对一道IMO试题的探讨

命题 1　设 I是△ ABC的内心 ,并设△ ABC的内切圆与三边 BC,CA,AB分别相切于点K,L,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M及 L K于点 R和 S.证明 :∠ RIS是锐角 .(图 1)这是第 39届IMO试题的第 5题 [1 ] .事实上 ,该命题若将“内切圆”改为“旁切圆”,结论仍然成立 .命题 2　设 I是△ABC的旁心 ,旁切圆与直线 BC,CA,AB分别相切于点K,L ,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M,L K于点 R,S.则∠RIS是锐角 .证明　如图2 ,连结 BI,MI.∵SR∥MK,∴∠BSK =∠ MKL .∵ BM切⊙I于 M.∴∠ RMB =∠MKL.从而知∠B…     

求恒成立不等式中参数范围的解题方法

求参数不等式中参数的取值范围,是一类综合性强、灵活性较高、难度较大的热门题型,常在选拨性考试中出现。虽然解答此类题需要较强的技巧,但也并非无章可循,本文拟从实例入手,从几个方面归纳总结含参不等式中参数的取值范围的一些基本解题方法。 1 巧赋特值 寓一般于特殊 通过取特殊值、极端情形等方式将问题转化为特殊形式来进行研究,由此来达到解决一般性问题,是一个重要的数学方法,用它来求参数不等式中的参数取值范围也不失为一个有效的方法。     

巧用三角形分角线长公式解题

本文介绍三角形分角线长的一个公式,并举例说明它在数学竞赛解题中的广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边C上任一点,CD分∠C为α、β,则 CD=absin(α β)/asinα bsinβ证明;如图, ∵ S_(△BCD) S_(△ACD)=S_(△ABC), ∴ 1/2a·CDsinα 1/2b·CDsinβ =1/2absin(α β),     

三角形分角线长定理的空间推广

贵刊1992年第六期《巧用三角形分角线长公式解题》介绍了如下一个公式。 定理 △ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边c上任一点,CD分∠C为α、β,则CD=(absin(α β))/(asinα bsinβ)。 平面内三角形在空间中的类比几何图形是四面体,由此诱发我们深思,三角形中的这一公式在四面体中是否存在类似公式呢?答案是肯定的。为了回答这一问题,我们先介绍一个引理。     

二次曲线切点弦的两个性质

过二次曲线外一点作二次曲线的两条切线，连结两切点的线段称作二次曲线的切点弦．笔者通过对切点弦及其有关直线的位置关系的研究，得到两个重要的性质．     

推广数学命题的几种思考方法

推广数学命题,是一项综合性较强、难度较大的创造性工作,它需要付出类比、联想、实验、猜想、归纳等富有探索性、技巧性的劳动。其关键在于抓住原命题的本质特征,从中挖掘和发现隐晦的信息,善于将一类对象或情境转换到另一类与之相关联的对象或情境,提出假设和新的构思,从而产生更广义、更一般、更深刻的数学命题。本文仅就自己的体会,谈谈推广数学命题的几种思考方法。     

构造长方体证明不等式

不等式的证明方法很多,究竟采用什么方法最简捷,因题而异.本文针对一类具有共同特点的代数、三角不等式,采用构造长方体的方法,巧妙地应用长方体对角线的基本性质,进行有机的数形结合,使证明过程简明而又新颖,且不落俗套.其方法有利于引导学生破除思维定势,锻炼思维的敏捷性.     

梅涅劳斯定理的推广

本文对平面几何中著名的梅涅劳斯定理进行剖析,然后作出推广。定理一(梅涅劳斯定理)一直线l分别截△ABC的三边(或边的延长线)AB、BC、CA于D、E、F.则AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在许多教科书里的介绍中,都是直线l与△ABC的两条边相交,与第三边的延长线相交.其实,若直线l与三角形三条边都不相交,其结论仍是成立的。     

巧用三角形分角线长定理解竞赛题

本文介绍三角形的分角线长的一个公式,然后举例说明它在数学竞赛解题中广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边c上任一点,CD分