一道课本例题引出神奇圆锥曲线的三个美妙结论

<正>人教2007年1月第2版,普通高中课程标准实验教科书A版,数学选修4-4,坐标系与参数方程,第38页例4:如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.笔者在探究此例题的解答思路时,看到|PA|·|PB|=|     

圆的性质在磁场中的应用

高考说明对考生能力要求中明确指出:“必要时能运用几何图形表达、分析”物理问题.因此,在教学中,教师应有意识地指导学生利用几何图形的性质来描述物理过程、反映物理规律.下面就用圆解决磁场问题试举几例: 一、利用“垂径定理”和“相交弦定理”解题垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 相交弦定理:圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的乘积相等.     

关于圆幂定理的联想

相交弦定理和切割线定理及推论统称为圆幂定理.1 关于相交弦定理的联想由相交弦定理“圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等”可知,在过⊙O内一定点P所引的无数条弦AB、CD、EF、…     

将平面几何中的圆幂定理拓展到立体几何

平面几何中的相交弦定理,切割线定理和割线定理统称圆幂定理。这三个定理可拓展到立体几何中。 平面几何中的相交弦定理:圆内的两条相交弦、被交点分成的两条线段长的积相等。     

平面八何（之49）

10．相交弦定理 同一个圆内的任意两条弦如果相交,则每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等．     

“相交弦定理”的应用

相交弦定理,是初中几何中重要的定理之一,它在有关圆的证明题中起着重要的作用.定理如下:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长度之积相等.下面通过几道例题谈谈相交弦定理的一些应用.     

圆幂定理及其应用

圆幂定理是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理。由两条相交直线与圆的四种位置关系,就得到圆幂定理所含的内容:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理。它们是整个平面几何教学的重点之一。下面举例谈谈圆幂定理的应用。     

圆中双解面面观

1.点和圆的位置关系不确定例1若点P到⊙O的最长距离是9,最短距离是3,则⊙O的半径为.解:此时点P可能在圆外,也可能在圆内,因此应该是双解,即⊙O的半径为6或3.2.点在弦上的位置不确定例2已知⊙O的两条弦AB和CD在圆内相交于点P,AP=3cm,PB=4cm,CD=8cm.则CP=cm.解:由相交弦定理得PA.     

相交弦定理的再探讨

圆内两弦相交,交点的位置有三种情况:交点在圆内、圆上、圆外延长相交。由两弦交点与弦各端点线段之间的关系,可以从《和圆有关的比例线段》中的定理及推论,归纳为一个统一定理,现探讨如下。     

巧用圆定理 “圆”解物理题

“圆”是平面几何中重要的图形 ,也是描述物理过程 ,反映物理规律 ,研究物理问题的重要模型 .高考说明对考生能力要求中明确指出 :“必要时能运用几何图形进行表达、分析”物理问题 .因此 ,在教学中 ,教师应有意识地指导学生学会利用几何图形 ,尤其用“圆”处理物理问题 ,从而提高运用几何知识解决物理问题的能力 .一、利用“垂径定理”和“相交弦定理”解题1 .垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的两条弧 ,这就是垂径定理 .2 .圆内的两条弦相交 ,被交点分成的两条线段长的乘积相等 ,这就是相交弦定理 .例 1　如图 1所示 ,质量为 m,…     

圆的『交点弦长公式』应用聚焦

当直线和圆相交时,得到一个弦(设为｜AB|),根据图形圆的几何性质(半弦长、半径r和弦心距d构成直角三角形)可得、|AB|、=2√r2-d2.在解答有关弦长问题时,若注意使用圆中这一特有的"弦长公式",会突出几何的直观性,减少运算量,有事半功倍的效果,例析如下.     

三类易错的排列、概率问题

1 交点:圆内还是圆外 例1 圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是___. (A)412A (B)221212AA (C)221210CC (D)412C 错解 因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定212C条直线,从剩下10个点中任取2个可确定210C条直线,根据乘法原理,有221210CC个交点.这里错误的原因在于这些相交直线有重复计算且所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内. 因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要…     

有约束条件的完全四边形与数学竞赛题(下)

4 不相交两条对角线为圆中不相交弦的完全四边形 例4 在完全四边形ABCDEF中，B、C、E、F四点共圆（⊙O），点肘为完全四边形的Miquel点。[第一段]     

天津四十二中初三几何结课试题

一、填空题(每空3分,共45分) 1.若(x-y)∶y=6∶5,则y∶x=__。 2.在半径为5cm的圆中,如果一条弦长是8cm,那么这条弦的弦心距是__cm。 3.圆内两条相交弦,一弦被分成12cm和18cm两段,另一弦被分成3∶8两部分,则该弦长为__。 4.圆外切梯形的中位线长为12cm,则该梯形的周     

排列概率 错解剖析

一、交点问题:圆内还是圆外【例1】圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是.A.A412B.A212A212C.C212C210D.C412错解:因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定C212条直线,从剩下10个点中任取2个可确定C210条直线,根据乘法原理,有C212C210个交点.分析:这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内.正解:因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要从12个点中取出4个点…     

一道课本例题引出圆锥曲线的三个美妙结论

<正>人教普通高中课程标准实验教科书A版(2007年1月第2版)数学选修4—4"坐标系与参数方程"第38页例4:如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2,求证:|PA||PB|=|PC||PD|.     

圆内共点弦定理

圆内两弦相交,有相交弦定理,该两弦在圆周上确定的四边形与其对角线的关系,有托勒密定理.那么圆内多弦相交于一点会有什么情形产生呢?对此一问的结论是:当相交于一点的弦数为多于2的偶数时,由最基本的两弦相交的相交弦定理和托勒密定理的拓展,我们可以寻觅到一些有趣的现象,但这其间更多真正的奥秘还有待于探索和挖掘.而当相交于一点的弦数为多于1的奇数时,我们发现这     

圆的“两点式”方程及其应用

高中《平面解析几何》第68页第3题: 已知一个圆的直径端点是A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),证明:圆的方程是 (x-x_1)(x-x_2) (y-y_1)(y-y_2)=0。 这是解析几何中的一道典型习题,它给出了圆的方程的又一种形式。由于该形式含有圆的一条直径的两端点的坐标,故称它为圆的两点式方程。笔者在复习教学中,发现利用它可使以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的有关问题获得简捷解答。 应用1 先设出直线与二次曲线相交的弦两端点的坐标,然后由圆的两点式方程直接写出以相交的弦     

参数方程的三类应用

<正>在新课程中把参数方程作为选修内容供学生学习,我觉得是很有必要的,因为参数方程在解决某些圆锥曲线问题时起着很重要的作用,为我们多了一条思路和多了一个行之有效的方法.下面通过几个实例来说明其在解题中的应用.一、用参数方程解决某些等值问题.例1如图1,已知AB、CD是抛物线y⁼2Px(p>O)的两条相交于点P的弦,AB、CD与x轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.     

如何生成让师生心灵舒展的数学课堂

案例展示笔者在一堂高三的试卷讲评课中,讲到这样一道填空题:已知圆C:x2+y2-6x-4y+10=0,直线l1:y=mx,直线l2:3x+2y+10=0,且l1截圆C所得弦的中点是P,l1,l2的交点是Q,A为原点,求|AP|·|AQ|的值.