向量的一个结论及应用

有一类向量问题,可以利用三点共线的结论快速求解． 结论 已知^→OA,^→OB和^→OC是三个非零向量,且^→OC=m^→OA＋n^→OB,m,n∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是m＋n=1.     

巧用公式■=(■+λ■)/(1+λ)妙解向量题

1　定理定理 1　若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明　∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) ,　　　　图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式　若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2　若OC =λOA +μOB　 (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明　 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如…     

向量中一个“等值定理”及应用

我们知道,若OA,OB是平面上不共线的两个向量,且OC=xOA＋yOB,则A,B,C三点共线的充要条件是x＋y=1．     

平面向量中三点共线性质的一个推广与应用

本文给出平面向量三点共线性质的一个推广性质,并例说其应用. 性质 已知向量(→OA),(→OB)不共线,且(→OC)=m (→OA)+n (→OB)(m,n∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是m+n=1. 此性质称为平面向量中的三点共线性质,它是解决平面向量中有关三点共线、两向量共线等问题的常用性质.然而笔者发现,学生在运用其充分性(即由m+n=1(=)A,B,C三点共线)进行解题时,对于m+n=1的情形一般能较好的理解并掌握,而对m+n≠1的情形往往束手无策.是否当m+n≠1时就不能运用该性质进行解题了呢?本文即对此问题进行探究:给出一个推广性质,然后例说其应用.     

平面向量共线定理及其应用

新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1　　 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA …     

陈题再探

文献[1]曾就一道平面向量的陈题“设OA，OB为平面内不共线的2个向量，且OC=XOA＋yOB（x，Y∈R），则A，B，C共线的充要条件为x＋y=1．”在平面范围内作了新探，给出了几个鲜为人知的结论．笔者最近又发现，这些结论可推广到空间．引理1设OA，OB，OC为空间的一组基底，且OD=xOA＋yOB＋zOC（x，y，z∈R），则A，B，C，D共面的充要条件为x＋y＋z=1．     

三点共线的向量表示形式的妙用

人教版高中数学第一册(下)第109页例5给出了三点共线的向量表示形式,即若O、A、B三点不共线,则P、A、B三点共线的充要条件为OP=tOA+(1-t)OB(t∈R).这一结论正因为隐藏于普通例题之中,似乎“养在深闺人未识”.事实上,它在一些几何问题上,常有一些妙用,本文就此列举例几1例.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1)、B(-1,3),若点C满足OC=αOA+βOB,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为().A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解例析2:由上述结论知A、B、C三点共线,故点C的轨迹为直线AB,选D.已知点O…     

向量背景的解析几何题例析

向量具有代数与几何形式的双重身份 ,它融数、形于一体 ,成为中学数学知识的一个交汇点 .而以向量为背景的解析几何题自然贴切 ,此类题型值得我们在复习中加以重视 .下面通过一些例题来加以说明 ,以供参考 .例 1　 (2 0 0 2年新课程卷 )平面直角坐标系中 ,O为坐标原点 ,已知A(3,1) ,B(- 1,3) ,若点C满足OC =αOA +βOB ,其中α ,β∈R ,且α +β =1,则点C的轨迹方程为 (　　 ) .(A) 3x+2 y - 11=0　 (B) (x- 1) 2 +(y - 2 ) 2 =5　 (C) 2x- y=0　 (D)x+2 y- 5 =0 .分析　本题以平面内三点共线的向量形式为背景 ,考查了向量的坐标运算…     

平面向量三点共线定理的推论及空间推广

一、问题的来源 平面向量三点共线定理：对于共面向量OA,OB,OC,OC=xOA＋yOB,则A、B、C三点共线的充要条件是x＋y=1.     

平面向量中一个重要定理的多角度研究

正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0     

“平移法”巧解一类平面向量问题

众所周知,由平面向量基本定理可以得到如下结论:"已知向量OA、OB不共线,且OP=αOA+βOB(α,β∈R),则A、B、P三点共线的充要条件是α+β=1".笔者发现以这个结论为基础通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类和向量有关的最值问题.     

巧用公式(OC→)=((OA→)+λ(OB→))/(1+λ)妙解向量题

1 定理 定理1 若A,B,C三点共线,且 (AC→) =λ (CB→),O为任意一点,则有(OC→)=( (OA→) λ(OB→))/(1 λ).     

巧用公式(OC→)=1+λ/(OA→)+λ(OB→)妙解向量题

1定理 定理1若A、B、C三点共线(如图1),且→AC=λ→CB,O为任意一点,则有→OC=1+λ/→OA+λ→OB.     

用“平移法”解一类平面向量题

由平面向量基本定理可以得到如下结论:已知向量OA,OB不共线,且OP=αOA+βOB(α,β∈R),则A,B,P三点共线的充要条件是α+β=1.以这个结论为基础,通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类与向量有关的最值问题.一、对两个基本问题的思考     

用“平移法”解一类平面向量题

由平面向量基本定理可以得到如下结论：已知向量→OA,→OB不共线,且→OP=→αOA＋→βOB（α,β∈R）,则A,B,P三点共线的充要条件是α＋β=1．以这个结论为基础,通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类与向量有关的最值问题．     

与平面向量基本定理实系数相关的结论及其应用

设→OA、→OB是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这个平面内的任一向量→OC,有且只有一对实数λ、μ,使→OC=λ→ OA+μOB.这是平面向量基本定理,对于系数和有如下结论: 结论1 ,设直线OC与直线AB相交于点M,→OC=m→OM,则λ+μ=m,且| λ+μ| =|→OC|/|→OM|,λ+μ(即m)的符号由→OC、→OM的方向确定.     

三角形“四心”向量式的充要条件

2005年高考全国卷1(安徽、河南、河北、海南、山西)文科卷中有这样一道选择题:点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()A.三条内角的平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点将已知的向量等式变形:OA·OB=OB·OC     

集锦

2004年高中联赛向量题的别解及空间推广吴爱龙胡国胜熊全发(江西省丰城中学331100)题目设O点在△ABC内部,且有OA+2 OB+3 OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为().(A)2(B)23(C)3(D)35文[1]运用三角形的重心性质给出其一简解及推广.本文另辟蹊径给出其另一简解,并由此将其予以空间推广.图1简解如图1,由OA+2 OB+3 OC=0,知12BO=14OA+34OC.因41+43=1,故在线段AC上必存在一点D,使OD=14OA+34OC,且有12BO=OD.进而知点B,O,D三点共线,且BD=3 OD.于是S△ABC=3S△AOC.选C.这里,巧用三点共线的充分条件使问题轻松获解,且易于…     

一道联赛试题的探究

2004年全国高中数学联赛第4题如下:设点O在ABC的内部,且有OA 2OB 3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35命题组给出了一种解法,这里我们给出另一种巧妙的解法,这种解法要用到如下结论:设点P分AB的比为λ(≠-1),即AP=λPB,O为任意一点,则OP=OA1 λλOB.将题设条件OA 2OB 3OC=0变形,得OA1 22OB=-OC.①如图1,在AB上取一点P,使AP=2PB,则OP=OA1 22OB.②由①,②知OP,OC共线且|OP|=|OC|,所以S OAC=S OAP=32S OAB.S OBC=S OBP=31S OAB.∴S OBC∶S OAC∶S OAB=1∶2∶3,所以S ABC∶…     

深思才有所得

人教社2001年版的《数学(试验修订本·必修)》教材高中第一册(下),5.3“实数与向量的积”这一节给出了两个定理:共线向量定理和平面向量基本定理,此后课本安排了一个例题:例5如图(此处图略),OA,OB不共线,AP=tAB(t∈R),用OA,OB表示OP.课本推得的结论是OP=(1-t)OA+tOB.这个例题仅指出:OP=(1-t)OA+tOB是A,B,P三点共线的必要条件,不难证明:OP=(1-t)OA+tOB也是A,B,P三点共线的充分条件.于是我们得到课本两个定理的一系列推论:推论1若平面向量OA,OB不共线,则点P与A,B共线的充要条件是:存在实数t,满足等式OP=(1-t)OA+tOB.不难…