥BC。于是,由勾股定理,得 PA~2+PC~2=(PE~2+AE~2)+(PF~2+CF~2) =(PE~2+BF~2)+(PF~2+DE~2) =(PE~2+DE~2)+(PF~2+BF~2) 证明2:连AC、BD设交于O,连PO,在△PAC中。由中线公式(或平行四边形的性质)有2(PA~2+PC~2)=AC~2+4PO~2或PA~2+PC~2=1/2AC~2+2PO~2。     

矩形的一个优美性质及其应用

<正>本文向读者介绍矩形的一个优美性质,并从几何、代数、向量等角度给出多种证法,最后举例说明性质在解决有关数学问题中的应用.1矩形的一个优美性质性质矩形所在平面内任意一点到不相邻的两个顶点的距离的平方和相等.已知:点P是矩形ABCD所在平面内任意一